27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（第3课时） 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（沪教版）
第 27 章 圆与正多边形
27.2圆心角、弧 弦、弦心距之间的关系（第3课时）
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问
题.（重点）
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”
条件的意义.（难点）
学习目标
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.
复习引入
在同圆或等圆中
题设
结论
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
复习引入
例1：已知：如图（1），点F为圆O内一点，
过点F作圆O的两条弦AB、CD，
且∠AFO＝∠DFO，
求证：（1）AB＝CD；（2）
分析：要证明结论AB=CD，由已知
条件∠AFO=∠DFO想到什么？
典例1
E
D
C
B
A
O
F
M
N
例1：已知：如图（1），点F为圆O内一点，
过点F作圆O的两条弦AB、CD，
且∠AFO＝∠DFO，
求证：（1）AB＝CD；（2）
证明：（1）过点O分别作OM⊥AB ，ON⊥CD，垂足分别为M、N．则OM、ON分别表示AB和CD的弦心距．
∵∠AFO=∠DFO，∴ OM=ON．
∴AB=CD．
（2）∵AB=CD，∴
．
例2: 已知，如图（4）：⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC的外角∠DAC，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM＝ON
求证：（1）AE∥BC (2)AO⊥AE
证明：（1）∵OM⊥AB，ON⊥AC，OM=ON．
∴ AB=CD，∴ ∠B=∠C．
∵∠DAC=∠B+∠C，∴∠DAC=2∠B，
∵AE平分∠DAC，∴∠DAC=2∠DAE，
∴2∠DAE=2∠B，∴ ∠DAE=∠B．∴ AE∥BC．
（2）∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM＝ON，
∴点O在∠BAC平分线上，即AO平分∠BAC，
得∠BAC=2∠CAO．
∵2∠CAO +2∠CAE =180°，∴∠EAC+∠CAO=90°，
∴AO⊥AE．
典例2
课本练习
1.已知，在⊙O中，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD.
求证：△ACB≌△DBC.
2.已知，AB是 ⊙O的直径，AC和AD是分别位于AB两侧的两条相等的弦.
求证：AB平分∠CAD.
E
F
3.已知，⊙O的弦AB与CD相交于点E，AB=CD.
求证：AE=DE.
可证：△ABD≌△DCA
随堂检测
1．如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　.
D
60 °
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ）
⌒ ⌒
A
A. AB=2CD
⌒ ⌒
B. AB>CD
⌒ ⌒
C. AB⌒ ⌒
D. 不能确定
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则BD的度数为(　　)
A．25°
B．30°
C．50°
D．65°
C
︵
5．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(　　)
①AB＝CD；
②BD＝AC；
③AC＝BD;
④∠BOD＝∠AOC.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
︵
︵
︵
︵
D
B
6．在同圆或等圆中，不一定成立的是(　　)
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的弦所对的弧相等
C．相等的弧所对的弦相等
D．相等的弧所对的圆心角相等
7．如图，观察下列图形及相应推理，其中正确的是(　　)
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
C
*8．如图，AB是⊙O的直径，若∠COA＝∠DOB＝60°，则与线段AO的长度相等的线段有(　　)
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
【点拨】∵∠COA＝∠DOB＝60°，∴∠COD＝60°，∵OA＝OC＝OD＝OB，∴△AOC，△COD，△BOD均为等边三角形，∴OA＝OC＝OD＝OB＝AC＝CD＝BD，故选D.
【答案】D
*9.在⊙O中，点M、N分别为弦AB、CD的中点，如果OM＝ON，那么在结论：①AB＝CD；②AB＝CD；③∠AOB＝∠COD中，正确的是(　　)
A．①②　　B．①③ C．②③　 D．①②③
︵
︵
【点拨】∵点M、N分别是弦AB、CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD.
∵OM＝ON，
∴AB＝CD，AB＝CD，∠AOB＝∠COD.
【答案】D
︵
︵
10．如图，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，点M、N分别为垂足，那么OM、ON的大小关系是(　　)
A．OM>ON
B．OM＝ON
C．OMD．无法确定
错解：A或B
诊断：对于“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等”这一性质中反映的各组量之间的关系判断不准，从而导致错误．
正解：C
圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等
弦心距
相等
课堂小结