1.6 利用三角函数测高 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
1.6 利用三角函数测高
北师大版九年级下册
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握坡度、坡比的概念，并灵活运用坡度、坡比的概念求出物体的高度；
2、能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告的过程；
3、能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．
导入新课
观察与思考
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
方法一：目测
方法二：计算（怎样用数量关系表示那个山坡更陡呢？）
A
B
C
讲授新课
知识点一 与坡度、坡角有关的实际问题
α
l
h
i= h : l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .
坡面
水平面
知识回顾
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α =___度.
2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.
3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1 : 1
练一练
例1 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，
沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多
少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长
度精确到0.1m）？
i=1:2
典例精析
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，
AC=240m，
解：
用α表示坡角的大小，由题意可得
因此 α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上
升了约107.3 m．
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
因此
例2 铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基宽BC=9.8m，高BE=5.8m，斜坡AB的坡度i=1∶1.6，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：底宽AB和斜坡的坡角α和β (精确到 1°)；
A
D
B
C
i=1:2.5
5.8
9.8
α
i=1:1.6
解： 过C作CF⊥AD于点F，得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠B=β.
β
F
∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
答：铁路路基下底宽为33.6m，斜坡的坡角分别为32°和21°
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
5.8
9.8
α
i=1:1.6
β
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 　　米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
练一练
A
C
B
D
30°
答案：点B和点C的水平距离为 米.
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
h
h
α
α
l
l
探究归纳
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角α1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1.
h1
α1
l1
知识点二 测量倾斜角
0
30
30
60
60
90
90
P
Q
度盘
铅锤
支杆
问题1：如何测量倾斜角？
测量倾斜角可以用测倾器，
----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成
0
30
30
60
60
90
90
1.把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.
P
Q
问题2：如何使用测倾器？
0
30
30
60
60
90
90
2.转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.
M
30°
知识点三 测量底部可以到达的物体的高度
问题1：如何测量旗杆的高度？
A
C
M
N
E
在现实生活中，我们可以直接在旗杆下来回行走，所以只需测量一次角度（如图中的α）就可以确定旗杆的高度.
α
所谓“底部可以到达”，就是
在地面上可以无障碍地直接
测得测点与被测物体的
底部之间的距离，
如图CE的长度.
A
C
M
N
1.在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
E
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
3.量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度.
MN=ME+EN=l·tanα+a
α
问题2：测量旗杆的高度的步骤是怎么样的呢？
例3 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m).
典例精析
解：如图，作EM垂直CD于M点,根据题意，可知
EB=1.4m∠DEM=30°,BC=EM=30 m, CM=BE=1.4m
M
在Rt△DEM中，DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m).
知识点四 测量底部不可以到达的物体的高度
问题1：在黄浦江的另一端，你能否测量东方明珠的高度呢？
所谓“底部不可以到达”，就是
在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离，
如图中的AN或BN的长度.
A
C
B
D
M
N
E
α
β
在现实生活中，我们不可以直接从被测点到达被测点的脚下，这时我们能利用两次测量仰角（图中α和β），再结合解三角形的知识来求出东方明珠的高度.
问题2：测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
1.在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
A
C
B
D
M
N
E
α
2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
β
3.量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度.
当堂练习
1．如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光线刚好不能直接射人室内，则m的值是（ ）
A．m=+0.8 B．m=+0.2
C．m=-0.2 D．m=-0.8
【答案】C
【详解】∵CD=1米，∠CDB=a=60°，
∴BC=CD·tanα=1×=，
∴m=AB=BC-AC=-0.2，
故选：C．
2．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树CD的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴tanB=，
即：，
解得x=8(3-)，
故选A．
3．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点之间的距离为35米，∠A=α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．35sinα米 B．米 C．35cosα米 D．米
【答案】A
【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．
【详解】在Rt△ABC中，
sin∠BAC=,
即sinα=，BC=35·sinα
故选：A．
4．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC=6m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A．(4+3sinα)m B．(4+3tanα)m
C．(4+)m D．(4+)m
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．
5．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠α=45°，∠β=30°，则竹竿AB与AD的长度之比为__________．
【答案】
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握正弦函数的定义及其应用．
6．如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为_____m．（结果保留根号）
【答案】（30+30）．
【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．
【详解】解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝30（m），
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD tan60°＝30×＝30（m），
∴BC＝BD+CD＝30+30（m）
答：该建筑物的高度BC约为（30+30）米．
故答案为：（30+30）．
7．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度为I.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是____．
【详解】解：作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
∴AE＝DE tan∠ADE＝18×＝18，
∴AB＝AE+EB＝18+1.5＝19.5（m），
故答案为：19.5m．
8．如图，小丽的房间内有一张长200m，高50cm的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿与EF墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与EF夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度(BC的长)至少为_________cm_(精确到个位)(参考数据：cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin46°≈0.72)
【答案】
【分析】连接AF,作FH⊥AD构造直角三角形运用三角函数解出FH,再将床高加上即可求出EC的值．
【详解】当A、F在一条直线时,就正好不会吹到床上,连接AF,过点F作FH⊥AD,
∵AD=200,HD=20,
∴AH=180,
∵∠EFA=136°,
∴∠FAD=46°,
∴FH=AH·tan46°=180×1.04=187.2
∴ED=FH=187.2,
∴EC=187.2+50=237.2≈237．
故答案为237．
9．如图，甲 乙两楼相距30m，甲楼高40m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为30°，乙楼有多高？（结果精确到1m）
【答案】57m
【分析】先根据题意作出示意图，然后在RT△ACE中，可得出CE的长度，继而可得出乙楼的高度．
【详解】解：由题意得：
∠CAE＝30°，AE＝BD＝30m，
在Rt△ACE中，CE＝AE tan∠CAE＝10m，
故可得乙楼的高度＝CE＋ED＝CE＋AB＝（40＋10）m≈57m．
10．数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF的高（结果保留整数）．
（参考数据：tan28°≈0.53， cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，≈1.41）
【详解】解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，
在Rt△DEG中，∠EDG＝45°，
∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°
设CH＝xm，
在Rt△CGH中，∠CGH=∠EGD＝45°，
∴GH＝xm
在Rt△CBH中，∠CBH＝28°，
∴tan∠CBH＝，
即：＝tan28°
解这个方程得：x≈45.1，
经检验：x≈45.1符合题意．
∴灯塔的高CF＝55.1≈55（m）
答：灯塔的高为55米．
课堂小结
α
l
h
i= h : l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .
坡面
水平面
利用三角函数测高
测倾器的认识及使用
测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角）
测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角）
利用解三角形的知识，求出物体的高度