第一章 直角三角形的边角关系 章末复习课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
章末小结
北师大版九年级下册
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课堂小结
知识框架
1、锐角三角函数的概念
2、特殊角的三角函数值
3、解直角三角形
4、借助计算器求一般角度数的三角函数
5、三角函数的实际应用
6、利用三角函数测高
知识归纳
知识点一 锐角三角函数的概念
(2)∠A的余弦：cosA＝　　　　　　＝　　　；
(3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　＝　　　.
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1) ∠A的正弦：
∠A的对边
斜边
sin A =
∠A的邻边
斜边
∠A的邻边
∠A的对边
知识点二 特殊角的三角函数值
sin30°＝　　，sin45°＝　　，sin60°＝　　；
cos30°＝　　，cos45°＝　　，cos60°＝　　；
tan30°＝　　，tan45°＝　　，tan60°＝　　.
1
(1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，
∠B，∠C的对边．
三边关系：　 　；
三角关系：__________________；
边角关系：sinA＝cosB＝_______，cosA＝sinB
＝____，
tanA＝____________，tanB＝___________.
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B　
知识点三 解直角三角形
(2) 直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少
有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出
另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；
知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股
定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，
再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添
加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = ，
cosα = _____________，
sin2α + cos2α = .
tanα · tan(90°－α) =___.
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
1
对于sinα与tanα，角度越大，函数值越 ；
对于cosα，角度越大，函数值越____.
大
小
(4) 锐角三角函数的增减性
(1) 利用计算器求三角函数值
第二步：输入角度值，
屏幕显示结果.
(也有的计算器是先输入角度再按函数名称键)
第一步：按计算器 键，
sin
tan
cos
知识点四 借助计算器求三角函数值和锐角
(2) 利用计算器求锐角的度数
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：输入函数值
屏幕显示答案 (按实际需要进行精确)
方法①：
°＇″
2nd F
第一步：按计算器 键，
2nd F
sin
cos
tan
方法②：
第二步：输入锐角函数值
屏幕显示答案 (按实际需要选取精确值).
第一步：按计算器 键，
°＇″
2nd F
(1) 仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
知识点五 三角函数的实际应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有
i = tan α.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，
坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面坡度.记作i，即i = .
(3) 坡度，坡角
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过
程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，
转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
知识点六 利用三角函数测高
A
C
M
N
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
E
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l · tanα+a.
α
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
A
C
B
D
M
N
E
α
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角
∠MDE=β；
β
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离
AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.
典例精析
1.如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为
，则 =__________.
M
记得构造直角三角形哦！
O
P(12,5)
A
x
y
2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
A
B
C
┌
解：
3.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
A
C
B
┌
D
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴在Rt△ABD中，
易知BD=5，AD=12.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA= ,求AC和BC.
4k
┌
A
C
B
15
3k
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．
解：∵
又∵
A
B
C
6
10
6.求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）
解：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
A
7.下列各式中一定成立的是（ ）
A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°
B. tan75°﹤tan48°﹤tan15°
C. cos75°﹥cos48°﹥cos15°
D. sin75°﹤sin48°8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
解：根据勾股定理得
A
B
C
b=20
a=30
c
(2) ∠B＝72°，c = 14.
A
B
C
b
a
c=14
解：
9. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；
解：由题意，AC＝AB＝610（米）.
A
E
B
C
D
39°
45°
A
E
B
C
D
39°
45°
(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）.
故BE＝DEtan39°．
∵CD＝AE，
∴CD＝AB－DE·tan39°
＝610－610×tan39°≈116（米）.
解：DE＝AC＝610（米），
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ .
11. 如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑，
乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北
偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时
测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变
修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？
D
B
A
E
答案：AE= 米.
＞800，
所以古建筑会遭到破坏.
课堂练习
1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
cosA＝ ，求sinA、tanA的值．
解：∵
A
B
C
设AC=15k，则AB=17k
所以
∴
2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，求sinA、cosB的值．
A
B
C
8
解：∵
3．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝
(1)求点B的坐标；
(2)求cos∠BAO的值．
A
B
H
解：(1)如图所示，作BH⊥OA， 垂足为H．在Rt△OHB中，
∵BO＝5，sin∠BOA＝ ,
∴BH=3，OH＝4，
∴点B的坐标为(4，3)．
(2)∵OA＝10，OH＝4，
∴AH＝6．
∵在Rt△AHB中，BH=3，
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形.
D
A
B
C
6
解：
∵AD平分∠BAC，
5. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ，
BC = 5， 试求AB的长.
解：
A
C
B
设
∴AB的长为
解：作DE⊥AB，
CF⊥AB，
垂足分别为E、F．
由题意可知
　 DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
6. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽 (精确到0.1米， ，
).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
在Rt△ADE中，
E
F
在Rt△BCF中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
(米).
(米).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
E
F
课堂小结
锐角三角函数
特殊角的三角函数
解直角三角形
简单实际问题
正弦
锐
角
三
角
函
数
余弦
正切
三边关系
三角关系
边角关系
仰俯角问题
方位角问题
坡度问题