沪科版七年级数学上册4.3 线段的长短比较 导学课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
4.3 线段的长短比较
第4章 直线与角
逐点
学练
本节小结
作业提升
本节要点
1
学习流程
2
线段的长短比较
线段的和差倍分
线段的中点
线段的基本事实
知识点
线段的长短比较
1
1. 度量法 利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较.
2. 叠合法 把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较.
例如：比较线段AB，CD 的长短，可以把它们移到同一条直线上，使一个端点A 和C 重合，另一个端点B 和D 落在点A 的同一侧，如图4.3－1.
特别解读
当两条线段的长短差别不大，而又不便放在一起比较时，
运用度量法；当两条线段能够放在一起而又不需要知道
相差的具体数值时，可用叠合法.
度量法和叠合法分别是从“数”和“形”两个方面出发的，从“数”的方面比较，一般用度量法；从“形”的方面比较，一般用叠合法.
如图4.3－2 是一张三角形纸片，你能比较线段AB与线段BC 的长短吗？
例 1
解题秘方：可以利用度量法，分别量出每条线段的长度，
然后进行比较，或者利用叠合法进行比较.
方法点拨
比较有公共端点的两条线段的长短的方法：
1.借助刻度尺进行度量；
2.借助圆规进行叠合.
解：方法一：度量法.
用刻度尺量得AB=1.7 cm，BC=1.3 cm，
所以AB>BC.
方法二：叠合法. 如图4.3－2，将圆规的一端放在B 点，
另一端放在C 点，将圆规绕B 点旋转，圆弧与AB 交于D 点.所以AB>BC.
知识点
线段的和差倍分
2
1. 线段的和与差 如图4.3－3，已知线段a，b(a>b).
(1)线段的和：在直线l 上作线段AB=a，再在线段AB
的延长线上作线段BC=b，线段AC 就是a 与b 的和，记作
AC=a+b，如图4.3－4 ① .
(2)线段的差：在直线l 上作线段AB=a，在线段AB 上
作线段BD=b，则线段AD 就是a 与b 的差，记作AD=a－b，如图4.3－4 ② .
2. 线段的倍与分 如图4.3－5，射线AE 上有B，C，D 三点，线段AB，BC，CD 的长度关系是AB=BC=CD， 则AC=2BC，AD=3AB，AB= AC，AB= AD，AC= AD.
特别提醒
几何中线段的和差与代数中的数的和差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和差，在图形上作线段的和差得到的图形是一条线段.
用尺规作线段的和时，依次向右截取；作线段的差时，从最右边的端点向左截取.
如图4.3－6，已知点B，C 在线段AD 上．
(1)图中共有 ______条线段.
(2)已知AB=CD．
①比较线段的长短：AC____BD(填“>”“=”或“<”)；
②若BD=4AB，BC=12 cm，则AD=____cm．
例2
解题秘方：本题主要考查了线段长度的计算，解题关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．
特别提醒
在将两条线段用“>”“<”或“=”连接起来的时候，字母前的“线段”两字就省略不写了.只有线段才能比较长短，而直线、射线不能比较长短.
解：(1)图中的线段有AB，BC，CD，AC，BD，AD，
共6 条.
(2)①因为AB=CD，所以AB+BC=CD+BC，即AC=BD.
②因为BD=4AB，AB=CD，所以BC=3AB. 因为BC=12 cm，所以AB=4 cm，所以AD=AB+BD=4+4×4=20(cm).
答案：(1)6 (2)① = ② 20
知识点
线段的中点
3
1. 线段的中点的定义
把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点. 如图
4.3－7，若M 是线段AB 的中点，则有AM=BM= AB.
特别提醒
线段的中点表示法:线段的中点一定在线段上，点M为线段AB的中点有三种表达方式：
(1)点M在线段AB上，且AM=BM；
(2)AB=2AM=2BM；
(3)AM=BM= AB.线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个、线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上.
2. 等分线段
(1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三
等分点. 如图4.3－8，若M，N 是线段AB 的三等分点，则有AM=MN=NB= AB.
(2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫做线段的四等分点. 如图4.3－9，若M，N，P 是线段AB 的四等分点，则有AM=MN=NP=PB= AB.
如图4.3－10，M 是线段AC 的中点，点B 在线段
AC 上，且AB=4，BC=2AB，求线段MC 和线段BM 的长.
例 3
解题秘方：紧扣中点的意义及要求的线段与已知线段之间的数量关系，求线段长.
方法点拨
利用“逐段计算法”求线段长：
要求某条线段的长，先确定这条线段等于哪几条线段的和或差，分析这些线段的长度是已知的，还是要通过别的条件再求的，再进行逐段计算.
解：因为AB=4，BC=2AB，所以BC=8.
所以AC=AB+BC=4+8=12.
因为M 是线段AC 的中点，
所以MC=AM= AC=6.
所以BM=AM－AB=6－4=2.
如图4.3－11， 已知B，C 两点把线段AD 分成
2 ∶ 5 ∶ 3 三部分，点M 为AD 的中点，BM=6 cm，求CM 和AD 的长.
例4
解题秘方：利用已知条件BM=6 cm 作为等量关系列出方
程，求出CM 和AD 的长.
方法点拨
利用方程思想求线段的长的方法：
当利用逐段计算法难以求出线段长时，可考虑运用方程思想，将其中已知的线段长作为等量关系，设出要求的线段长，用含要求线段长的式子表示已知线段长(利用它们之间的数量关系表示)，列出方程解决问题.
解：设AB=2x cm，则BC=5x cm，CD=3x cm.
所以AD=AB+BC+CD=10x cm.
因为M 是AD 的中点，
所以AM=MD= AD= ×10x=5x(cm).
因为BM=AM－AB，所以5x－2x=6. 所以x=2.
所以CM=MD－CD=5x－3x=2x=2×2=4(cm)，
AD=10x=10×2=20(cm).
知识点
线段的基本事实
4
线段的基本事实 两点间的距离 举例
两点之间的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短 定义 性质
在所有连接A，B 两点的线中，线段AB 是最短的，线段AB 的长度就是点A与点B 之间的距离
两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 (1)存在性； (2)最短性； (3)唯一性
警示误区
两点间的距离是一个具体的数量，而线段本身是图形. 因此不能把A，B 两点间的距离说成是线段AB. 另外， 连接两点是指画出以这两点端点的线段.
在同一所学校上学的小明、小亮、小红三位同学
分别住在A，B，C 三个住宅区，如图4.3－12，A，B，C 三点共线，且AB=40 m，BC=100 m，他们打算合租一辆车去上学. 由于车位紧张，他们准备在三个住宅区之间只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在何处？
例 5
解题秘方：根据停靠点的不同位置，分别计算他们步行
到停靠点的路程之和，再进行比较，确定位置.
技巧点拨
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法，如本题中应分情况讨论车的停靠点.
解：AC=AB+BC=40+100=140(m).
分情况讨论如下：
(1)若停靠点设在A 住宅区，则他们的路程总和为
40+140=180(m)；
(2)若停靠点设在A 住宅区与B 住宅区之间(不包括A，B 住宅区)，则他们的路程总和大于140 m且小于180 m；
(3)若停靠点设在B 住宅区，则他们的路程总和为140 m；
(4)若停靠点设在B 住宅区与C 住宅区之间(不包括
B，C 住宅区)，则他们的路程总和大于140 m且小于240 m；
(5)若停靠点设在C 住宅区，则他们的路程总和为
140+100=240(m).
综上所述，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，
停靠点应设在B 住宅区.
详解
当停靠点位于A，B 之间时，不妨记为点D，如图4.3－13，则AD+DB=AB=40 m，100米=BC如图4.3－14，有一个正方体盒子放在桌面上，一只虫子在顶点A 处，一只蜘蛛在顶点B 处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，应该怎样走？
你能画出来吗？
与你的同伴交流一下.
例6
解题秘方：蜘蛛要想最快地捉住虫子，需走最短的路线，
而蜘蛛走的路线在正方体的表面上，因此应在正方体
的表面展开图中寻找.
解： 有四种走法， 分别是B → F → A，B → G → A，
B → M → A，B → N → A(F，G，M，N 分别为DE，CD，
KE，KH 的中点)，如图4.3－15.
线段、射线、直线
三线(线段、射线、直线)
直线的确定性
定义
表示方法
端点数
请完成教材课后习题
作业提升