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2.（2022 武汉七年级模拟）观察下面倒“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．4040 D．4039
【分析】首先分析得左上数字1，3，5分别是1、2、3的2倍与1的差，而下面的数21，22，23对应的指数正好也是1，2，3，即可以得出结果．
【解答】解：由题意得：1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1…∴a＝2×2020﹣1＝4039．
故选：D．
3，（2021 柳南区校级月考）将正奇数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 3 5 7
第2行 15 13 11 9
第3行 17 19 21 23
… … … 27 25
若2021在第m行第n列，则m+n＝（ ）
A．256 B．257 C．510 D．511
【分析】观察图表，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，根据2021在正奇数中的位置来推算m，n．
【解答】解：首先，从图表观察，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，其次，奇数可以用2x﹣1表示，当x＝1011时，2x﹣1＝2021，即2021是排在第1011个位置．
在上表中，因为每行有4个数，且1011÷4＝252 3，因此2021应该在第253行，第4列，
即m＝253，n＝4．∴m+n＝257，故选：B．
4．（2022·河北承德·七年级期末）如图，将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，．．．，有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰5”中C的位置是有理数_ _，-2021应排在A、B、C、D、E中的___位置．其中两个填空依次为（ ）
A．24，E B．﹣25，E
C．-24，B D．24，C
【答案】A
【分析】观察发现，每个峰排列5个数，求出5个峰排列的数的个数，再求出，“峰5”中C位置的数的序数，然后根据排列的奇数为负数，偶数为正数解答；用（2021﹣1）除以5，根据商和余数的情况确定所在峰中的位置即可．
【详解】解：∵每个峰需要5个数，
∴5×4＝20，20+1+3＝24，∴“峰5”中C位置的数的是24，
∵（2021﹣1）÷5＝404，∴﹣2021为“峰404”的最后一个数，排在E的位置．故选：A．
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每个峰有5个数是解题的关键，难点在于峰上的数的排列是从2开始．
5.（2022·云南七年级模拟）有一组数：，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第n个数．
【详解】解：一组数为∴这组数据第1个数为：，
第2个数为：，第3个数为：…
∴第n个数为：故选：C
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应数字．
6．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例如：
请写出展开式中间一项的系数（ ）
A．70 B．64 C．56 D．54
【答案】A
【分析】根据题意可得每行第一个和最后一个数都是1，其他位置的数下面的数等于上面两个数的和，即可求出展开式中间一项的系数．
【详解】解：由题意可得下面一个数等于上面两个数的和，
∴中，各项的系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，
∴中，各项的系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1，
∴展开式中间一项的系数为70，故选：A．
【点睛】此题考查了多项式的系数规律问题，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律．
7.（2022·陕西·西安市七年级期中）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形．若用有序实数对(m，n)表示第m行，从左到右第n个数，如(4，3)表示分数那么(8，3)表示的分数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据莱布尼茨三角形找出规律即可求解，也可以根据图中规律，将图补充到（8，3）的位置．
【详解】由莱布尼茨三角形可知，第(m，n)个数等于第(m-1，n-1)与第(m，n-1)个数的差．
第（m，1）表示 ；第（m，2）表示；
第（m，3）表示；
当时．故选A．
【点睛】本题考查规律探索，类比杨辉三角理清图中的规律是解题的关键．
8．（2022·四川凉山·七年级期末）下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：
第2个数：
第3个数：
……
第个数：
那么，在第 9个数、第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数中，最大的数是（ ）
A．第 9 个数 B．第 10 个数 C．第 11 个数 D．第 12 个数
【答案】A
【分析】先分别计算出前3个数，由此得到一般性的规律，再分别求出第9个，第10个，第11个，第12个数，比较大小即可．
【详解】解：第1个数：，
第2个数：，
第3个数： ，
……
第个数： ，
所以第9个，第10个，第11个，第12个数分别为，，，，
所以较大的数为第9个数，故选：A．
【点睛】本题考查数字类规律题，有理数的混合运算，解题关键是由特殊得一般性的规律．
9．（2022·河南南阳·七年级期末）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是1564，则n的值为（ ）
A．520 B．521 C．523 D．524
【答案】B
【分析】根据题目中的图形，可以发现白色纸片个数的变化规律，然后根据第n个图案中白色纸片的个数是1564，即可求得n的值．
【详解】解：由图可得，
第1个图案中白色纸片的个数为：1+1×3＝4，
第2个图案中白色纸片的个数为：1+2×3＝7，
第3个图案中白色纸片的个数为：1+3×3＝10，…，
第n个图案中白色纸片的个数为（3n+1），
令3n+1＝1564，解得，n＝521．故选：B．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中白色纸片的变化规律，利用数形结合的思想解答．
10.（2022·山东淄博市·九年级一模）如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．
【详解】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有:
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．
11.（2022·浙江九年级一模）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是（ ）
A．52根 B．66根 C．70根 D．72根
【答案】C
【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，将每行每列的火柴棒数进行总结，可得出：当有n层时，需要根火柴，从而验证选项即可确定正确答案．
【详解】解：观察图形可以看出：搭1个正方形，一层，需要根火柴棒；
搭3个正方形，两层，需要根火柴棒；
搭6个正方形，三层，需要根火柴棒；
搭10个正方形，四层，需要根火柴棒；
因此当有n层时，需要 根火柴棒．
当时，根火柴棒，因此C选项正确．故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形变化的规律，用变量代替数字总结规律，最终再代入数字求解即可，难度中等．
12．（2022·重庆八年级期末）如图所示，各图是用小黑色三角形垒成的“三角形”，图①个中有个小黑色三角形，图②中有个小黑色三角形，图③中有个小黑色三角形，…，按此规律垒下去，则图⑩中的小黑色三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4++n，据此可得第⑩个图案中黑色三角形的个数．
【详解】第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数为3=1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数为6=1+2+3，，
第⑩个图案中黑色三角形的个数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4++n．
二、填空题
13．（2022·山东青岛·七年级期末）也许你认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面也蕴藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数，计算得；
第二步：计算出的各位数字之和得，再计算得；
第三步：计算出的各位数字之和得，再计算得；……
依此类推，则_______．
【答案】123
【分析】根据游戏的规则进行运算，求出a1、a2、a3、a4、a5，再分析其规律，从而可求解．
【详解】解：∵a1＝n12+2＝32+2＝11，
∴n2＝1+1＝2，a2＝n22+2＝22+2＝6，
n3＝6，a3＝n32+2＝62+2＝38，
n4＝3+8＝11，a4＝n42+2＝112+2＝123，
n5＝1+2+3＝6，a5＝n52+2＝62+2＝38，……
∴从第3个数开始，以38，123不断循环出现，
∵（2020﹣2）÷2＝1009，∴a2020＝a4＝123．故答案为：123．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的规则得到存在的规律．
14.（2022·福建漳州七年级开学考试）观察下列各项：，，，，…，依此规律下去，则第7项是__________；第项是__________．
【答案】
【分析】观察可知：整数部分是从1开始的自然数，分数部分的分子为1，分母为从2开始的自然数的两倍，据此可得．
【详解】解：=，=，=，=，…
∴第7项是，第n项是，故答案为：，．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，利用规律解决问题．
15．（2022·山东济宁·七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列，有序数对表示第排，从左到右第个数．如有序数对表示8，则有序数对表示的数为______．
【答案】123
【分析】有序数对表示第排，从左到右第个数．则前n排的数字共有个数，将n=16代入，可得出第16行有16个数，第1个数是136，从大到小排列，据此解答即可．
【详解】解：由图可知，第一排1个数，第二排2个数，数字从大到小排列，
第三排3个数，数字从小到大排列，第四排4个数，数字从大到小排列，…，
则前n排的数字共有个数，
∵当n=16时，，∴第16行有16个数，第1个数是136，从大到小排列，
∴第16行第14个数是123，故选：C．故答案为：123．
【点睛】此题考查对数字变化类知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形、数值、数列等已知条件，认真分析，找出规律，解决问题．
16．（2022·浙江·七年级专题练习）观察下列各式：×2 = + 2；×3 = + 3；×4 = + 4；×5 = + 5．设n表示正整数，试用关于n的等式，表示这个规律为：______×______=______+______．
【答案】，，，
【分析】通过观察可以看出分母比分子小1，而相乘的数和相加的数也比分母大1，据此归纳．
【详解】解：由所给的各式可知，不妨设分母为n，则分子为n+1，乘数和加数也为n+1，
因此可知律为：，故答案为：，，，．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出式子之间的联系，由特殊找出一般规律解决问题．
17．（2022·广西梧州·七年级期中）已知下列等式：①；②；③，…
(1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：______________；
(2)请你找出规律，写出第n个式子__________________．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据题中所给等式的特点，可以写出第④的式子，
（2）根据题中所给等式的特点，可以写出第n个式子，
【详解】解：（1）① 22 12=3 ；② 32 22=5 ；③ 42 32=7 ，
∴第④个式子：，故答案为：52-42=9
（2）① 22 12=（1+1）2-12=2×1+1=3，② 32 22=（2+1）2-22=2×2+1=5，
③ 42 32=（3+1）2-32=2×3+1=7 ，……
∴第n个式子：．故答案为：（n+1）2-n2=2n+1
【点睛】本题考查了数字的变化，解答本题的关键是明确题意，发现式子变化的特点，即可求解．
18．（2022·黑龙江·哈尔滨阶段练习）用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需棋子___________枚．
【答案】31
【分析】第个图中，黑色棋子个数为4；第个图中，黑色棋子个数为；第个图中，黑色棋子个数为；得出规律，进而求解出第10个图中，黑色棋子个数．
【详解】解：第个图中，黑色棋子个数为4；
第个图中，黑色棋子个数为；
第个图中，黑色棋子个数为；
得出规律为第个图中，黑色棋子个数为；
当时，黑色棋子个数为 故答案为：．
【点睛】本题主要考察了总结规律．解题的关键在于是否能够根据数据的特征推导出规律．
19．（2022·河北邢台·七年级期末）用长方形和三角形按图示排列规律组成一连串平面图形．
(1)当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为 ；
(2)设某个图形中长方形个数为x，三角形个数为y．请你写出用x表示y的关系式．
【答案】(1)8 (2)
【分析】（1）根据图形直接可得；
（2）由图可知每个图形中三角形的个数为长方形个数与1的差的2倍，据此可得．
（1）解：∵长方形个数为2时，三角形个数为2个，即2=2×1=2； 长方形个数为3时，三角形个数为4个，即4=2×2=4； 长方形个数为4时，三角形个数为6个，即6=3×2=6． ∴当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为4×2=8， 故答案为：8；
（2）∵长方形个数为2时，三角形个数为2个，即2=2×1=2； 长方形个数为3时，三角形个数为4个，即4=2×2=4； 长方形个数为4时，三角形个数为6个，即6=3×2=6． … ∴长方形个数为x，三角形个数为y时，y与x的数量关系为y=2（x-1）．
【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是由所给的图形总结出所存在的规律．
20．（2022·山东烟台·期中）如图，第个图形需要的棋子数量是_________．（用含有的代数式表示）
【答案】
【分析】根据题意可得：第1个图形需要的棋子数量是3=；第2个图形需要的棋子数量是6=1+2+3= ；第3个图形需要的棋子数量是10=1+2+3+4=；第4个图形需要的棋子数量是15=1+2+3+4+5=；……；由此发现规律，即可求解．
【详解】解：第1个图形需要的棋子数量是3=；
第2个图形需要的棋子数量是6=1+2+3= ；
第3个图形需要的棋子数量是10=1+2+3+4=；
第4个图形需要的棋子数量是15=1+2+3+4+5=；……
由此发现，第个图形需要的棋子数量是．故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
21．（2022·湖南永州·八年级期中）如图，每一幅图中均含有若干个正方形．第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；第③幅图中含有14个正方形…按这样的规律下去，则第⑦幅图中含有______个正方形．
【答案】140
【分析】观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，…第n个有：1+22+32+…+n2个正方形，从而得到答案．
【详解】解：观察图形发现第一个有1个正方形，
第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，…
∴第n个有：（1+22+32+…+n2）个正方形，
则第7个有1+4+9+16+25+36+49=140个正方形，故答案为：140．
【点睛】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形并找到规律，利用规律解决问题．
三、解答题
22．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）观察下列三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…；①
－1，5，－7，17，－31，65，…；②
，1，－2，4，－8，16，…．③
(1)直接写出第②行第七个数是_________，第③行第七个数是________．
(2)取每行的第8个数，计算这三个数的和．
【答案】(1)－127，－32(2)这三个数的和为577
【分析】（1）根据观察，第②行第n个数为由此规律即可得到第七个数；
根据观察第③行，第n个数为由此规律即可得到第七个数；
（2）根据观察，第①行第n个数为由此规律即可得出第八个数，再将每行的第八个数相加即可得到答案．
（1）根据观察，第②行第n个数为，则第七个数为－127；
根据观察第③行，第n个数为，则第七个数为－32．
故答案为：－127；－32．
（2）第①行第n个数为由此规律即可得出第八个数，
∴第①行第8个数是256，
第②行第8个数是，
第③行第8个数是，
这三个数的和为：．
【点睛】本题考查了数字的变化规律探究、有理数的混合运算，仔细观察，得出每行数字的变化规律是解答的关键．
23．（2022·四川成都·七年级期末）如图所示数表，由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题：
(1)第六排从左往右第1个数为______；第七排从左往右第1个数为_____；
(2)第a排第1个数可以表示为______；（用含a的式子表示）
(3)若第n排的一个数和第（n+1）排的两个连续自然数能够放入如图所示的等边三角形中，则称该三角形为“天府三角形”，里面三个数字之和称为该数字三角形的“天府和”．若第n排和第（n+1）排中总共有39个“天府三角形”，其中一个“天府三角形”的“天府和”为2371，则该“天府三角形”中的三个数字分别为多少？
【答案】(1)16，22
(2)a2-a+1
(3)764，803和804
【分析】（1）观察数据得到每排数的个数等于排数，则先计算出第六排和第七排前面共有的数字，然后得到答案；
（2）先计算出第a排前面共有a（a-1）个数，然后可得答案；
（3）根据“天府三角形”的定义得出n=39，再列方程可得答案．
(1)
解：∵第六排前面共有1+2+3+4+5=15个数，第七排前面共有1+2+3+4+5+6=21个数，
∴第六排从左往右第1个数为16；第七排从左往右第1个数为22；
故答案为：16，22；
(2)
∵第a排前面共有1+2+3+…+（a-1）=a（a-1），
∴第a排的第一个数字为a（a-1）+1=a2-a+1，
故答案为：a2-a+1；
(3)
根据“天府三角形”的定义可得，
第n排和第（n+1）排中总共有n个“天府三角形”，
所以n=39，
设第n排的数是x，第（n+1）排的两个数分别是x+39，x+40，
由题意得，x+（x+39）+（x+40）=2371，
解得x=764，
所以三个数分别是764，803和804．
【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
24．（2022·江苏泰州·七年级期中）阅读材料：
因为…
所以
仿照以上过程解决问题：
(1)填空：
，，…
(2)探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
(3)计算．
【答案】(1)0；1；2
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）仿照阅读材料，得出结果即可；
（2）由（1）计算过程，归纳总结出规律：即可；
（3）根据（2）总结的规律，变形为，再代入计算即可．
（1）
解：，，
故答案为：0，1，2；
（2）
解：，
理由：左边右边,
∴；
（3）
解：∵，
∴
=+++…+
25.（2022·浙江丽水·七年级期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5= = ；
(2)按以上规律列出第2015个等式：a2015= = ；
(3)求a1+a2+a3+a4+…+a2016的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）根据所得规律求出第n个等式，从而得到第2015个等式；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
（1）解：由题意得：第5个等式为：，
故答案为：，；
（2）第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
∴第n个等式：，
∴第2015个等式：；
（3）
=
=
=
=
=．
【点睛】本题考查数字的规律，能够通过所给式子，找到数字的变化规律，归纳出一般结论是解题的关键．
26．（2022·东营市东营区实验中学）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．
（1）填出展开式中共有________项，第三项是________．
（2）直接写出的展开式．（3）利用上面的规律计算：．
【答案】（1）5，；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据系数规律，即可得出答案；（2）根据规律，可知（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（3）根据规律得出原式=-1．
【详解】解：（1）∵
∴展开式中项数共有5项，第三项是，
（2）∵第六行的六个数1，5，10，10，5，1
∴（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（3）原式．
【点睛】本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
27．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，当正方形只有一个时，等边三角形有个（如图）；当正方形有个时，等边三角形有个（如图）；以此类推
(1)若图案中每增加个正方形，则等边三角形增加______个；
(2)若图案中有个正方形，则等边三角形有______个．
(3)现有个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？
【答案】(1)
(2)
(3)个
【分析】（1）观察第个图案可知：中间的一个正方形对应个等边三角形，第个图案可知增加一个正方形，变成了个等边三角形，增加了个等边三角形；
（2）观察第个图案，有个等边三角形；第个图案，有个等边三角形；，依次计算可解答；
（3）由（2）中的规律可知：用所得的余数是，则等边三角形剩余最少块，列式，解出即可解答．
（1）解：观察第和个图案可知：图案中每增加个正方形，则等边三角形增加个；故答案为：；
（2）解：第个图案：等边三角形有：（个），第个图案：等边三角形有：（个），第个图案：等边三角形有：（个），第个图案：等边三角形有：（个），…… 第个图案：等边三角形有：个，故答案为：；
（3）解：，用，再由题意得：，解得：，按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少块，则需要正方形个．
【点睛】本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
28.（2022·山东九年级一模）如图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3．
（1）填写如表
图形标号 1 2 3
正五边形个数 ______ ______ ______
三角形个数 ______ ______ ______
（2）按上面方法继续连下去，第n个图中有多少个三角形？
（3）能否分出2014个三角形？简述你的理由．
【答案】（1）第一行：1，2，3；第二行：0，5，10；（2）；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）根据每个图形直接分析出结果即可；（2）根据前三个图形总结出一般规律即可；
（3）利用（2）的结论，建立方程，判断求解出的n是否为正整数即可．
【详解】（1）观察图形可得：图1，正五边形：1个，三角形：0个；
图2，正五边形：2个，三角形：5个；图3，正五边形：3个，三角形：10个；
故答案为：第一行：1，2，3；第二行：0，5，10；
（2）由前三个图形中三角形的个数得出：第n个图形中，三角形的个数为：个；
（3）不能，理由如下：要使得分出2014个三角形，即满足，其中n为正整数即可，
而上式解得，，并非正整数，∴不能分出2014个三角形．
【点睛】本题考查图形变化类的规律探究问题，找准图形变化中的一般规律是解题关键．
29．（2022·山东烟台·期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第1个图形有1颗棋子，第2个图形一共有6颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，…．
(1)则第4个图形中棋子的颗数为______．第5个图形中棋子的颗数为______．
(2)请探究并归纳出第n个图形中棋子的颗数．
(3)求第100个图形中棋子的颗数．
【答案】(1)31，51(2)(3)24751颗
【分析】（1）根据前面三个图棋子的排列规律可以写出第四、第五个图形棋子的颗数；
（2）观察前面五个图形棋子的颗数与图形的序数之间的关系可以归纳出第n个图形中棋子的颗数；
（3）把n=100代入（2）中所得的代数式即可得到解答．
【详解】解：（1）第四个图形棋子的颗数为：1+3+5+7+6+5+4=31，
第五个图形棋子的颗数为：1+3+5+7+9+8+7+6+5=51，
故答案为31，51；
（2）观察图形得到第1个图形中棋子的颗数为1=1+5×0；
第2个图形中棋子的颗数为1+5×1=6；
第3个图形中棋子的颗数为1+5+10=1+5（1+2）=16；
第4个图形中棋子的颗数为1+5+10+15=1+5（1+2+3）=31；
…
第n个图形中棋子的颗数为，
所以第n个图形中棋子的颗数为；
（3）当n=100时，，
所以第100个图形中棋子的颗数是24751颗．
【点睛】 本题考查图形规律的探索，培养较强的观察力和归纳能力是解题关键．
专题08 探究与表达规律 专项提升（精练）
一、选择题
1．（2022·温州·七年级期中）如图数表是由从1开始的连续自然数组成：则第行的第一个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察分析各行第一个数与行数之间的关系，第一个数是行数与1差的平方加1的和，列出代数式即可．
【详解】解∶第1行第一个数为1=，第2行第一个数为2=，
第3行第一个数为5=，第4行第一个数为10=，……
第n行第一个数为，故选：A．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，发现第1行第一个数是行数与1差的平方加1的和是解答此题的关键．
=
=
=．
【点睛】本题考查数式规律探究及运用，归纳总结出规律是解题的关键．
30．（2022·河北·一模）把正整数1，2…排列成如下一个数表：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 2 3 4 5
第2行 6 7 8 9 10
第3行 11 12 13 14 15
第4行 16 17 18 19 20
… … … … … …
（1）30在第 行第 列；
（2）第n行第2列的数是 ；
（3）嘉嘉和琪琪玩游戏，嘉嘉说：“从数表中挑一个数x，我就可以按下面程序计算出x是第a行第b列．”你认为嘉嘉说的有道理吗？请说明理由．
【答案】（1）6，5；（2）5n﹣3；（3）嘉嘉说的没有道理，理由见解析．
【分析】（1）根据每一行有5个数，可得30所在的行数和列数；
（2）根据第二列的数：2，7，12，17……，找到规律即可；
（3）分两种情况b＝0和b≠0时，进行分析可得结论．
【详解】解：（1）因为每行有5个数，30÷5＝6，
所以30在第6行第5列．
故答案为：6，5；
（2）因为第二列的数：2，7，12，17……，
所以第n行第2列的数是5n﹣3．
故答案为：5n﹣3；
（3）嘉嘉说的没有道理：
若x÷5的商为a，余数为b．
当b＝0时，则为第a行，第5列；
当b≠0时，则为第（a+1）行，第b列．
【点睛】本题主要考查了数字类规律探索问题，解题的关键是找出表格中的数字有规律性的特点．
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专题08 探究与表达规律 专项提升（精练）
一、选择题
1．（2022·温州·七年级期中）如图数表是由从1开始的连续自然数组成：则第行的第一个数是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022 武汉七年级模拟）观察下面倒“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．4040 D．4039
3，（2021 柳南区校级月考）将正奇数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 3 5 7
第2行 15 13 11 9
第3行 17 19 21 23
… … … 27 25
若2021在第m行第n列，则m+n＝（ ）
A．256 B．257 C．510 D．511
4．（2022·河北承德·七年级期末）如图，将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，．．．，有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰5”中C的位置是有理数_ _，-2021应排在A、B、C、D、E中的___位置．其中两个填空依次为（ ）
A．24，E B．﹣25，E
C．-24，B D．24，C
5.（2022·云南七年级模拟）有一组数：，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例如：
请写出展开式中间一项的系数（ ）
A．70 B．64 C．56 D．54
7.（2022·陕西·西安市七年级期中）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形．若用有序实数对(m，n)表示第m行，从左到右第n个数，如(4，3)表示分数那么(8，3)表示的分数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·四川凉山·七年级期末）下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：
第2个数：
第3个数：
……
第个数：
那么，在第 9个数、第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数中，最大的数是（ ）
A．第 9 个数 B．第 10 个数 C．第 11 个数 D．第 12 个数
9．（2022·河南南阳·七年级期末）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是1564，则n的值为（ ）
A．520 B．521 C．523 D．524
10.（2022·山东淄博市·九年级一模）如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
11.（2022·浙江九年级一模）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是（ ）
A．52根 B．66根 C．70根 D．72根
12．（2022·重庆八年级期末）如图所示，各图是用小黑色三角形垒成的“三角形”，图①个中有个小黑色三角形，图②中有个小黑色三角形，图③中有个小黑色三角形，…，按此规律垒下去，则图⑩中的小黑色三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022·山东青岛·七年级期末）也许你认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面也蕴藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数，计算得；
第二步：计算出的各位数字之和得，再计算得；
第三步：计算出的各位数字之和得，再计算得；……
依此类推，则_______．
14.（2022·福建漳州七年级开学考试）观察下列各项：，，，，…，依此规律下去，则第7项是__________；第项是__________．
15．（2022·山东济宁·七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列，有序数对表示第排，从左到右第个数．如有序数对表示8，则有序数对表示的数为______．
16．（2022·浙江·七年级专题练习）观察下列各式：×2 = + 2；×3 = + 3；×4 = + 4；×5 = + 5．设n表示正整数，试用关于n的等式，表示这个规律为：______×______=______+______．
17．（2022·广西梧州·七年级期中）已知下列等式：①；②；③，…
(1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：______________；
(2)请你找出规律，写出第n个式子__________________．
18．（2022·黑龙江·哈尔滨阶段练习）用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需棋子___________枚．
19．（2022·河北邢台·七年级期末）用长方形和三角形按图示排列规律组成一连串平面图形．
(1)当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为 ；
(2)设某个图形中长方形个数为x，三角形个数为y．请你写出用x表示y的关系式．
20．（2022·山东烟台·期中）如图，第个图形需要的棋子数量是_________．（用含有的代数式表示）
21．（2022·湖南永州·八年级期中）如图，每一幅图中均含有若干个正方形．第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；第③幅图中含有14个正方形…按这样的规律下去，则第⑦幅图中含有______个正方形．
三、解答题
22．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）观察下列三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…；①
－1，5，－7，17，－31，65，…；②
，1，－2，4，－8，16，…．③
(1)直接写出第②行第七个数是_________，第③行第七个数是________．
(2)取每行的第8个数，计算这三个数的和．
23．（2022·四川成都·七年级期末）如图所示数表，由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题：
(1)第六排从左往右第1个数为______；第七排从左往右第1个数为_____；
(2)第a排第1个数可以表示为______；（用含a的式子表示）
(3)若第n排的一个数和第（n+1）排的两个连续自然数能够放入如图所示的等边三角形中，则称该三角形为“天府三角形”，里面三个数字之和称为该数字三角形的“天府和”．若第n排和第（n+1）排中总共有39个“天府三角形”，其中一个“天府三角形”的“天府和”为2371，则该“天府三角形”中的三个数字分别为多少？
24．（2022·江苏泰州·七年级期中）阅读材料：
因为…
所以
仿照以上过程解决问题：
(1)填空：
，，…
(2)探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
(3)计算．
25.（2022·浙江丽水·七年级期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5= = ；
(2)按以上规律列出第2015个等式：a2015= = ；
(3)求a1+a2+a3+a4+…+a2016的值．
26．（2022·东营市东营区实验中学）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．
（1）填出展开式中共有________项，第三项是________．
（2）直接写出的展开式．（3）利用上面的规律计算：．
27．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，当正方形只有一个时，等边三角形有个（如图）；当正方形有个时，等边三角形有个（如图）；以此类推
(1)若图案中每增加个正方形，则等边三角形增加______个；
(2)若图案中有个正方形，则等边三角形有______个．
(3)现有个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？
28.（2022·山东九年级一模）如图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3．
（1）填写如表
图形标号 1 2 3
正五边形个数 ______ ______ ______
三角形个数 ______ ______ ______
（2）按上面方法继续连下去，第n个图中有多少个三角形？
（3）能否分出2014个三角形？简述你的理由．
29．（2022·山东烟台·期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第1个图形有1颗棋子，第2个图形一共有6颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，…．
(1)则第4个图形中棋子的颗数为______．第5个图形中棋子的颗数为______．
(2)请探究并归纳出第n个图形中棋子的颗数．
(3)求第100个图形中棋子的颗数．
30．（2022·河北·一模）把正整数1，2…排列成如下一个数表：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 2 3 4 5
第2行 6 7 8 9 10
第3行 11 12 13 14 15
第4行 16 17 18 19 20
… … … … … …
（1）30在第 行第 列；（2）第n行第2列的数是 ；
（3）嘉嘉和琪琪玩游戏，嘉嘉说：“从数表中挑一个数x，我就可以按下面程序计算出x是第a行第b列．”你认为嘉嘉说的有道理吗？请说明理由．
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