5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
用待定系数法求二次函数的表达式
Method of undetermined coefficient
苏科版九年级下册第5章二次函数
教学目标
01
掌握待定系数法求二次函数表达式的一般步骤
02
区分二次函数表达式的三种形式，并选取合适的形式去设表达式
设一般式
求二次函数的表达式
01
问题引入
Q1：已知二次函数y=ax2的图象经过点(2，-16)，求这个函数的表达式
解：根据题意，将(2，-16)代入y=ax2，得：4a=-16，
解一元一次方程得：a=-4，
∴这个函数的表达式为y=-4x2.
解：根据题意，将(-1，5)和(2，8)代入y=ax2+c，得：，
解二元一次方程组得：，
∴这个函数的表达式为y=x2+4.
Q2：已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(-1，5)和(2，8)，求这个函数的表达式
01
问题引入
Q3：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1，10)、(1，4)、(0，3)，求这个函数的表达式
解：根据题意，将(-1，10)、(1，4)、(0，3)代入y=ax2+bx+c，
得：，
解三元一次方程组得：，
∴这个函数的表达式为y=4x2-3x+3.
问题引入
【分析】
Q1：已知二次函数y=ax2的图象经过点(2，-16)，求这个函数的表达式
Q2：已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(-1，5)和(2，8)，求这个函数的表达式
Q3：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1，10)、(1，4)、(0，3)，求这个函数的表达式
已知二次函数的含参表达式，如y=ax2、y=ax2+c、y=ax2+bx+c等，
可直接代入已知点的坐标，解关于参数的方程（组）
若不知二次函数的含参表达式，只知二次函数图象上点的坐标，又该如何？
02
知识精讲
自行设出二次函数的含参表达式即可~
问题引入
02
知识精讲
Q3变形：已知二次函数的图象经过点(-1，10)、(1，4)、(0，3)，
求这个函数的表达式
解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)——一般式
根据题意，将(-1，10)、(1，4)、(0，3)代入，
得：，解得：，
∴这个函数的表达式为y=4x2-3x+3.
此法即待定系数法
注意
设表达式时，a≠0莫忘写！
待定系数法求二次函数表达式的一般步骤：
一 设：设二次函数的表达式 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)
二 代：代入已知点的坐标 三 解：解方程（组），求得系数
02
知识精讲
待定系数法求二次函数表达式
例1-1、已知抛物线y=ax2+bx+2过点A(-1，-1)，B(1，3)，
求此抛物线的解析式．
解：将(-1，-1)，(1，3)分别代入y=ax2+bx+2，
得：，解得：，
∴此抛物线的解析式为y=-x2+2x+2．
例1-2、已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点(1，1)与(-1，9)，
求此函数的解析式．
解：将(1，1)与(-1，9)分别代入y=2x2+bx+c，
得：，解得：，
∴此函数的解析式为y=2x2-4x+3．
例1-3、如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点A和点B，
求该二次函数的表达式．
解：由图象可知：A(-1，-1)，B(3，-9)，
将A(-1，-1)，B(3，-9)分别代入y=ax2-4x+c，
得：，解得：，
∴该二次函数的表达式为y=x2-4x-6．
已知任意三点坐标，
设一般式
例2、一个二次函数的图象经过(-1，-1)，(0，0)，(1，9)三点，
求这个二次函数的解析式．
解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
将(-1，-1)，(0，0)，(1，9)分别代入，
得：，解得：，
∴这个二次函数的解析式为y=4x2+5x．
再次强调
设表达式时，a≠0莫忘写！
知识精讲
设顶点式
求二次函数的表达式
01
问题引入
Q1：已知二次函数y=a(x-h)2+k的顶点为(2，-5)，且图象过点(1，-14)，
求此函数的解析式
解：根据题意，y=a(x-2)2-5，
将(1，-14)代入，得：a(1-2)2-5=-14，
解得：a=-9，
∴此函数的解析式为y=-9(x-2)2-5，即y=-9x2+36x-41．
01
问题引入
Q2：已知二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴为直线x=1，且过点(3，0)和(0，3)，
求此函数的解析式
解：根据题意，y=a(x-1)2+k，
将(3，0)和(0，3)分别代入，
得：，解得：，
∴此函数的解析式为y=-(x-1)2+4，即y=-x2+2x+3．
问题引入
02
知识精讲
Q1变形：求以(2，-5)为顶点，且图象过点(1，-14)的二次函数的解析式
解：设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0)——顶点式
先设出含参表达式
根据题意，y=a(x-2)2-5，
将(1，-14)代入，得：a(1-2)2-5=-14，
解得：a=-9，
∴此函数的解析式为y=-9(x-2)2-5，即y=-9x2+36x-41．
问题引入
02
知识精讲
Q2变形：求对称轴为直线x=1，且过点(3，0)和(0，3)的二次函数的解析式
解：设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0)——顶点式
先设出含参表达式
根据题意，y=a(x-1)2+k，
将(3，0)和(0，3)分别代入，
得：，解得：，
∴此函数的解析式为y=-(x-1)2+4，即y=-x2+2x+3．
待定系数法求二次函数表达式的一般步骤：
一 设：设二次函数的表达式 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0)
二 代：代入已知点的坐标 三 解：解方程（组），求得系数
02
知识精讲
待定系数法求二次函数表达式
已知顶点+另一点坐标，
设顶点式
例3、已知抛物线的顶点为(1，-4)，且经过点(3，0)，求该抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，
根据题意，y=a(x-1)2-4，
将(3，0)代入，得：a(3-1)2-4=0，
解得：a=1，
∴该抛物线的解析式为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3．
即顶点坐标(3，-1)
例4-1、已知二次函数的图象过(0，7)，当x=3时，y最小值=-1，
求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，
根据题意，顶点坐标为(3，-1)，则y=a(x-3)2-1，
将(0，7)代入，得：a(0-3)2-1=7，
解得：a=，
∴此二次函数的解析式为y=(x-3)2-1，即y=x2-x+7．
已知顶点+另一点坐标，
设顶点式
即顶点坐标(3，4)
例4-2、已知二次函数的图象过(4，-3)，当x=3时，y最大值=4，
求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，
根据题意，顶点坐标为(3，4)，则y=a(x-3)2+4，
将(4，-3)代入，得：a(4-3)2+4=-3，
解得：a=-7，
∴此二次函数的解析式为y=-7(x-3)2+4，即y=-7x2+42x-59．
已知顶点+另一点坐标，
设顶点式
已知对称轴+两点坐标，
设顶点式
例5、已知二次函数的图象经过点A（1，-2）和B（0，-1），且对称轴为x=1，
求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，
根据题意，y=a(x-1)2+k，
将(1，-2)和(0，-1)分别代入，
得：，解得：，
∴此函数的解析式为y=(x-1)2-2，即y=x2-2x-1．
问题引入
02
知识精讲
根据例题总结——设二次函数的表达式时两种形式的选择：
形式 一般式 顶点式
y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0)
使用条件 已知任意三点的坐标 已知顶点+另一点坐标
已知对称轴+两点坐标
设交点式
求二次函数的表达式
01
问题引入
Q1：已知抛物线过(-2，0)、(1，0)、(0，2)三点，
求这条抛物线的解析式
解：设这条抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
将(-2，0)，(1，0)，(0，2)分别代入，
得：，解得：，
∴这条抛物线的解析式为y=-x2-x+2．
问题引入
由上题得：
过(-2，0)、(1，0)、(0，2)三点的抛物线的解析式为y=-x2-x+2
02
知识精讲
【分析】
(-2，0)、(1，0)
抛物线与x轴的两个交点的坐标
令y=0，即-x2-x+2=-(x+2)(x-1)=0，解得：x=-2或x=1
∴形式如y=a(x+2)(x-1)的抛物线必过(-2，0)、(1，0)两点
反之，过(-2，0)、(1，0)两点的抛物线可设成y=a(x+2)(x-1)的形式
问题引入
02
Q1：已知抛物线过(-2，0)、(1，0)、(0，2)三点，
求这条抛物线的解析式——要求设交点式
根据题意，y=a(x-x1)(x-x2)=a(x+2)(x-1)，
将(0，2)代入，得：a(0+2)(0-1)=2，
解得：a=-1，
∴这条抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-1)，即y=-x2-x+2．
解：设这条抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)——交点式
注意
交点式必须化成一般式！！！
知识精讲
问题引入
进一步推广~
02
知识精讲
若抛物线过(x1，0)、B(x2，0)两点，
则抛物线可设成y=a(x-x1)(x-x2)的形式——即交点式
待定系数法求二次函数表达式的一般步骤：
一 设：设二次函数的表达式 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
二 代：代入已知点的坐标 三 解：解方程（组），求得系数
02
知识精讲
待定系数法求二次函数表达式
已知与x轴的交点+另一点坐标，
设交点式
例6、已知抛物线过(-1，0)、B(5，0)、C(3，16)三点，求该抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，
根据题意，y=a(x+1)(x-5)，
将(3，16)代入，得：a(3+1)(3-5)=16，
解得：a=-2，
∴该抛物线的解析式为y=-2(x+1)(x-5)，即y=-2x2+8x+10．
再次强调
交点式必须化成一般式！！！
问题引入
02
知识精讲
根据例题总结——设二次函数的表达式时三种形式的选择：
形式 一般式 顶点式 交点式
y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
使用条件 已知任意三点的坐标 已知顶点+另一点坐标 已知与x轴的交点+另一点坐标
已知对称轴+两点坐标
课后总结
设二次函数的表达式时三种形式的选择：
形式 一般式 顶点式 交点式
y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
使用条件 已知任意三点的坐标 已知顶点+另一点坐标 已知与x轴的交点+另一点坐标
已知对称轴+两点坐标 待定系数法求二次函数表达式的一般步骤：
一 设：设二次函数的表达式 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
二 代：代入已知点的坐标 三 解：解方程（组），求得系数
课后预习
对于y=ax2+bx+c(a≠0)——二次函数，
令y=0，可得：ax2+bx+c=0(a≠0)——一元二次方程
我们下节课要挖掘的就是二次函数与其对应的一元二次方程的关系
谢谢学习
Thank you for learning