沪科版八年级上册15.3.3 等边三角形的性质和判定 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
15.3 等腰三角形
第15章 轴对称图形与等腰三角形
第3课时 等边三角形的性质和判定
逐点
学练
本节小结
作业提升
学习目标
本节要点
1
学习流程
2
等边三角形的性质
等边三角形的判定
知识点
等边三角形的性质
感悟新知
1
1. 定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫
正三角形.
特别解读
等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角.
2. 性质
(1)等边三角形的三条边都相等.
(2)等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
(3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别
为三边的垂直平分线.
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.
感悟新知
感悟新知
例 1
如图15.3－4，在等边三角形ABC 中，BC ＝ 8，过BC 边上一点P，作∠ DPE ＝ 60°，分别与边AB，AC 相交于点D 与点E．
(1)在图中找出与∠ EPC 始终相等的角，并说明理由．
(2)若△ PDE 为等边三角形，
求BD+CE 的值．
感悟新知
解法提醒
等边三角形的三个角都为60°，根据此转化可得角之间的关系，这是典型的“一线三等角”型.
解题秘方：掌握等边三角形的性质以及三角形全等的判
定方法是解题的关键．
感悟新知
解：(1)∠ BDP= ∠ EPC，理由如下：
∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ B=60° .
∵∠ DPE=60°，∴∠ DPE= ∠ B.
∵∠ DPC 是△ BDP 的外角，
∴∠ DPE+ ∠ EPC= ∠ B+ ∠ BDP，
∴∠ EPC= ∠ BDP.
感悟新知
(2)∵△ PDE 为等边三角形，∴ PD=PE.
在△ BDP 和△ CPE 中，
∠ B = ∠ C ，
∠ BDP= ∠ CPE，
PD=EP，
∴△ BDP ≌△ CPE，(AAS)
∴ BD=CP，BP=CE，
∴ BD+CE=CP+BP=BC=8．
感悟新知
例2
如图15.3－5，等边三角形ABC 的边长为3，D 是
AC 的中点，点E 在BC 的延长线上，若DE=DB，求CE 的长.
解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知
线段向已知线段转化.
方法点拨
等边三角形具有“三线合一”的性质，有时要运用的和已知的不一致，需要通过“三线合一”的性质进行转化，找出要求线段与已知线段的关系，再解答.
感悟新知
解: ∵△ ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，
∴∠ ABC= ∠ ACB=60°，∠ DBE=
∠ ABC=30° .
又∵ DE=DB，∴∠ E= ∠ DBE=30° .
∵∠ ACB= ∠ CDE+ ∠ E，
∴∠ CDE= ∠ ACB－ ∠ E=30° .
∴∠ CDE= ∠ E.
感悟新知
如图15.3－5，过点C 作CF 垂直DE 于点F，
易得△ CDF ≌△ CEF. ∴ CD=CE.
∵等边三角形ABC 的边长为3，
∴ CE=CD=
AC= .
感悟新知
感悟新知
例 3
如图15.3－6 ①，点P，Q 分别是等边三角形ABC 边
AB，BC 上的动点(端点除外)，点P 从顶点A，点Q 从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ，CP 交于点M．
(1)求证：△ ABQ ≌△ CAP；
(2)当点P，Q 分别在AB，BC 边上运动时，∠ QMC 的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
感悟新知
(3)如图15.3－6 ②，若点P，Q 在运动到终点后继续在
射线AB，BC 上运动，直线AQ，CP 交点为M，则∠ QMC 的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数；
感悟新知
解法提醒
等边三角形的三条边相等，三个内角都等于60°，为三角形全等创造了边、角相等的条件.
解题秘方：根据等边三角形边相等、角相等的性质，证
明△ ABQ ≌△ CAP 是解题关键.
(1)证明：∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ ABQ= ∠ CAP，AB=CA.
又∵点P，Q 的运动速度相同，∴ AP=BQ.
在△ ABQ 与△ CAP 中，
AB=CA，
∠ ABQ= ∠ CAP，
AP=BQ，
∴△ ABQ ≌△ CAP.(SAS)
感悟新知
(2)解：∠ QMC 的大小不变化．
∵△ ABQ ≌△ CAP，∴∠ BAQ= ∠ ACP.
∵∠ QMC= ∠ ACP+ ∠ MAC，
∴∠ QMC= ∠ BAQ+ ∠ MAC= ∠ BAC=60° .
(3)解：∠ QMC 的大小不变化．
易知△ ABQ ≌△ CAP，∴∠ BAQ= ∠ ACP.
∵∠ QMC= ∠ BAQ+ ∠ APM，
∴ ∠ QMC= ∠ ACP+ ∠ APM=180 ° － ∠ PAC=
180° －60° =120°．
感悟新知
知识点
等边三角形的判定
感悟新知
2
1. 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
几何语言：如图15.3－10，在△ ABC 中，
∵∠ A= ∠ B= ∠ C，
∴△ ABC 是等边三角形.
感悟新知
2. 推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言：如图15.3－10，在△ ABC 中，
∵ AB=AC，∠ A=60°(或∠ B=60°或∠C=60°)，
∴△ ABC 是等边三角形.
证明等边三角形的思维导图：
感悟新知
教你一招
在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是
顶角还是底角，推论2 都成立.
2. 等边三角形的判定方法 ：
(1)若已知三边关系，一般选用定义判定；
(2)若已知三角关系，一般选用推论1 判定；
(3)若已知该三角形是等腰三角形，一般选用推论2判定.
感悟新知
例4
[期中·天津和平区] 如图15.3－11，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AF 为BC 的中线，D 为AF 上的一点且BD 的垂直平分线过点C 并交BD 于E．
求证：△ BCD 是等边三角形.
感悟新知
解法提醒
掌握等边三角形的三种判定方法是解此题的关键，见P195特别解读2 等边三角形的判定方法．
解题秘方：根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可推出BD=DC=BC，再利用等边三角形的定义得出结论．
感悟新知
证明：∵ AB=AC，AF 为BC 的中线，
∴ AF ⊥ BC，∴ BD=DC.
∵ CE 是BD 的垂直平分线，
∴ BC=CD，
∴ BD=DC=BC，
∴△ BCD 是等边三角形．
感悟新知
例 5
[期末·西安蓝田] 如图15.3－12，在△ ABC 中，DE 是
AC 边的垂直平分线，且分别交BC，AC 于点D 和E，∠ B=60°，∠ C=30°，
求证：△ ABD 是等边三角形．
解题秘方：根据三个角都相等的三角形是等边三角形证明即可．
感悟新知
教你一招
从角的角度证明三角形是等边三角形，两条思路：
一 是证明三角形的三个内角相等；
二 是求出三角形的三个内角度数都是60° .
感悟新知
证明：∵ DE 垂直平分线段AC，∴ DA=DC，
∴∠ DAC= ∠ C=30°，
∴∠ ADB= ∠ DAC+ ∠ C=60° .
又∵∠ B=60°，∴∠ BAD=60°，
∴∠ B= ∠ ADB= ∠ BAD，
∴△ ABD 是等边三角形．
感悟新知
例6
[期中·成都] 已知：如图15.3－13，△ ABC，△ CDE都是等边三角形，AD，BE 相交于点O，点M，N 分别是线段AD，BE 的中点．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠ DOE 的度数；
(3)求证：△ MNC 是等边三角形．
感悟新知
解法提醒
判定一个三角形是等边三角形的思路：
1. 若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定.
2. 若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三
角形”来判定.
3. 若已知是等腰三角形，则选用“ 有一个角是60°的腰三角
形是等边三角形”来判定.
解题秘方：先证明△ ACM ≌△ BCN，推出CM ＝ CN 和
∠ NCM ＝ 60°，即可利用推论2 进行判定．
感悟新知
(1)证明：∵△ ABC，△ CDE 都是等边三角形，
∴ AC=BC，CD=CE，∠ ACB= ∠ DCE=60°，
∴∠ ACB+ ∠ BCD= ∠ DCE+ ∠ BCD，
∴∠ ACD= ∠ BCE.
在△ ACD 和△ BCE 中， AC=BC，
∠ ACD= ∠ BCE，
CD=CE，
∴△ ACD ≌△ BCE， ∴ AD=BE．
感悟新知
(2)解：∵△ ACD ≌△ BCE，
∴∠ ADC= ∠ BEC.
∵△ DCE 是等边三角形，
∴∠ CED= ∠ CDE=60°，
∴∠ ADE+ ∠ BED= ∠ ADC+ ∠ CDE+ ∠ BED
= ∠ ADC+60° + ∠ BED= ∠ CED+60°
=60° +60° =120°，
∴∠ DOE ＝ 180° －(∠ ADE+ ∠ BED)=60° .
感悟新知
(3) 证明： 由(1) 可知∠ CAD= ∠ CBE，AD=BE，
AC=BC.
又∵点M，N 分别是线段AD，BE 的中点，
∴ AM= AD，BN= BE，
∴ AM=BN.
在△ ACM 和△ BCN 中， AC=BC，
∠ CAM= ∠ CBN，
AM=BN，
感悟新知
∴△ ACM ≌△ BCN，
∴ CM=CN，∠ ACM= ∠ BCN.
又∵∠ ACB=60°，
∴∠ ACM+ ∠ MCB= ∠ BCN+ ∠ MCB=60° .
∴∠ MCN=60°，
∴△ MNC 是等边三角形．
等边三角形的性质和判定
　根据条件判定等边三角形的解题技巧：
(1)若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三角形是
等边三角形”判定．
(2)若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形是等
边三角形”判定．
等边三角形的性质和判定
(3)若已知三角形是等腰三角形，则根据“有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形”判定．
请完成教材课后习题
作业提升
作业1