课时分层作业(十三)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为( )
A． B． C． D．
2．直线＋＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
3．若直线l1：ax＋2y＋2＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋1＝0平行，则实数a的值是( )
A．2 B．－1或2
C．－1 D．0
4．如果A·B＞0且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．坐标原点在直线l上的射影为点(2,1)，直线l的方程是( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．2x＋3y－7＝0 D．3x＋2y－8＝0
二、填空题
6．使直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直的实数a的值为________．
7．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________．
8．已知直线l的倾斜角为α，sin α＝，且这条直线l经过点P(3,5)，则直线l的一般式方程为________．
三、解答题
9.如图所示，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
10．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1)．
11．(多选题)下列命题正确的是( )
A．当B≠0时，直线一般式方程可化为斜截式方程
B．当C≠0时，直线的一般式方程可化为截距式方程
C．两直线mx＋y－n＝0与x＋my＋1＝0互相平行的条件是或
D．直线ax＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直的条件是a＝1或a＝－3.
12．直线l：mx＋(2m－1)y－6＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值为( )
A．2 B．－ C．3 D．2或－
13．(一题两空)设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA的斜率为，那么直线PB的斜率为________；若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．
14．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________．
15．一河流同侧有两个村庄A、B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A、B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
课时分层作业(十三) 答案
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为( )
A． B． C． D．
D [直线x＋y＋1＝0的斜率k＝－，所以直线倾斜角为.]
2．直线＋＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
C [直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.]
3．若直线l1：ax＋2y＋2＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋1＝0平行，则实数a的值是( )
A．2 B．－1或2
C．－1 D．0
C [∵已知两直线平行，∴a(a－1)－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝2时，两直线重合，舍去，当a＝－1时两直线平行．故选C.]
4．如果A·B＞0且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [由A·B＞0且B·C＜0，可得直线Ax＋By＋C＝0的斜率为－＜0，直线在y轴上的截距－＞0，故直线不经过第三象限，故选C.]
5．坐标原点在直线l上的射影为点(2,1)，直线l的方程是( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．2x＋3y－7＝0 D．3x＋2y－8＝0
B [∵原点在直线l上的射影为点(2,1)，
∴直线l的斜率为k＝－＝－2.
又点(2,1)在直线l上，
∴所求的直线方程为
y－1＝－2(x－2)，
即2x＋y－5＝0.]
二、填空题
6．使直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直的实数a的值为________．
0或1 [由(2a＋1)a－3a＝0解得a＝0或1.]
7．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________．
x－3y＋24＝0 [由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上截距为4.根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0.]
8．已知直线l的倾斜角为α，sin α＝，且这条直线l经过点P(3,5)，则直线l的一般式方程为________．
3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0 [因为sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以直线l的斜率为k＝tan α＝±，又因为直线l经过点P(3,5)，所以直线l的方程为y－5＝(x－3)或y－5＝－(x－3)，所以直线l的一般式方程为3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0.]
三、解答题
9.如图所示，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
[解] (1)因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，
设直线CD的方程为2x－y＋m＝0，
将点C(2,0)代入上式得m＝－4，所以直线CD的方程为2x－y－4＝0.
(2)设直线CE的方程为x＋2y＋n＝0，
将点C(2,0)代入上式得n＝－2.
所以直线CE的方程为x＋2y－2＝0.
10．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1)．
[解] (1)∵直线过点P′(1,0)，∴m2－2m－3＝2m－6.
解得m＝3或m＝1.
又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，
∴m＝1.
(2)由斜率为1，得解得m＝.
(3)直线过定点P(－1，－1)，
则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，
解得m＝或m＝－2.
11．(多选题)下列命题正确的是( )
A．当B≠0时，直线一般式方程可化为斜截式方程
B．当C≠0时，直线的一般式方程可化为截距式方程
C．两直线mx＋y－n＝0与x＋my＋1＝0互相平行的条件是或
D．直线ax＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直的条件是a＝1或a＝－3.
ACD [A中，B≠0时，Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－，故A正确；B中，C≠0时，Ax＋By＋C＝0可化为＋＝1，但A、B≠0时是不可能的，故B错误；C中，若mx＋y－n＝0与x＋my＋1＝0平行，则m2＝1即m＝±1，而m＝1时n≠－1，否则重合；m＝－1时n≠1，否则也重合，故C正确；D中，由垂直条件可知，a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0
解得a＝1或a＝－3.故D正确．故ACD正确．]
12．直线l：mx＋(2m－1)y－6＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值为( )
A．2 B．－ C．3 D．2或－
D [在mx＋(2m－1)y－6＝0中令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝，即交点分别为，，据题意：××＝3，解得m＝2或m＝－.]
13．(一题两空)设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA的斜率为，那么直线PB的斜率为________；若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．
－ x＋y－5＝0 [由条件可知PA与PB两直线的倾斜角互补，故kPB＝－kPA＝－；又因为PA的直线为x－y＋1＝0，∴kPB＝－1，由x＝2时，y＝3，即直线PB过(2,3)，故PB的方程为y－3＝－(x－2)，
即x＋y－5＝0.]
14．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________．
15x－3y－7＝0 [因为直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，所以B≠0，且－＝5，即A＝－5B，又A－2B＋3C＝0，所以－5B－2B＋3C＝0，即C＝B.此时直线的方程化为－5Bx＋By＋B＝0.
即－5x＋y＋＝0，
故所求直线的方程为15x－3y－7＝0.]
15．一河流同侧有两个村庄A、B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A、B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
[解] 如图，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立直角坐标系，
则点A(0,300)，B(x,700)，设B点在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，故点B(300,700)，设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300.
令y＝0得x＝90，得点P(90,0)，
故水电站建在河边P(90,0)处电线用料最省．
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3 / 8十三 直线的一般式方程
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.两直线3x+y-a=0与3x+y-1=0的位置关系是 ( )
A.相交 B.平行
C.重合 D.平行或重合
【加练·固】
直线x+y-2=0与直线x-y+3=0的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定
2.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图象大致是 ( )
【加练·固】
直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足 ( )
A.ab>0,bc>0 B.ab>0,bc<0
C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0
3.直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
4.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为 ( )
A.-4 B.20 C.0 D.24
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如果平面直角坐标系内的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为 .
【加练·固】
直线(2a2-7a+3)x+(a2-9)y+3a2=0的倾斜角为45°,则实数a= .
6.已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,其中a∈R,若l1⊥l2,则a= ,若l1∥l2,则a= .
三、解答题
7.(10分)直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值.
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
【加练·固】
已知直线l:x-2y+2m-2=0.
(1)求过点(2,3)且与直线l垂直的直线的方程.
(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4,求实数m的值.
(15分钟·30分)
1.(5分)若直线l经过点(2a-1,-1)和(-1,1),且与直线2x+y+1=0垂直,则实数a的值为 ( )
A. B.- C.2 D.-2
2.(5分)(多选题)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3构成三角形,则a的取值可以是( )
A.-1 B.1 C.2 D.5
3.(5分)已知光线经过点A(4,6),经x轴上的B(2,0)反射照到y轴上,则光线照在y轴上的点的坐标为 .
4.(5分)若3x1-4y1=2,3x2-4y2=2,则经过A(x1,y1)和B(x2,y2)的直线l的方程为 .
5.(10分)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:
(1)顶点C的坐标.
(2)直线MN的方程.
【加练·固】
在菱形ABCD中,A(-4,7),C(2,-3),BC边所在直线过点P(3,-1).求:
(1)AD边所在直线的方程.
(2)对角线BD所在直线的方程.
十三 直线的一般式方程答案
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.两直线3x+y-a=0与3x+y-1=0的位置关系是 ( )
A.相交 B.平行
C.重合 D.平行或重合
【解析】选D.由题意得当a≠1时,两直线平行;当a=1时,两直线重合,综上得两直线平行或重合.
【加练·固】
直线x+y-2=0与直线x-y+3=0的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定
【解析】选B.直线x+y-2=0的斜率k=-1,直线x-y+3=0的斜率k=1,故两直线的位置关系是垂直.
2.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图象大致是 ( )
【解析】选C.将l1与l2的方程化为l1:y=ax+b,l2:y=bx+a.A中,由图知l1∥l2,而a≠b,故A错;B中,由l1的图象可知,a<0,b>0,由l2的图象知b>0,a>0,两者矛盾,故B错;C中,由l1图象可知,a>0,b>0,由l2的图象可知,a>0,b>0,故正确;D中,由l1的图象可知,a>0,b<0,由l2的图象可知a>0,b>0,两者矛盾,故D错.
【加练·固】
直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足 ( )
A.ab>0,bc>0 B.ab>0,bc<0
C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0
【解析】选B.直线ax+by+c=0化为:y=-x-,因为直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限,所以-<0,->0,所以ab>0,bc<0.
3.直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
【解析】选B.因为直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,所以(a+3)+(a-1)=0,解得a=-1,所以直线l1:2x+y+4=0,令y=0,得x=-2,所以直线l1在x轴上的截距是-2.
4.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为 ( )
A.-4 B.20 C.0 D.24
【解析】选A.由直线互相垂直可得-·=-1,所以a=10,所以直线方程为5x+2y-1=0,又因为垂足为(1,c)在直线上,所以代入得c=-2,再把点(1,-2)代入另一方程可得b=-12,所以a+b+c=-4.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如果平面直角坐标系内的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为 .
【解析】因为kAB==-1,线段AB的中点为,两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,
所以kl=1,其直线方程为:y-=x-,
化为:x-y+1=0.
答案:x-y+1=0
【加练·固】
直线(2a2-7a+3)x+(a2-9)y+3a2=0的倾斜角为45°,则实数a= .
【解析】依题意可知k=tan 45°=1,
所以-=1,且a2-9≠0.
解得a=-或a=3(舍去).
答案:-
6.已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,其中a∈R,若l1⊥l2,则a= ,若l1∥l2,则a= .
【解析】因为l1⊥l2,所以a×1+(a+2)a=0,
解得a=0或a=-3;当l1∥l2时,
由题意知a≠0,=≠,
解得a=-1或a=2.
答案:0或-3 -1或2
三、解答题
7.(10分)直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值.
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,当然相等,
所以a=2,即l的方程为3x+y=0;
若a≠2,则=a-2,即a+1=1,所以a=0,即l的方程为x+y+2=0,所以a的值为0或2.
(2)直线l的方程化为a(x-1)+(x+y+2)=0,l恒过定点(1,-3),
所以当斜率-(a+1)≥0即a≤-1时,不经过第二象限,a的取值范围是a≤-1.
【加练·固】
已知直线l:x-2y+2m-2=0.
(1)求过点(2,3)且与直线l垂直的直线的方程.
(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4,求实数m的值.
【解析】(1)与直线l:x-2y+2m-2=0垂直的直线斜率为-2,因为点(2,3)在该直线上,所以所求直线方程为y-3=-2(x-2),则一般式方程为2x+y-7=0.
(2)直线l与两坐标轴的交点分别为(-2m+2,0),(0,m-1),
则所围成的三角形面积为×|-2m+2|×|m-1|,
由题意可知×|-2m+2|×|m-1|=4,
化简得(m-1)2=4,解得m=3或m=-1.
(15分钟·30分)
1.(5分)若直线l经过点(2a-1,-1)和(-1,1),且与直线2x+y+1=0垂直,则实数a的值为 ( )
A. B.- C.2 D.-2
【解析】选D.直线l经过点(2a-1,-1)和(-1,1),斜率为=-,直线2x+y+1=0的斜率为-2.因为直线l经过点(2a-1,-1)和(-1,1),且与直线2x+y+1=0垂直,所以-×(-2)=-1,解得a=-2.
2.(5分)(多选题)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3构成三角形,则a的取值可以是( )
A.-1 B.1 C.2 D.5
【解析】选CD.直线x+y=0与x-y=0都经过原点,而无论a为何值,直线x+ay=3总不经过原点,因此,要满足三条直线构成三角形,只需直线x+ay=3与另两条直线不平行,所以a≠±1.
3.(5分)已知光线经过点A(4,6),经x轴上的B(2,0)反射照到y轴上,则光线照在y轴上的点的坐标为 .
【解析】点A(4,6)关于x轴的对称点A1(4,-6),则直线A1B即是反射光线所在直线,由两点式可得其方程为:3x+y-6=0,令x=0,得y=6,所以反射光线经过y轴上的点的坐标为(0,6).
答案:(0,6)
4.(5分)若3x1-4y1=2,3x2-4y2=2,则经过A(x1,y1)和B(x2,y2)的直线l的方程为 .
【解析】由3x1-4y1=2,3x2-4y2=2,可得点A(x1,y1)和点B(x2,y2)都在直线3x-4y-2=0 上,
又因为过两点确定一条直线,
故所求直线方程为3x-4y-2=0.
答案:3x-4y-2=0
5.(10分)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:
(1)顶点C的坐标.
(2)直线MN的方程.
【解析】(1)设C(x0,y0),则AC的中点M,
BC的中点N.
因为M在y轴上,所以=0,x0=-5.
因为N在x轴上,所以=0,y0=-3.即C(-5,-3).
(2)因为M,N(1,0),所以直线MN的方程为+=1,即5x-2y-5=0.
【加练·固】
在菱形ABCD中,A(-4,7),C(2,-3),BC边所在直线过点P(3,-1).求:
(1)AD边所在直线的方程.
(2)对角线BD所在直线的方程.
【解析】(1)kBC==2,因为AD∥BC,所以kAD=2,所以直线AD方程为y-7=2×(x+4),即2x-y+15=0.
(2)kAC==-,因为菱形对角线互相垂直,所以BD⊥AC,所以kBD=,而AC中点(-1,2),也是BD的中点,所以直线BD的方程为y-2=(x+1),即3x-5y+13=0.
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3 / 102.2.3直线的一般式方程
1.如果，且，那么直线不通过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在平面直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是( )
A. B. C. D.
3.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则有( )
A.
B.
C.
D.
4.已知直线的方程分别为，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )
A. B. C. D.
5.过点且垂直于直线 的直线方程为( )
A. B.
C. D.
6.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为__________.
7.过点且以直线的方向向量为方向向量的直线的一般式方程是______________.
8.过点并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（化为一般式）_______________.
9.若直线的截距式化为斜截式为，化为一般式为，且，则_______________.
10.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.
(1)斜率是，且经过点；
(2)斜率为4，在轴上的截距为；
(3)经过两点；
(4)在轴、轴上的截距分别是.
11.已知在中，.求：
(1)边所在直线的一般式方程；
(2)边上的高所在直线的一般式方程.
答案以及解析
1.答案：C
解析：直线的斜率，在y轴上的截距为，所以，直线不通过第三象限.
2.答案：C
解析：因为直线的斜率为3，且，所以此直线的倾斜角为锐角；因为直线与轴垂直，所以此直线的倾斜角为直角；因为直线可化为，则此直线的斜率为，且，所以此直线的倾斜角为钝角；因为直线可化为，则此直线的斜率为2，且，所以此直线的倾斜角为锐角.故选C.
3.答案：B
解析：令得即；令得即故选B.
4.答案：C
解析：由题图，可知直线的斜率大于0，其在轴上的截距小于0，所以，即；直线的斜率大于0，其在轴上的截距大于0，所以，即.又直线的斜率大于直线的斜率，即，所以.故选C.
5.答案：A
解析：∵直线的斜率为∴由垂直关系可得所求直线的斜率为-2，
∴所求直线的方程为，化为一般式可得：，故选A.
6.答案：或
解析：（1）当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：，即.
（2）当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数，∴，将代入，得.∴此时所求直线方程为.
7.答案：
解析：直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，又所求直线过点，所以所求直线的方程为，即.
8.答案：或
解析：①当直线与坐标轴截距均为时，设直线方程为：
把代入直线可得：
直线方程为：
②当直线与坐标轴截距不为时，设直线方程为：
把代入直线可得：
直线方程为：
本题正确结果为：或
9.答案：6
解析：由，得，一般式为，，即，解得或..
10.答案：(1)由点斜式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为.
(2)由斜截式方程，可知所求直线的方程为，
化为一般式方程为.
(3)由两点式方程，可知所求直线的方程为，
化为一般式方程为.
(4)由截距式方程，可知所求直线的方程为，
化为一般式方程为.
解析：
11.答案：(1)由题意，可得，
由直线的点斜式方程，可得，
即边所在直线的一般式方程为.
(2)由(1)，可得，所以，
所以由直线的点斜式方程，可得，
即边上的高所在直线的一般式方程为.
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