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专题08 探究与表达规律 专项提升（精讲）
【解题技巧】
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.
2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或总数与序号之间的关系.
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.
5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
2. 常见的数列规律：
1）1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．
2） 2，4，6，8，10，…，（为正整数）．
3） 2，4，8，16，32，…，（为正整数）．
4）2， 6， 12， 20，…， （为正整数）．
5），，，，，，…，（为正整数）．
6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，.
②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.
高频考点1：数列的规律
例1．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第n个单项式即可．
【详解】解：∵，，，，，……，
∴系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n-1,
指数的规律为2n+1，∴第n个单项式为，故选：B．
【点睛】本题考查数式的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．
变式1．（2022·广西百色·二模）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第8个数是_____．
【答案】
【分析】不难看出，奇数项为负，偶数项为正，分子部分为2n+1，分母部分为3n-1，据此即可作答．
【详解】解：∵，，，…，
∴第n个数为：，∴第8个数为：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
变式2.（2022 沂南县模拟）观察下列两行数：
0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
0，3，6，9，12，15，18，21，24，…
探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
【分析】由所给的数字可发现：第1个相同的数是0＝6×（1﹣1），第2个相同的数是6＝6×（2﹣1），第3个相同的数为12＝6×（3﹣1），…，从而可得其规律：第n个相同的数为：6（n﹣1），则可求解．
【解答】解：∵第1个相同的数是0＝6×（1﹣1），
第2个相同的数是6＝6×（2﹣1），第3个相同的数为12＝6×（3﹣1），…，
∴第n个相同的数为：6（n﹣1），∴6（n﹣1）＝102，解得：n＝18．故选：C．
变式3．（2022·山东泰安·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是（ ）
A．35 B．40 C．45 D．50
【答案】B
【分析】分别探究“三角形数”与“正方形数”的存在规律，求出第5个“三角形数”与第5个“正方形数”，再求第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和．
【详解】第1个“三角形数”：1，第2个“三角形数”：1+2=3，
第3个“三角形数”：1+2+3=6，第4个“三角形数”：1+2+3+3=10，第5个“三角形数”：1+2+3+4+5=15，
第1个“正方形数”：1，第2个“正方形数”：22=4，第3个“正方形数”：32=9，第4个“正方形数”：42=16，
第5个“正方形数”：52=25，∴15+25=40．故选：B．
【点睛】本题主要考查了“三角形数”与“正方形数”，解决问题的关键是探究“三角形数”与“正方形数”的规律，运用规律求数．
变式4．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）按顺序观察下列五个数-1，5，-7，17，-31……，找出以上数据依次出现的规律，则第个数是_____________．
【答案】
【分析】所给的数可转化为：-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…据此即可得第n个数，从而可求解．
【详解】解：∵-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…，
∴第奇数个数为：1-2n；第偶数个数为：1+2n；
∴第n个数为：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析出存在的规律．
高频考点2：数表的规律
例1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，从左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（ ）
A．115 B．114 C．113 D．112
【答案】A
【分析】观察图形可知，每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1，即可得出（15，1）表示的数，然后得出（15，10）表示的数即可．
【详解】解：因为（1，1）表示的数是：1，（2，1）表示的数是：1+1=2，
（3，1）表示的数是：1+1+2=4，（4，1）表示的数是：1+1+2+3=7，
（5，1）表示的数是：1+1+2+3+4=11，……
所以（a，1）表示的数是：，
所以（15，1）表示的数是：，
所以（15，10）表示的数是：106+10-1=115，故选A．
【点睛】本题考查了找图形和数字规律，从题目分析发现每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1是本题的关键．
变式1.（2022·江苏镇江市·）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
【答案】B
【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B．
【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
变式2.．（2022·吉林·七年级期中）把正整数1，2…排列成如下一个数表：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 2 3 4 5
第2行 6 7 8 9 10
第3行 11 12 13 14 15
… … … … … …
（1）30在第______行第______列；（2）第n行第2列的数是_________；
（3）嘉嘉和琪琪玩游戏，嘉嘉说：“从数表中挑一个大于5的数x，我就可以按下面程序计算出x是第a行第b列．”你认为嘉嘉说的对吗？如果对请说明理由；若不对请举出反例．
【答案】（1）6，5；（2）5n﹣3；（3）嘉嘉说的不对，反例见解析
【分析】（1）根据每行数最后一个数都是5的倍数得到规律，由此解答；
（2）由（1）得到第n行第5列数，由此得到第n行第2列的数；
（3）选数字6代入公式计算，即可判断其说法是错误的．
【详解】解：（1）根据表格中数据可知，第1行第5列数是15，
第2行第5列数是210，第3行第5列数是315，
∴每行数最后一个数都是5的倍数，
∵，∴30在第6行第5列，故答案为：6，5；
（2）由（1）可知，第n行第5列数是5n，
∴第n行第2列的数是5n﹣3，答案为：5n﹣3；
（3）嘉嘉说的不对：
反例：，根据计算6应为第1行第1列的数，但6为第2行第1列的数，
∴当x>5时，则为第（a+1）行第b列数．
【点睛】此题考查数字类规律，正确计算并根据已知数据得到数据的变化规律是解题的关键．
变式3.（2022·四川成都·七年级期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为___．
【答案】102×299
【分析】分析得出第101行有1个数，即为最后一行的数，据每行的第一个数字得到规律，从而判断．
【详解】解：由题意，第1行有101个数，
第2行有100个数，…，第101行有1个数，
故第1行的第一个数为：1=2×2-1，第2行的第一个数为：3=3×20，
第3行的第一个数为：8=4×21，第n行的第一个数为：（n+1）×2n-2，
∴第101行的第一个数为：102×299，故答案为：102×299．
【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
变式4．（2022·广东湛江·七年级期末）各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出，的值分别为（ ）
0 3 2 5 4 7 6
4 13 6 31 8 57
A．9，10 B．9，91 C．10，91 D．10，110
【答案】C
【分析】分析前三个图形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，由此即可求出a、b、c
【详解】由前三个图形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，
故选：C
【点睛】本题考查规律中的数字变换，分析前面的图形，得出：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，找出给定的数之间的关系时解题关键．
高频考点3：算式的规律
算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。
例1．（2022·黑龙江绥化·期末）已知：，，，……那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目所给式子，找到规律即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律型问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
变式1．（2022·山东泰安·期中）（n为非负整数）当，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
…
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为展开式中所有项系数的和应该是（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】C
【分析】由“杨辉三角”得到：（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n．
【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20，
当n=1时，展开式中所有项的系数和为2=21，
当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22，
当n=9时，展开式的项系数和为=29=512，故选：C．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．
变式2．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）已知：；；；…，若符合前面式子的规律，则的值是（ ）
A．90 B．89 C．100 D．109
【答案】A
【分析】根据已知中的规律可得，分数的分子与整数相同，分母是整数的平方减1，然后求出a、b，再相加即可．
【详解】解：∵，，，，
∴中，b=9，a=92-1=80，∴a+b+1=80+9+1=90．故选：A．
【点睛】对数字变化规律的考查，比较简单，观察出加数的分子、分母与整数加数的关系是解题关键．
变式3．（2022·山东淄博·期末）观察下列等式：
；
；
；
；
；
根据以上等式总结规律并计算，则______．
【答案】255
【分析】根据所给出的等式找到规律，再利用式子的规律进行逆用即可求解．
【详解】解：由给出等式可知，，
∴故答案为：255．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够根据题中所给式子探索出式子的规律是解题的关键．
高频考点4：图形的规律（一次类）
例1．（2022·山东威海·期末）用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋子数为（ ）
A．6069个 B．6066个 C．6072个 D．6063个
【答案】A
【分析】根据前4个图形的棋子个数，可以得到规律第n个图形有个棋子，据此求解即可．
【详解】解：第1个图形有个棋子，
第2个图形有个棋子，
第3个图形有个棋子，
第4个图形有个棋子，
∴可知第n个图形有个棋子，
∴第2022个图形有个棋子，故选：A．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律，正确理解题意找到图形之间的规律是解题的关键．
变式1．（2022·云南玉溪·七年级期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有（ ）个“ｏ”．
A．3n B．3n+1 C．3n-1 D．3n+2
【答案】B
【分析】设第n个图形共有an个“o”（n为正整数），观察图形，根据各图形中“o”个数的变化可得出变化规律“an＝3n+1（n为正整数）”，即可求出结论．
【详解】设第n个图形共有an个“o”（n为正整数），
观察图形，可知：a1＝4＝1+3，a2＝7＝1+2×3，a3＝10＝1+3×3，a4＝13＝1+4×3，…，
∴an＝3n+1（n为正整数），
故选B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“o”个数的变化找出变化规律“an＝3n+1（n为正整数）”是解题的关键．
变式2．（2022·福建泉州·七年级阶段练习）将同样大小的正方形按下列规律摆放，重叠部分涂上阴影，则下面图案中，第1个图案有3个正方形，第2个图案有7个正方形……
若第个图案中有8087个正方形，则＝________．
【答案】2022
【分析】根据所给图形得出第n个图形有个正方形，则，进行计算即可得．
【详解】解：第1个图形有3个正方形，，
第2个图形有7个正方形，，
第3个图形有11个正方形，，…，
依此类推，第n个图形有个正方形，
则，，故答案为：2022．
【点睛】本题考查了与图形有关的规律问题，解题的关键是能够根据所给的图形找出规律．
变式3．（2022·辽宁盘锦·七年级期末）在庆祝建党“100周年”的活动上，某学校用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样，按照这种规律，第2022个“100”字样的棋子个数是______________．
【答案】10116
【分析】先根据题意总结出其中的规律，然后利用代数式表示出第n个字样棋子的个数，再将n=2022代入计算即可．
【详解】解：根据图形可知：
①棋子的个数是个，②棋子的个数是个，
③棋子的个数是个，④棋子的个数是个，…
第n个字样棋子的个数是个．
∴第2022个字样棋子的个数是个．故答案为：10116．
【点睛】本题主要考查图形类规律探索，总结、归纳出棋子个数的规律是解答本题的关键．
高频考点5：图形的规律（二次类）
例1．（2022·重庆八年级阶段练习）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，第一个图案需要3根火柴棒，第二个图案需要9根火柴棒，第三个图案需要18根火柴棒，……，依据此规律，第六个图案需要的火柴棒根数为（ ）
A．45 B．63 C．84 D．108
【答案】B
【分析】通过观察n＝1时，需要火柴的根数为：3×1；
n＝2时，需要火柴的根数为：3×（1+2）；
n＝3时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3）；
得到第n个图形需要火柴数为3×（1+2+3+…+n），按规律求解即可．
【详解】解：n＝1时，有1个三角形，需要火柴的根数为：3＝3×1；
n＝2时，需要火柴的根数为：9＝3×（1+2）；
n＝3时，需要火柴的根数为：18＝3×（1+2+3）；……
n＝6时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3+4+5+6）＝63．故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，本题的关键是每个图形的火柴总数与图形序号数的关系．
变式1.（2022·重庆·七年级期末）下图是同样大小一些瓢虫按照一定规律爬行，第1个图有3个瓢虫，第2个图有8只瓢虫，第3个图形有15只瓢虫，…，第8个图形的瓢虫个数为（ ）
A．80 B．79 C．70 D．63
【答案】A
【分析】由图形得出第n个图形中瓢虫个数为n（n+2），据此可得．
【详解】解：∵第1个图形中瓢虫个数为3=1×3，第2个图形中瓢虫个数为3+2+3=2×4=8，
第3个图形中瓢虫个数为3+2+3+4+3=3×5=15，第4个图形中瓢虫个数为4×6=24， ，
∴第8个图形中瓢虫个数为8×10=80．故选：A．
【点睛】本题考查图形的变化规律，根据已知图形得出第n个图形中瓢虫个数为n（n+2）是解题的关键．
变式2．（2022·河北石家庄·八年级期中）用同样大小的黑色棋子按图1～图4所示的规律摆放下去，那么，第5个图形中黑色（不棋子个数为_____个；第n个图形中黑色棋子的个数S与n的关系式为__________（不用写出自变量n的取值范围）．
【答案】 64
【分析】第1个图形中黑色棋子的个数为：，第2个图形中黑色棋子的个数为：，第3个图形中黑色棋子的个数为：，由此得到规律进行求解即可．
【详解】解：第1个图形中黑色棋子的个数为：，
第2个图形中黑色棋子的个数为：，
第3个图形中黑色棋子的个数为：，
∴第5个图形中黑色棋子的个数为：；
∴第n个图形中黑色棋子的个数为：，
故答案为：64；．
【点睛】本题主要考查了与图形有关的规律题，正确理解题意找到对应的规律是解题的关键．
变式3．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面．观察下列图形，探究并解答问题．
(1)在第5个图中，共有白色瓷砖 块；在第n个图中，共有白色瓷砖 块．
(2)在第5个图中，共有瓷砖 块；在第n个图中，共有瓷砖 块．
(3)如果每块黑瓷砖30元，每块白瓷砖40元，当n＝10时，铺设长方形地面共需花多少钱购买瓷砖？
【答案】(1)35， (2)63， (3)6240
【分析】（1）通过观察发现规律，在第5个图中，共有白色瓷砖的数量为7×5块，将上面的规律写出来即可；（2）通过观察发现规律，在第5个图中，共有瓷砖的数量为7×9，将上面的规律写出来即可； （3）求出当n=10时，黑色和白色瓷砖的个数，然后计算总费用即可．
（1）解：根据题意得：在第1个图中，共有白色瓷砖的数量为3=3×1；在第2个图中，共有白色瓷砖的数量为8=4×2；在第3个图中，共有白色瓷砖的数量为15=5×3；在第4个图中，共有白色瓷砖的数量为24=6×4；在第5个图中，共有白色瓷砖的数量为35=7×5；……在第n个图中，共有白色瓷砖的数量为． 故答案为：35，
（2）解：根据题意得：在第1个图中，共有瓷砖的数量为5=3×5；在第2个图中，共有瓷砖的数量为24=4×6；在第3个图中，共有瓷砖的数量为35=5×7；在第4个图中，共有瓷砖的数量为48=6×8；在第5个图中，共有瓷砖的数量为63=7×9；……在第n个图中，共有瓷砖的数量为；故答案为：63，
（3）解：根据题意得：当n＝10时，共有白色瓷砖的数量为10×12=120，共有瓷砖的数量为（10+4）×（10+2）=168，∴共有黑色瓷砖的数量为168-120=48，∴铺设长方形地面共需的费用为答：当n＝10时，铺设长方形地面共需花6240元钱购买瓷砖．
【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，此题有一定拔高难度，属于难题，解答此题的关键是通过观察和分析，找出其中的规律．
变式4. （2022重庆七年级期中）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（ ）
A．55 B．220 C．285 D．385
【答案】A
【分析】“三角形数”可以写为：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，15＝1+2+3+4+5，所以第n层“三角形数”为，再把n＝10代入计算即可．
【详解】解：∵“三角形数”可以写为：第1层：1，第2层：3＝1+2，第3层：6＝1+2+3，第4层：10＝1+2+3+4，第5层：15＝1+2+3+4+5，∴第n层“三角形数”为，
∴若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为＝55．故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及数字变化规律，得出第n层“三角形数”为是解答本题的关键．
高频考点6：图形的规律（指数类）
例1.（2022·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．
【答案】
【分析】利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长C1，C2，C3，C4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【详解】解：∵C1＝1+1+1＝3，C2＝1+1+＝，C3＝1+1+×3＝，C4＝1+1+×2+×3＝，…
∴C3﹣C2= ，C3﹣C2＝﹣＝＝（）2；C4﹣C3＝﹣＝＝（）3，…
则C n﹣Cn﹣1＝（）n﹣1＝．故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中运算规律，并应用规律解决问题．
变式1.（2022·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）图见解析，
【分析】（1）利用题干中所给方法解答即可；（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32， n个数时和为n2，由此可得①为25个数，和为252=625；②为（n+1）个数，和为(n+1)2；（3）按要求画出示意图，依据图形写出计算结果．
【详解】解：（1）1+2+3+ +20=（1+20）×20=21×10=210；故答案为：210；
（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32， ，n个数时和为n2．①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49=252=625．
②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)个数，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．故答案为：625；(n+1)2；
（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，
第一次将正方形分割为和两部分，第二次将正方形的分割为和两部分， ，以此类推，
第2020次分割后，剩余的面积为，那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：
，∴，
左右两边同除以2得：．∴原式．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，数形结合的思想方法．前两小题考察学生数与形相结合，难度不大，仔细观察规律，即可求解，第三小题对学生构建数与形的要求较高，考察学生的发散性思维．
变式2．（2022·日照九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积为原来面积的一半即可解答．
【详解】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积S1=，第二次：余下面积S2=，第三次：余下面积S3=，
当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为S2021=，故选：C．
【点睛】本题考查剪纸问题，图形的变化，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
变式2．（2022·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可.
【详解】解：分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即为所求.最后一个小长方形的面积= 故
即故选B.
【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，通过数形结合看出前面所有小长方形的面积等于总面积减去最后一个空白的小长方形的面积是解答此题的关键.
变式3．（2022·山西实验中学九年级其他模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，每次挖去等边三角形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
【解答】解：图2阴影部分面积＝1﹣，图3阴影部分面积＝，
图4阴影部分面积＝，图5阴影部分面积＝．故选：B．
变式4．（2022·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．
【答案】
【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据句各部分图形的面积之和等于正方形面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得：……；
∴，∴S1+S2+S3+…+S2021＝；
故答案为，．
【点睛】本题主要考查图形规律及有理数的运算，关键在于观察各部分图形的面积之和等于正方形面积减去剩下部分的面积．
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专题08 探究与表达规律 专项提升（精讲）
【解题技巧】
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.
2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或总数与序号之间的关系.
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.
5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
2. 常见的数列规律：
1）1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．
2） 2，4，6，8，10，…，（为正整数）．
3） 2，4，8，16，32，…，（为正整数）．
4）2， 6， 12， 20，…， （为正整数）．
5），，，，，，…，（为正整数）．
6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，.
②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.
高频考点1：数列的规律
例1．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·广西百色·二模）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第8个数是_____．
变式2.（2022 沂南县模拟）观察下列两行数：
0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
0，3，6，9，12，15，18，21，24，…
探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
变式3．（2022·山东泰安·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是（ ）
A．35 B．40 C．45 D．50
变式4．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）按顺序观察下列五个数-1，5，-7，17，-31……，找出以上数据依次出现的规律，则第个数是_____________．
高频考点2：数表的规律
例1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，从左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（ ）
A．115 B．114 C．113 D．112
变式1.（2022·江苏镇江市·）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
变式2.．（2022·吉林·七年级期中）把正整数1，2…排列成如下一个数表：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 2 3 4 5
第2行 6 7 8 9 10
第3行 11 12 13 14 15
… … … … … …
（1）30在第______行第______列；（2）第n行第2列的数是_________；
（3）嘉嘉和琪琪玩游戏，嘉嘉说：“从数表中挑一个大于5的数x，我就可以按下面程序计算出x是第a行第b列．”你认为嘉嘉说的对吗？如果对请说明理由；若不对请举出反例．
变式3.（2022·四川成都·七年级期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为___．
变式4．（2022·广东湛江·七年级期末）各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出，的值分别为（ ）
0 3 2 5 4 7 6
4 13 6 31 8 57
A．9，10 B．9，91 C．10，91 D．10，110
高频考点3：算式的规律
算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。
例1．（2022·黑龙江绥化·期末）已知：，，，……那么（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东泰安·期中）（n为非负整数）当，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
…
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为展开式中所有项系数的和应该是（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
变式2．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）已知：；；；…，若符合前面式子的规律，则的值是（ ）
A．90 B．89 C．100 D．109
变式3．（2022·山东淄博·期末）观察下列等式：
；
；
；
；
；
根据以上等式总结规律并计算，则______．
高频考点4：图形的规律（一次类）
例1．（2022·山东威海·期末）用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋子数为（ ）
A．6069个 B．6066个 C．6072个 D．6063个
变式1．（2022·云南玉溪·七年级期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有（ ）个“ｏ”．
A．3n B．3n+1 C．3n-1 D．3n+2
变式2．（2022·福建泉州·七年级阶段练习）将同样大小的正方形按下列规律摆放，重叠部分涂上阴影，则下面图案中，第1个图案有3个正方形，第2个图案有7个正方形……
若第个图案中有8087个正方形，则＝________．
变式3．（2022·辽宁盘锦·七年级期末）在庆祝建党“100周年”的活动上，某学校用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样，按照这种规律，第2022个“100”字样的棋子个数是______________．
高频考点5：图形的规律（二次类）
例1．（2022·重庆八年级阶段练习）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，第一个图案需要3根火柴棒，第二个图案需要9根火柴棒，第三个图案需要18根火柴棒，……，依据此规律，第六个图案需要的火柴棒根数为（ ）
A．45 B．63 C．84 D．108
变式1.（2022·重庆·七年级期末）下图是同样大小一些瓢虫按照一定规律爬行，第1个图有3个瓢虫，第2个图有8只瓢虫，第3个图形有15只瓢虫，…，第8个图形的瓢虫个数为（ ）
A．80 B．79 C．70 D．63
变式2．（2022·河北石家庄·八年级期中）用同样大小的黑色棋子按图1～图4所示的规律摆放下去，那么，第5个图形中黑色（不棋子个数为_____个；第n个图形中黑色棋子的个数S与n的关系式为__________（不用写出自变量n的取值范围）．
变式3．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面．观察下列图形，探究并解答问题．
(1)在第5个图中，共有白色瓷砖 块；在第n个图中，共有白色瓷砖 块．
(2)在第5个图中，共有瓷砖 块；在第n个图中，共有瓷砖 块．
(3)如果每块黑瓷砖30元，每块白瓷砖40元，当n＝10时，铺设长方形地面共需花多少钱购买瓷砖？
变式4. （2022重庆七年级期中）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（ ）
A．55 B．220 C．285 D．385
高频考点6：图形的规律（指数类）
例1.（2022·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．
变式1.（2022·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
变式2．（2022·日照九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·山西实验中学九年级其他模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2022·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．
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