沪科版七年级数学上册4.5.2 余角和补角 导学课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
4.5 角的比较与补(余)角
第4章 直线与角
第2课时 余角和补角
逐点
学练
本节小结
作业提升
本节要点
1
学习流程
2
角的大小比较
角的和、差
角平分线
补角和余角
余角、补角的性质
知识点
补角和余角
1
1. 补角 如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角(简称互补)，即其中一个角是另一个角的补角.
数学语言：如果∠ 3+ ∠ 4=180 °，就说∠ 3 是∠ 4 的
补角，或∠ 4 是∠ 3 的补角，∠ 3 与∠ 4 互为补角，如图4.5－11.
2. 余角 如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角(简称互余)，即其中一个角是另一个角的余角.
数学语言：如果∠ 1+ ∠ 2=90°，就说∠ 1 是∠ 2 的余角，或∠ 2 是∠ 1 的余角，∠ 1 与∠ 2 互为余角，如图4.5－12.
3. 一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相
等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角.
特别解读
1. 互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.
2. 若两个角互余，则两个角都是锐角；若两个角互补，则两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角.
3. 互余、互补只与数量有关，与位置无关.若将直角分成两个角，则这两个角互余；若将平角分成两个角，则这两个角互补.
[月考·滨州] 已知一个角的补角的一半比这个角小
30°，求这个角的余角．
例 1
解题秘方：根据互补的两个角的和等于180°，用这个角表示出它的补角，然后根据题意列出方程求解即可．
方法点拨
互余和互补揭示的是两个角之间的数量关系：一个锐角∠α的余角为(90° － ∠ α)，补角为(180° － ∠ α).
解：设这个角的度数为x°，依题意得 (180－x)=x－30.
解得x=80，90°－80°=10°．所以这个角的余角为10°．
如图4.5－13，点O 为直线AB 上一点，∠ AOC=
∠ DOE=90°.
(1)图中互余的角有几对？各是哪些？
(2)图中互补的角有几对？各是哪些？
例2
解题秘方：由已知条件，结合互为
余角、互为补角的定义解答.
方法点拨
从图形中找互余或互补的角，可从两个方面进行：一个方面从角的度数入手，和为90°互余，和为180°互补；另一个方面从整体入手，直角分成的两个角互余，
平角分成的两个角互补.
解：(1)因为点O 为直线AB 上一点，
所以∠ BOC+ ∠ AOC=180°.
因为∠ AOC= ∠ DOE=90°，
所以∠ BOC=180°－ ∠ AOC=180°－90°=90°.
所以∠ 1+ ∠ 2=90°，∠ 2+ ∠ 3=90°，∠ 3+ ∠ 4=90°，
∠ 1+ ∠ 4=90°，所以图中互余的角有4 对，分别是∠ 1 和
∠ 2，∠ 2 和∠ 3，∠ 3 和∠ 4，∠ 1 和∠ 4.
(2)由已知得，∠ 1+ ∠ BOD=180°，∠ 4+ ∠ AOE=180°.由(1)可知，∠ 1= ∠ 3，∠ 2= ∠ 4.
所以∠ 3+ ∠ BOD=180°，∠ 2+ ∠ AOE=180°.
又因为∠ AOC+ ∠ BOC=180 °，∠ AOC+ ∠ DOE=
180°，∠ DOE+ ∠ BOC=180°，所以图中互补的角有7 对，分别是∠ 1 和∠ BOD， ∠ 4 和∠ AOE， ∠ 3 和∠ BOD，∠ 2 和∠ AOE， ∠ AOC 和∠ BOC， ∠ AOC 和∠ DOE，∠ DOE 和∠ BOC.
详解
因为∠1+∠2=90°，∠ 2+ ∠ 3=90°，所以∠1=90°－∠2，∠ 3=90° － ∠ 2.所以∠ 1= ∠ 3.
因为∠2+∠3=90°，∠ 3+ ∠ 4=90°，
所以∠2=90°－∠3，∠ 4=90° － ∠ 3.
所以∠ 2= ∠ 4.
知识点
余角、补角的性质
2
1. 余角的性质
(1)同角的余角相等.
如果∠ 1+ ∠ 2=90°，∠ 1+ ∠ 3=90°，那么∠ 2= ∠ 3.
(2)等角的余角相等.
如果∠ 1+ ∠ 2=90°，∠ 3+ ∠ 4=90°，且∠ 1= ∠ 3，
那么∠ 2= ∠ 4.
2. 补角的性质
(1)同角的补角相等.
如果∠ 1+ ∠ 2=180°，∠ 1+ ∠ 3=180°，那么∠ 2= ∠
(2)等角的补角相等.
如果∠ 1+ ∠ 2=180°，∠ 3+ ∠ 4=180°，且∠ 1= ∠ 3，
那么∠ 2= ∠ 4.
特别提醒
1. 如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.
2. “同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角.
3. 余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.
如图4.5－14，直线AB 与∠ COD 的两边OC，OD
分别相交于点E，F，∠ 1+ ∠ 2=180°. 找出图中与∠ 2 相等的角，并说明理由.
例 3
解题秘方：先找出与∠ 1 和∠ 2 互补的角，然后利用互补的关系找出与∠ 2 相等的角.
技巧点拨
“同角(或等角)的余角相等”“同角(或等角)的补角相等”的实质是等量代换，只不过在特定的背景下使用起来更便捷罢了.
解： 因为∠ 1+ ∠ 3=180°，∠ 1+ ∠ 2=180°，
所以∠ 3= ∠ 2.
因为∠ 1+ ∠ 4=180°，∠ 1+ ∠ 2=180°，
所以∠ 4= ∠ 2.
因为∠ 2+ ∠ 5=180°，∠ 6+ ∠ 5=180°，
所以∠ 2= ∠ 6.
所以图中与∠ 2 相等的角有∠ 3，∠ 4，∠ 6.
同角的补
角相等
同角的补
角相等
同角的补
角相等
角的比较与补（余）角
角的比较
互余与互补
角的比较
角的运算
数量关系
度量法
角的和差
叠合法
角的平分线
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作业提升