沪科版八年级上册15.4.1 角的平分线的性质 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
15.4 等腰三角形
第15章 轴对称图形与等腰三角形
第1课时 角的平分线的性质
逐点
学练
本节小结
作业提升
学习目标
本节要点
1
学习流程
2
作已知角的平分线
角的平分线的性质
知识点
作已知角的平分线
感悟新知
1
1. 角的平分线的作法
(1)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线.
(2)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线.
(3)尺规作图法：保留作图痕迹，并指出结论.
感悟新知
2. 尺规作图步骤与图示
已知∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线.
作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M，交OB 于点N.
特别提醒
1.“适当长为半径画弧”的目的是方便作图，不能太长也不要太短；
感悟新知
(2)分别以点M，N 为圆心，以大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C.
2.“以大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小于 MN 的长为半径，则画出的两弧不能相交；
感悟新知
(3)画射线OC. 射线OC 即为所求(如图15.4-1).
3.“画射线OC”不能叙述为“ 连接OC”，
因为角平分线是射线而不是线段；
4. 依据作图可知△ OMC ≌ △ ONC，(SSS) 所以OC 平分∠ AOB.
感悟新知
例 1
如图15.4-2， 已知∠ AOB， 求作： ∠ AOM=
∠ AOB.
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可得原角的
四分之一角.
感悟新知
方法点拨
将一个角四等分，可先作这个角的平分线，将这个角二等分，再作分成的两个角的平分线，可将原角四等分.
感悟新知
解：作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交
OA 于点E，交OB 于点F；
(2)分别以点E，F 为圆心，以大于 EF 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部交于点C；
(3)画射线OC；
(4)同理，作∠ AOC 的平分线OM.∠ AOM 即为所求作的角(如图15.4-2).
知识点
角的平分线的性质
感悟新知
2
1. 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等.
角的平分线的性质的两个必要条件：
(1)点在角平分线上；
(2)这个点到角两边的距离即点到角的两边垂线段的长度.
两者缺一不可.
感悟新知
2. 几何语言 如图15.4-3，
∵ OP 平分∠ AOB，
PD ⊥ OA 于点D，
PE ⊥ OB 于点E，
∴ PD=PE.
感悟新知
特别提醒
角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等).
利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”
感悟新知
例2
[期末·烟台海阳] 如图15.4-4，AD 是△ ABC 的角平分线，DE ⊥ AC，垂足为E，BF ∥ AC 交ED 的延长线于点F，BC 平分∠ ABF，AE ＝ 2BF．
(1)求证：DE ＝ DF；
(2)若BF ＝ 2，求AB 的长．
方法点拨
运用角平分线的性质解决问题时，条件中必须有角平分线性质的模型(即两个必要条件)，若缺少某个部分，则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题.
感悟新知
解题秘方：掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是
解题的关键．解题中，通常过角平分线上一点作两边的垂线段，“角平分线，垂两边”.
(1)证明：如图15.4-4，过D 作DG ⊥ AB 于G，
∵ AD 平分∠ CAB，DE ⊥ AC，
∴ DE ＝ DG.
∵ BF ∥ AC，
∴∠ F ＝∠ CED ＝ 90°，即DF ⊥ BF.
∵ BD 平分∠ ABF，
∴ DF ＝ DG，∴ DE ＝ DF.
感悟新知
(2)解：在△ CDE 和△ BDF 中，
∵ ∠CDE=∠BDF，
DE=DF，
∠ CED= ∠ F， ∴△ CDE ≌△ BDF，(ASA)
∴ CE ＝ BF，∠ C ＝∠ FBD.
∵ AE ＝ 2BF， ∴ AE+CE ＝ 2BF+BF ＝ 3BF，
即AC ＝ 3BF ＝ 6.
∵∠ ABC ＝∠ FBD，∠ C ＝∠ FBD，
∴∠ C ＝∠ ABC， ∴ AB ＝ AC ＝ 6．
感悟新知
感悟新知
例 3
[期末·淄博沂源] 如图15.4-5，在△ ABC 中，∠ C
＝ 90°，AD 平分∠ BAC，DE ⊥ AB 于点E，点F 在AC 上，且BD ＝ DF．
(1)求证：CF ＝ EB；
(2)请你判断AE，AF 与BE 之间的数量关系，并说明理由．
方法点拨
解决线段之间的和差问题，掌握角平分线的性质和三角形全等的判定和性质是解题的关键．
感悟新知
解题秘方：根据角平分线的性质得到线段相等，用线段
相等去证明三角形全等，再根据全等三角形的性质定理即可得证.
感悟新知
(1)证明：∵ AD 平分∠ BAC，DE ⊥ AB，∠ C ＝ 90°，
∴ DC ＝ DE.
在Rt △ DCF 和Rt △ DEB 中，
DC=DE，
DF=DB，
∴ Rt △ DCF ≌ Rt △ DEB，
∴ CF ＝ EB.
感悟新知
(2)解：AF+BE ＝ AE．理由如下：
由(1)可知DC ＝ DE，又∵ AD=AD，
∴ Rt △ DCA ≌ Rt △ DEA，(HL)
∴ AC ＝ AE，
∴ AF+FC ＝ AE，即AF+BE ＝ AE．
感悟新知
例4
[模拟·济南章丘区]如图15.4-6，BD 平分∠ ABC 交
AC 于点D，DE ⊥ AB 于E，DF ⊥ BC 于F，AB ＝ 6，BC ＝ 8，若S △ ABC ＝ 28，求DE 的长．
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和，可得出关于DE 的方程，求出即可．
感悟新知
方法点拨
求垂线段的大小，用等积法是首要选择，根据角平分线性质得出DE＝ DF 是解此题的关键．
感悟新知
解： ∵ BD 平分∠ ABC 交AC 于点D，
DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，
∴ DE ＝ DF.
∵ AB ＝ 6，BC ＝ 8，S △ ABC ＝ 28，
∴ S △ ABC ＝ S △ ABD+S △ BCD ＝ AB DE+
BC DF ＝ DE (AB+BC)＝ 28，
即 DE×(6+8)＝ 28， ∴ DE ＝ 4．
角的平分线的性质
1.角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：
如图，OC 平分∠AOB，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F.
角的平分线的性质
(1)角的相等关系：①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝
∠PEF；②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝
∠DFP＝∠EFP＝∠PDA＝∠PEB＝90°；③∠DPO＝
∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.
(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.
角的平分线的性质
2. 运用角的平分线的性质解决与面积有关的问题的方法：
首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关
系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形边长
之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可
解决问题．
角的平分线的性质
3. 过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最
常用的作辅助线的方法．
请完成教材课后习题
作业提升