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专题09 一元一次方程的应用 专项提升（精讲）
一元一次方程的应用题属于本学期必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、方案优化选择、行程问题、工程问题、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题等进行方法总结与经典题型进行分类。
【解题技巧】
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
2 .建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长
2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系：用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
高频考点1. 分段计费问题
【解题技巧】总费用=未超标部分的费用+超标部分的费用。
已知费用求需判定的所属范围；若无法知道费用对应的具体范围时，需对其进行不同范围的分类讨论。
注：需审题仔细，看清计费标准是否有“超过部分”。
常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等.
例1．（2022·浙江丽水·三模）电信公司推出移动电话A，两种套餐计费方法，收费标准如下表，一个月累计通话时间记为（分）．
A计费方法 计费方法
月租费（元/月） 58 88
不加收通话费时限（分） 150 350
超时部分加收通话费标准（元/分） 0.25 0.20
(1)若，则选用哪种套餐话费少？通过计算说明．(2)当时，按这两种计费方法，所需的话费会相等吗？若会，求的值；若不会，说明理由．(3)用A套餐时，一个月累计通话时间410分所需的话费，若改用套餐，则可多通话多少分钟？
【答案】(1)选择A套餐 (2)会，当时，所需的话费相等
(3)改用套餐，则可多通话115分钟
【分析】（1）直接将代入两种套餐计算出费用即可比较；
（2）根据话费相等，列出方程，解出t的值即可；
（3）根据题意列出方程即可求解．
(1)A套餐收费：；
套餐收费：．所以选择A套餐．
(2)当时，，
解得．∴当时，所需的话费相等．
(3)根据题意得方程，
解得，．
答：改用套餐，则可多通话115分钟．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键在于找到题目中的等量关系列方程．
变式1．（2022·聊城市七年级期末）为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：
档次 每户每月用电数度 执行电价元度
第一档 小于等于200部分
第二档 大于200且小于等于400部分
第三档 大于400部分
（1）若一户居民七月份用电420度，则需缴电费多少元？
（2）若一户居民某月用电x度大于200且小于，则需缴电费多少元？用含x的代数式表示
（3）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费262元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度，问该户居民五、六月份各用电多少度？
【答案】（1）需缴电费236元；（2）(0.6x-20)元；（3）该户居民五月份用电180度，六月份用电320度．
【分析】（1）根据阶梯电价收费制，用电420度在第三档，则需缴电费，计算即可；（2）根据阶梯电价收费制，用电度大于200小于，需交电费，化简即可；（3）设五月份用电度，则六月份用电度，分两种情况进行讨论：①；②．
【详解】解：（1）元．答：需缴电费236元；
（2） （元）；
（3）设五月份用电x度，则六月份用电度．
分两种情况：第一种情况:当时，
，解得，；
第二种情况:当时，250≤500-x≤400，
，，无解，
所以，该户居民五月份用电180度，六月份用电320度．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
变式2．（2022·浙江绍兴市·七年级期中）鼓励市民节约用水，自来水公司采用阶梯收费，下表为用水收费标准．
用水量（立方米） 水费到户价格（元/立方米）
不超过14的部分
超过14到30的部分
…… ……
（1）小王家6月用水，付水费25元，求的值．
（2）小王家7月用水，，用的代数式表示水费，求用水时的水费．
【答案】（1）；（2）7月的水费为元，用水时的水费为83元
【分析】（1）根据题意可知用水时的水费单价为元/立方米，再根据付水费25元即可列出方程，解方程即可；（2）由（1）可得，再根据题意可知用水时的水费单价为4元/立方米，由此可得7月的水费，再将代入即可求得用水时的水费．
【详解】解：（1）根据题意可得：，解得：，∴的值为2；
（2）根据题意可得：7月的水费为，
当时，，
答：7月的水费为元，用水时的水费为83元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的理解题意，找到正确的等量关系是解题的关键．
变式3．（2022·福建泉州·初一期中）某地试行医保制度，并规定：
一、每位居民年初缴纳医保基金70元；
二、居民个人当年看病的医疗费（以定点医院的医疗发票为准，年底按下表所示的方式结算）报销看病的医疗费用.
居民个人当年看病的医疗费用 医疗费用报销办法
不超过 n 元的部分 全部由医保基金承担（即全额报销）
超过 n 元但不超过 6 000 元的部分 个人承担，其余由医保基金承担
超过 6 000 元的部分 个人承担其余由医保基金承担
设一位居民当年看病的医疗费用为元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费用中个人承担的部分和年初缴纳的医保基金）记为元.
(1)写出如下条件，的代数式（可含有）.①当时；②当时.
(2)已知，若该地居民周大爷某一年个人实际承担的医疗费用是元，那么他这一年看病所花费的医疗费共多少元？
【答案】（1）①当时，；②当，；（2）他这一年看病所花费的医疗费共21000元.
【分析】（1）①当时,居民个人实际承担的医疗费用只有缴纳的医保基金70元；②当时，个人承担超过 n 元但不超过 6 000 元的部分，为元，再加医保基金70元.(2)先令，检验一下此时的值，发现医疗费超过6000元，故需要按照第三档计算，由题意得元即为5270减去医保基金再减去第二档的元，列方程解之即可.
【解析】解：(1)①当时，
②当，；
(2)设这一年他看病所花费的医疗费共元，
当时, ,
,
答：他这一年看病所花费的医疗费共 21000 元.
【点睛】本题结合代数式，考查分段计费问题，解决此问题，要根据不同的数额分到相应的档次进行计算.
高频考点2.方案优化问题
解题技巧：此类问题，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型有2种思路。
思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣
思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。
例1．（2022·浙江七年级期中）小明家准备在网上购买一些茶壶和茶杯，在查阅天猫网店后，发现甲、乙两家网店都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同；茶壶每把定价50元，茶杯每只定价10元，“双十一”期间两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案：甲店买一送一大酬宾：（买一把茶壶赠送茶杯一只）；乙店全场9折优惠（按实际价格的90%收费）．小明爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．
（1）用代数式表示（所填式子需化简）：当购买茶杯只时，在甲店购买需付款___________元；
在乙店购买需付款____________________________元．（2）当需购买20只茶杯时①到哪家网店购买比较合算？说出你的理由．②你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款几元？（3）当购买茶杯多少只时，两种优惠方案付款一样？
【答案】（1）10x+200，9x+225；（2）①甲店，理由见解析；②甲店购买5只茶壶，乙店购买15只茶杯，需付款385元；（3）25只
【分析】（1）甲店：用茶壶的价钱+超过5只部分的茶杯的价钱即可；乙店：用茶壶的价钱+茶杯的价格，再乘以90%即可；（2）①分别算出两店购买的价钱，再比较即可；
②在甲店购买5只茶壶，送5只茶杯，再在乙店购买剩下的茶杯比较合算，从而计算出总价钱；
（3）分别表示出购买a只茶杯时两店的价格，令其相等得到方程，解之即可．
【详解】解：（1）甲店：=10x+200（元），乙店：=9x+225（元）；
（2）①甲店：10x+200=10×20+200=400元，乙店：9x+225=9×20+225=405元，
∵400＜405，∴到甲店购买更合算；
②方案：甲店购买5只茶壶，乙店购买15只茶杯，5×50+15×10×90%=385元；
（3）设购买a只茶杯时，两种优惠方案付款一样，
甲店：50×5+（a-5）×10=10a+200，乙店：（50×5+10a）×90%=225+9a，令10a+200=225+9a，
解得：a=25，∴当购买25只茶杯时，两种优惠方案一样．
【点睛】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确表示出相应的价格，列出方程．
变式1．（2022·河北承德·七年级期末）小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单：
种类 配餐 价格（元） 优惠活动
A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元消费满300元，减48元……
B餐 1份盖饭＋1杯饮料 28
C餐 1份盖饭＋1杯饮料＋1份小菜 32
小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，杯饮料和5份小菜．(1)他们共点了______份B餐；（用含x的式子表示）
(2)若他们套餐共买6杯饮料，求实际花费多少元；
(3)若他们点餐优惠后一共花费了256元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的．
【答案】(1) (2)264元
(3)A套餐6份，套餐5份或套餐3份，套餐3份，套餐5份，见解析
【分析】(1)由三种套餐中均包含盖饭且只有C套餐中含小菜，即可得出他们点了(x 5)份B套餐；
(2)依题意知：套餐5份，套餐1份，A套餐5份，据此即可解答；(3)依题意知：套餐5份，套餐份，A套餐份，再分两种情况，列方程即可分别求得．
（1）解：因为三种套餐中均包含盖饭且只有C套餐中含小菜，有5份小菜，
所以共点了5份C套餐，
因为只有B和C套餐中有饮料，一共点了x杯饮料，C套餐有5份，
所以他们点了(x 5)份B套餐．故答案为：(x 5)；
（2）解：依题意：套餐5份，套餐1份，A套餐5份，
所以(元)，
因为满150元，减24元，所以实际花费为：(元)；
（3）解：因为只有套餐含小菜，所以依题意套餐点了5份；
因为有份饮料，所以套餐共份，
因为共11份盖饭，所以A套餐份．
当满150优惠时：，解得：，
故A套餐6份，套餐5份；
当满300优惠时：，解得：，
故A套餐3份，套餐3份，套餐5份．
综上，他们点的套餐是A套餐6份，套餐5份或A套餐3份，套餐3份，套餐5份．
【点睛】本题考查了应用类问题，列代数式，一元一次方程的实际应用，根据各数量之间的关系，正确列出一共的花费及方程是解题的关键．
变式2．（2022·四川广元·七年级期末）为缓解冬季部分地区果蔬紧张的情况，现要把物资运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知大、小两种货车的载质量分别为和，运往甲、乙两地的运费如下表：
甲地 乙地
大货车/（元/辆） 720 800
小货车/（元/辆） 500 650
(1)大、小两种货车各用了多少辆？(2)如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆．①完成下表：
甲地 乙地
大货车 a辆 __________辆
小货车 辆 __________辆
②若运往甲地的物资共，请求出安排运往甲地的大货车有多少辆？并求出总运费．
【答案】(1)大货车用了8辆，小货车用了10辆
(2)①，a；②安排前往甲地的大货车有5辆，总运费为11750元
【分析】（1）设大货车用了x辆，则小货车用了辆，根据物资总重量建立方程，解方程即可得到答案；（2）①根据甲、乙两地的货车数量和总货车数量即可得到答案；②前往甲地的大货车有a辆，前往甲地的小货车有辆，根据总物资数量建立方程，解方程可以得到大货车数量，再根据货车费用即可得到总费用．
(1)设大货车用了x辆，则小货车用了辆．
由题意，得，
解得．
∴（辆）．
∴大货车用了8辆，小货车用了10辆；
(2)①∵前往甲地的大货车有a辆，
∴前往乙地的大货车有辆，
∴前往乙地的小货车有（辆）；
∴填表如下：
甲地 乙地
大货车 a辆 辆
小货车 辆 a辆
②由①知，前往甲地的大货车有a辆，前往甲地的小货车有辆，
由题意，得，解得，
则运往甲、乙两地的总运费为，
当时，，
∴安排前往甲地的大货车有5辆，总运费为11750元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意建立方程．
高频考点3 行程问题
解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度×时间。
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
行程问题可分为四大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：
①相遇问题（或相向问题）：
速度和×时间=总路程
②追及问题：
同时不同地：
速度差×时间=起点间的距离
同地不同时：
速度差×时间=先行路程
不同时不同地：
速度差×时间=起点间的距离+先行路程
③航行问题：（1）顺流速度=静水速度+水流速度；（2）逆流速度=静水速度-水流速度。
④火车过桥问题：火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意的是从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。
例1．（2022·山西浑源·初一期末）综合与实践：
甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时；快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米/时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题：（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；
（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程；
（3）①在慢车从乙地开往甲地的过程中，直接写出快慢两车之间的距离；（用含x的代数式表示）
②若第二列快车也从甲地出发匀速驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，第二列快车与慢车相遇，直接写出第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．
【答案】（1）4小时 （2）360千米或720千米 （3）①0≤x＜4时，840﹣210x；4≤x＜7时，210x﹣840；7≤x≤10时，90x ②小时
【分析】（1）设慢车行驶的时间为x小时，根据相遇时，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900，依此列出方程，求解即可；
（2）当两车之间的距离为315千米时，分三种情况：①两车相遇前相距315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900-315；②两车相遇后相距315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900+315；③当快车到达乙地时，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，7×90=630＞315，此种情况不存在；
（3）①分三种情况：慢车与快车相遇前；慢车与快车相遇后；快车到达乙地时；
②在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，慢车行驶的时间为4+=小时，快车慢车行驶的时间为4++=5小时．设第二列快车行驶y小时与慢车相遇，根据相遇时，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900，求出y的值，进而求解即可．
【解析】解：（1）设慢车行驶的时间为x小时，由题意得120（x＋）＋90x＝900，解得x＝4．
答：当快车与慢车相遇时，慢车行驶了4小时．
（2）当两车之间的距离为315千米时，有两种情况：
①两车相遇前相距315千米，此时120（x＋）＋90x＝900﹣315，解得x＝2.5．
120（x＋）＝360（千米）；
②两车相遇后相距315千米，此时120（x＋）＋90x＝900＋315，解得x＝5.5．
120（x＋）＝720（千米）；
③当快车到达乙地时，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，
7×90＝630＞315，此种情况不存在．
答：当两车之间的距离为315千米时，快车所行的路程为360千米或720千米；
（3）①当慢车与快车相遇前，即0≤x＜4时，
两车的距离为900﹣120（x＋）﹣90x＝840﹣210x；
当慢车与快车相遇后，快车到达乙地前，即4≤x＜7时，
两车的距离为120（x＋）＋90x﹣900＝210x﹣840；
当快车到达乙地时，即7≤x≤10时，两车的距离为90x；
②第二列快车比第一列快车晚出发小时．
在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，慢车行驶的时间为4＋＝小时，
快车行驶的时间为4＋＋＝5小时．
设第二列快车行驶y小时与慢车相遇，由题意，得120y＋×90＝900，解得y＝4．
5﹣4＝（小时）．答：第二列快车比第一列快车晚出发小时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
变式1．（2022·杭州七年级期中）某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4h，逆水航行需6h，水流速度是2km/h，求两个码头之间的距离，我们可以设两个码头之间的距离为xkm，得到方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用速度=路程÷时间结合船在静水中的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：，故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式2．（2022·河北·涿州市双语学校七年级期末）已知下列两个应用题：
①现有60个零件的加工任务，甲单独每小时可以加工4个零件，乙单独每小时可以加工6个零件．现甲乙两人合作，问两人开始工作几小时后还有20个零件没有加工？
②甲乙两人从相距20km的两地同时出发，背向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几小时后两人相距60km？
其中可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中数量关系的应用题是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②都不对
【答案】C
【分析】①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，根据甲生产的零件数＋乙生产的零件数＋未加工的零件数＝计划加工零件的总数，即可得出关于x的一元一次方程；②设经过x小时后相距60km，根据甲的路程＋乙的路程＋原来两人间隔的距离＝两地间的距离，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，
依题意，得：4x＋6x＋20＝60，∴①可以用方程4x＋6x＋20＝60来表述；
②设经过x小时后两人相距60km，依题意，得：4x＋6x+20＝60，
∴②可以用方程4x＋6x＋20＝60来表述；
综上分析可知，①②可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中数量关系，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式3．（2022·福建泉州·七年级阶段练习）如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿着A－D－C－B－A方向循环跑步，同时乙沿着B－C－D－A－B方向循环跑步，AB＝30米，BC＝50米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒．
(1)设经过的时间为t秒，则用含t的代数式表示甲的路程为 米；
(2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为多少秒？
(3)若甲改为沿着A－B－C－D－A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙追上甲？(4)小明在探索中发现一个非常有趣的结论：在（3）的条件下，甲乙继续跑步，以后遇的地点每次相遇的地点都和第一次遇的地点一样，请同学们试以第n次相遇为例帮小明同学进行简单的论证，并写出每次相遇时点P的位置．
【答案】(1)2t；(2)经过26秒(3)经过130秒，乙追上甲
(4)见解析，在CD上，离C点20米的地方
【分析】（1）根据路程=速度×时间列式即可；
（2）设经过t秒甲、乙两人第一次相遇，根据速度×时间=路程结合题意，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值，
（3）设经过t秒乙追上甲，根据乙跑的路程-甲跑的路程=BC+CDd+DA=130,列方程求解即可；
（4）先求出（3）中乙追上甲的地点在CD上，离C点20米的地方，若乙第n次追上甲的时间为a秒，根据乙跑的路程-甲跑的路程=160(n-1)，列方程为3a-2a=160(n-1)，又因为 2a=320(n-1)，即可得证第n次乙追上甲时，甲又跑了2(n-1)圈．即可得出结论．
（1）解： 甲的路程=2t米；故答案为：2t；
（2）解：设经过t秒甲、乙两人第一次相遇 ，根据题意得
3t+2t=50×2+30 ；t=26答：经过26秒
（3）解：设经过t秒乙追上甲，根据题意得3t-2t=130 解得t=130
答：经过130秒，乙追上甲
（4）解：130×2=260（米）
260-（50+30）×2=100（米）
100-30-50=20（米）
所以（3）中乙追上甲的地点在CD上，离C点20米的地方；
若乙第n次追上甲的时间为a秒,则
3a-2a=160(n-1)，解得a=160(n-1)
160(n-1)×2=320(n-1)（米）
320(n-1)÷160=2(n-1)（圈）
第n次乙追上甲时，甲又跑了2(n-1)圈．
所以第n次乙追上甲的地方跟（3）一样，在CD上，离C点20米的地方；
P点如图
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分析题干找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
高频考点4工程问题
【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。
工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。
例1．（2022·浙江台州·一模）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年2000亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜．(1)求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；(2)该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．
【答案】(1)该合作社按计划10天可收割完这些油菜
(2)该合作社能完成抢收任务，理由见解析
【分析】（1）设该合作社按计划天可收割完这些油菜，再根据“工作效率工作时间=工作总量”列一元一次方程并解答即可；（2）先求出增加3台油菜收割机后一天的收割量，再求出三天的收割量，然后和1000亩进行比较即可．
(1)解：设该合作社按计划天可收割完这些油菜
解得：
答：该合作社按计划10天可收割完这些油菜；
(2)解：原来一天的收割量：（亩），
现在一天的收割量：（亩），
现在三天可完成的收割量：（亩）亩．
答：该合作社能完成抢收任务．
【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的工程问题，找到等量关系是解答本题的关键．
变式1．（2022·广东江门·七年级期末）有一项城市绿化整治任务交甲、乙两个工程队完成，已知甲单独做10天完成，乙单独做8天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作x天后，共同完成任务，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】据甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：，故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式2．（2022·黑龙江）某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．（1）问该中学库存多少套桌凳？（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．请你通过计算说明哪种方案省钱．
【答案】（1）该中学库存960套桌凳；（2）选择方案③更省时省钱．
【分析】(1)利用“甲单独修完这些桌凳用的天数-乙单独修完这些课桌用的天数=20天”这一相等关系列出方程求解即可；(2)根据题意求出三种方案的花费，比较即得．
【详解】解：（1）设该中学库存套桌凳，得：由题意得 ，解得 ，
答：该中学库存960套桌凳；
（2）方案1的总费用：（元），
方案2的总费用：（元），
方案3的总费用：（元），
综上可知，选择方案③更省时省钱．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，和方案设计，掌握一元一次方程的应用，利用方案设计解决省钱方法，中考命题时常将几个知识点进行综合考查，所以各部分的知识一定要灵活掌握．
变式3．（2022·河北七年级专题练习）一个水池设有注水管和排水管，单独开注水管2小时可注满水池，单独开排水管3小时可将一池水排完．现向这个空水池注水，将注水管与排水管同时开放若干小时后，关上注水管，排水管排掉水池中的水所用的时间比两管同时开放的时间少10分钟．两管同时开了多少时间？
【答案】小时．
【分析】方法1 将水池中的水的总量看作“1”，则注水管的注水速度为，出水管的出水速度为．
根据等量关系：关闭注水管前水池中的水量＝关闭注水管后水池中的水量，可以设两管同时开放x小时，并画出下面的线段图，如图所示：
方法2 将一水池中的水的总量看作“1”，则注水管的注水速度为，出水管的出水速度为．
根据等量关系：注水管注水量＝排水管排水量，可以设两管同时开放x小时，并画出下面的线段图，如图所示：
【详解】【方法1】设两管同时开放x小时，并画出下面的线段图，如图所示：
由题意，列方程，得
．
所以两管同时开放小时．
【方法2】设两管同时开放x小时，并画出下面的线段图，如图所示：
由题意，列方程得
．
所以两管同时开放小时．
【方法点拨】用方程的思想解决实际问题时，关键问题是从哪个角度来思考．本题的实质是在一个空的水池注水后又放水，最后又是一个空的水池．解题时，我们可以从两个角度来分析：一是注水管关闭以前池水不断增多，注水管关闭以后池水不断减少，即关闭注水管前水池中的水量＝关闭注水管后水池中的水量；二是将注水管和出水管独立起来分析，即注水管注水量＝排水管排水量．
上述问题中的注水量，注水速度、注水时间和工程问题中的工作量、工作效率、工作时间相对应，解工程问题时也可以类比此题来分析解决．
高频考点5 商品销售问题
【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。
实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为a这个未知数，虽然在解题过程中，这个未知数会被消掉。但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。
例1．（2022·四川成都实外七年级期末）为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲和300本乙共需要6400元．其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/本） m m﹣2
售价（元/本） 20 13
（1）求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？（2）第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？（3）第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了10%，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚10元，求甲书刊打了几折？
【答案】（1）甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元；（2）甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本；（3）甲书刊打了9折
【分析】（1）根据购买400本甲和300本乙共需要6400元列方程，解方程即可求解；
（2）设甲类书刊购进x本，则乙类书刊购进（800﹣x）本，由全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元可列方程，解方程结可求解；（3）设甲书刊打了a折，分别求解800本书的进价和售价，根据800本书的利润列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）由题意得400m+300（m﹣2）＝6400，解得m＝10，∴m﹣2＝10﹣2＝8（元），
答：甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元；
（2）设甲类书刊购进x本，则乙类书刊购进（800﹣x）本，
由题意得（20﹣10）x+（13﹣8）（800﹣x）＝5750，解得x＝350，
∴800﹣x＝800﹣350＝450（本），
答：甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本；
（3）设甲书刊打了a折，
800本书的进价为（350×10+450×8）×（1﹣10%）＝6390（元），
800本书的售价为350×20450×13＝700a+5850，
800本书的利润为700a+5850﹣6390＝5750+10，
解得a＝9，答：甲书刊打了9折．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
变式1．（2022·浙江松阳·期末）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道”它的进价为80元，打七折出售后，仍可获利5％”你认为售货员应标在标签上的价格为（ ）
A．110元 B．120元 C．130元 D．140元
【答案】B
【分析】根据题意得等量关系为：售价×折扣-进价=利润，列出方程，解之即可得出答案.
【解析】设售货员应标在标签上的价格为 x元，依题可得： 70%x-80=80×5%，
解得：x=120.故答案为B.
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用-销售问题 ，解题的关键是根据题意找出等量关系.
变式2．（2022·重庆九龙坡·）一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进了800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元．两次进货共花费4400元．（1）第一次购进的西瓜进价每千克多少元；（2）在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完会有部分损耗．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利2984元，则每千克西瓜的售价为多少元．
【答案】（1）4元；（2）6.5元
【分析】（1）设第一次购进的西瓜进货价每千克为元，则第二次进货价为元，根据题意列一元一次方程即可求解；（2）设售价为元，求出两次的销售总额，再减去成本就是获利，列出一元一次方程，即可求解．
【详解】解：（1）设第一次购进的西瓜进货价每千克为元，则第二次进货价为元，
由题意可得：，即解得
答：第一次购进的西瓜进价每千克4元；
（2）设每千克西瓜的售价为元，则第一次的销售额为元，第二次的销售额为元，总成本为4400元，
则，即解得
答：每千克西瓜的售价为6.5元
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意弄清楚题中的等量关系是解题的关键．
高频考点6 比赛积分问题
解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
例1．（2022·山东滨州·七年级期末）某年全国男子篮球联赛某赛区有圣奥（山西）、香港、悦达（南京军区）、济源（河南）、三沟（辽宁）、广西、丰绅（黑龙江）等球队参加，积分情况如下：
球队名称 比赛场次 胜场 负场 积分
悦达 12 11 1 23
香港 12 9 3
济源 12 8 4
圣奥 12 6 6 18
丰绅 12 5 7 17
广西 12 3 9 15
三沟 12 0 12 12
(1)观察上面表格，请直接写出篮球联赛胜一场积多少分，负一场积多少分；
(2)若设负场数为m，请用含m的式子表示某一个队的总积分；
(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的4倍吗？说明理由．
【答案】(1)胜一场2分，负一场1分(2)24－m(3)能，理由见解析
【分析】（1）由三勾队可求得负一场积分为1分，再由悦达队可求胜一场的积分为2分；
（2）根据总积分＝胜场的积分＋负场的积分即可求解；
（3）可设这个队胜了x场，根据题意列出相应的方程求解即可．
(1)解：由三勾队的积分为12分，负了12场，则负一场的积分为：12÷12＝1（分），
再由悦达队积分为23分，负了1场，胜了11场，则其胜场的总积分为：23 1 22（分），则胜一场的积分为：22÷11＝2（分）；
答：胜一场积2分，负一场积1分．
(2)解：若设负场数为m，则胜场数为（12 m），负场积分为m，胜场积分为2（12 m），因此总积分为：m＋2（12 m）＝24 m．
(3)解：设这个队胜了x场，则负了（12 x）场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分的4倍，则得方程为：2x＝4（12 x），解得：x＝8，
12 x＝4，
∴这个队的胜场总积分能等于负场总积分的4倍，此时，胜场数为8，负场数为4．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到相应的等量
关系．
变式1．（2022·黑龙江省二九一农场中学七年级期末）一次足球赛11轮(即每队均需赛11场)，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，北京国安队所胜场数是所负场数的2倍，结果共得14分，求国安队共胜了__________场．
【答案】6
【分析】设国安队所胜场数为x场，则负场数为x场，平场数为（11-x-x）场，由题意：胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，结果共得14分，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设国安队所胜场数为x场，则负场数为x场，平场数为（11-x-x）场，
依题意得：2x+x×0+（11-x-x）×1=14，解得：x=6，
答：国安队共胜了6场．故答案为：6．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，列出一元一次方程．
变式2．（2022·云南玉溪·七年级期末）为庆祝“建党100周年”，某学校组织“学党史”知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分，参赛者小红得88分，则她答对几道题？
【答案】18
【分析】设她答对x道题，则答错（20-x）道题，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设她答对x道题，则答错（20-x）道题．
根据题意得： 解得：
答：她答对18道题
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
高频考点7 配套问题
【解题技巧】因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套完成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比。利用（3）得到等量关系，先构造分式方程，再利用比例的性质交叉相乘积相等得到一元一次方程。
例1．（2022·河北沧州·七年级期末）某工厂有28名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件18个或零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个零件配两个零件.工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利10元，每个零件可获利5元.
(1)若每天生产的零件和零件恰好配套，求该工厂每天有多少工人生产零件？
(2)因市场需求，该工厂每天在生产配套的零件外，还要多生产出一部分零件供商场零售.在（1）的人员分配情况下，现从生产零件的工人中调出多少名工人生产零件，才能使每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元？
【答案】(1)7名 (2)5名
【分析】（1）设该工厂每天有名工人生产零件，则每天有名工人生产零件，根据每天生产的零件和零件恰好配套建立方程，解方程即可得；
（2）设从生产零件的工人中调出名工人生产零件，则该工厂每天有名工人生产零件，有名工人生产零件，再根据每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元建立方程，解方程即可得．
（1）解：设该工厂每天有名工人生产零件，则每天有名工人生产零件，由题意得：，解得，答：该工厂每天有7名工人生产零件．
（2）解：设从生产零件的工人中调出名工人生产零件，则该工厂每天有名工人生产零件，有名工人生产零件，由题意得：，解得，答：从生产零件的工人中调出5名工人生产零件，才能使每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
变式1．（2022·浙江金华·七年级期末）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．1000（26﹣x）＝800x B．1000（26﹣x）＝2×800x
C．1000（13﹣x）＝800x D．2×1000（26﹣x）＝800x
【答案】B
【分析】设安排x名工人生产螺栓，则每天可以生产800x螺栓和1000（26-x）个螺母，然后根据螺母的个数为螺栓个数的2倍列方程即可．
【详解】解：根据题意得1000（26-x）=2×800x．故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程：审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
变式2．（2022·山东青岛·七年级期末）七年级1班共有学生45人，其中男生人数比女生人数少3人．某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个．
(1)七年级1班有男生、女生各多少人？(2)原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？
【答案】(1)男生21人，女生24人(2)不配套；男生要支援女生3人
【分析】（1）根据男生人数+女生人数＝总人数，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以计算出原计划制作的筒身和筒底数，然后看一下数量是否是二倍的关系即可判断原计划生产的是否配套；然后根据判断设男生要支援女生a人，再列方程，解答即可．
(1)解：设女生有x人，则男生有（x﹣3）人，
由题意可得：x+（x﹣3）＝45，解得x＝24，∴x﹣3＝21，
答：七年级1班有男生21人，女生24人．
(2)解：女生可以做筒身：24×30＝720（个），男生可以做筒底：21×90＝1890（个），
∵720×2＜1890，∴原计划每节课做出的筒身和筒底不配套；
设男生要支援女生a人，才能使筒身和筒底配套，根据题意得：
（24+a）×30×2＝（21﹣a）×90，解得a＝3，
答：男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键．
高频考点8 调配问题
【解题技巧】调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前后的变化中找等量关系。
调出者的数量=原有的数量－调出的数量
调进者的数量=原有的数量+调入的数量
例1．（2022·杭州市公益中学七年级期末）A、B两地果园分别有苹果20吨和30吨，C、D两地分别需要苹果15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如表：
A果园 B果园
到C地 每吨15元 每吨10元
到D地 每吨12元 每吨9吨
（1）若从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为 吨，从B果园将苹果运往C地的苹果为 吨，从B果园将苹果运往D地的苹果为 吨．
（2）若从A果园运到C地的苹果为x吨，用含x的代数式表示从A果园到C、D两地的总运费是 元；用含x的代数式表示从B果园到C、D两地的总运费是 元．
（3）若从A果园运到C地的苹果为x吨，从A果园到C、D两地的总运费和B果园到C、D两地的总运费之和是545元，若从A果园运到C地的苹果为多少吨？
【答案】（1）（20-x），（15-x），（x+15）；（2）（3x+240），（285-x）；（3）10吨
【分析】（1）由A果园的苹果吨数结合从A果园运到C地的苹果吨数即可得出从A果园运到D地的苹果重量，再根据C、D两地需要的苹果重量即可得出从B果园运到C、D两地苹果的重量；
（2）根据运费=重量×每吨运费即可得出从A果园到C、D两地的总运费，再根据运费=重量×单吨运费即可得出从B果园到C、D两地的总运费；
（3）根据（2）的结论结合总运费即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）∵A果园有苹果20吨，从A果园运到C地的苹果为x吨，
∴从A果园运到D地的苹果为（20-x）吨，从B果园将苹果运往C地的苹果为（15-x）吨，
∴从B果园将苹果运往D地的苹果为35-（20-x）=（x+15）吨．
故答案为：（20-x），（15-x），（x+15）；
（2）从A果园到C、D两地的总运费是15x+12（20-x）=（3x+240）元；
从B果园到C、D两地的总运费是10（15-x）+9（x+15）=（285-x）元．
故答案为：（3x+240），（285-x）；
（3）根据题意得：3x+240+285-x=545，解得：x=10．
答：从A果园运到C地的苹果为10吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数，解题的关键是：（1）根据数量关系：A果园苹果总重量=A果园运往C地苹果重量+A果园运往D地苹果重量，B果园苹果总重量=B果园运往C地苹果重量+B果园运往D地苹果重量列出代数式；（2）根据运费=重量×每吨运费列出代数式；（3）结合（2）结论以及总运费列出关于x的一元一次方程．
变式1．（2022·杭州七年级期中）甲仓库有水泥110吨，乙仓库有水泥70吨，现要将这些水泥全部运往两工地，调运任务承包给某运输公司．已知工地需水泥100吨，工地需水泥80吨，从甲仓库运往两工地的路程和每吨每千米的运费如表：
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
地 25 20 1 0.8
地 20 15 1.2 1.2
（1）设甲仓库运往地水泥吨，则甲仓库运往地水泥_______吨，乙仓库运往地水泥_______吨，乙仓库运往地水泥________吨（用含的代数式表示）；
（2）用含的代数式表示总运费，并化简；
（3）若某种运输方案的总运费是3820元，请问具体的调运方案是怎样的？
【答案】（1），，；（2）总运费为元；（3）从甲仓库运往地水泥吨，甲仓库运往B地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）及表格可直接进行列式求解；
（3）由（2）及题意可得，然后解方程即可．
【详解】解：（1）设甲仓库运往地水泥吨，由题意得：
甲仓库运往B地水泥为：吨；乙仓库运往地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨；故答案为，，；
（2）由（1）及表格可得：总运费为：
==；∴总运费为元；
（3）由（2）及题意可得：，解得：，
∴从甲仓库运往地水泥吨，甲仓库运往B地水泥为：吨；乙仓库运往地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨；
答：具体调运方案为从甲仓库运往地水泥吨，甲仓库运往B地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
变式2.（2022·浙江七年级月考）温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台，现在决定给武汉8台，南昌6台，每台机器的运费如下表，设杭州运往南昌的机器为台．
终点起点 南昌 武汉
温州厂 400 800
杭州厂 300 500
（1）用的代数式来表示总运费（单位：元）
（2）若总运费为8400元，则杭州运往南昌的机器应为多少台？
（3）试问有无可能使总运费是8600元？请说明理由．
【答案】（1）（200x+7600）元；（2）4台；（3）能，理由见解析．
【分析】（1）设杭州运往南昌的机器为x台，则分别表示出从温州厂支援南昌、武汉的台数，和杭州厂支援南昌、武汉的台数，然后根据运费得到总运费=400（6-x）+800（4+x）+300x+500（4-x）；
（2）直接列方程200x+7600=8400，然后解方程即可；
（3）根据200x+7600=8600的解为正整数，则可判断能使总运费是8600元．
【详解】解：（1）总运费=400（6-x）+800（4+x）+300x+500（4-x）=（200x+7600）元；
（2）根据题意得200x+7600=8400，解得x=4，
答：杭州运往南昌的机器应为4台；
（3）能，理由：因为200x+7600=8600，解得x=5，
所以能使总运费是8600元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
高频考点9 数字与日历问题
解题技巧：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖邻相邻两数相差7，即可设日历中某数为（在日历中该数上下左右都有相应数字），横行相邻数为，；竖邻两数为，；
注：求出的数必须是整数且符合画框要求。
例1．（2022·湖北荆门·七年级期中）观察下列三行数：
(1)每行的第9个数分别为 ， ， ．
(2)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数左上角数记为x，求这六个数的和（结果用含x式子表示并化简）．
(3)第三行是否存在连续的三个数的和为381，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？
【答案】(1)（－2）9，(-2)9+2，-(-2)9－1 (2)－x+2 (3)存在，127，－257，511
【分析】（1）找出每行数的规律，然后问题可求解；
（2）由题意易得另五个数分别为－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，然后问题可求解；（3）设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，然后可得－x－1+2x－1－4x－1＝381，进而问题可求解．
（1）解：第①行的有理数分别是－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，…，
故第n个数为（－2）n（n是正整数），第9个数为（－2）9，
第②行的数等于第①行相应的数加2，即第n的数为（－2）n+2（n是正整数），第9个数为(-2)9+2，
第③行的数等于第①行相应的数的相反数减去1，即第n个数是－（－2）n－1（n是正整数），第9个数为-(-2)9－1，
（2）解：∵左上角数记为x，
∴另五个数分别为：－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，
∴x－2x+x+2－2x+2－x－1+2x－1＝－x+2；
（3）解：设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，
由题意可得：－x－1+2x－1－4x－1＝381，
∴x＝－128，∴这三个数分别为127，－257，511．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及数字规律问题，解题的关键是得到每行数字的规律．
变式1．（2022·河北沧州·七年级期末）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，求原两位数.设原两位数的个位数字是，根据题意可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出原两位数的十位数字是，再根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99建立方程即可．
【详解】解：由题意得：原两位数的十位数字是，
则可列方程为，故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
变式2．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则y﹣x的值是（ ）
A．1 B．17 C．﹣1 D．﹣17
【答案】A
【分析】根据题意可得关于x、y的等式，继而进行求解即可得答案．
【详解】由题意得：-3+y+2=-3+3+x，即y-1=x，则y﹣x＝1．故选：A．
【点睛】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．
变式3．（2022·山东临沂·七年级期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如1，7，8，9，15）．照此方法，若圈出的5个数的和为115，则这5个数中的最小数为_________．
【答案】16
【析】设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x-7，x-1，x+1，x+7，根据最大数与最小数的和为115列出x的一元一次方程，求出x的值，进而求得最小的数．
【详解】解：设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x-7，x-1，x+1，x+7，
根据题意：则x-7+ x-1+x+x+1+x+7=115，解得x=23，
即圈出5个数分别为16，22，23，24，30，所以最小数是16．故答案是：16．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设第二行中间数为x，用x表示出其他四个数，此题难度不大．
高频考点10．和、差、倍、分（比例）问题
（1）和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几，“是”、“比”相当于“=”；
即：当较大量是/比较小量的几倍多几时：较大量=较小量×倍数+多余量；
当较大量是/比较小量的几倍少几时：较大量=较小量×倍数-所少量。
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
例1．（2022·福建泉州·七年级阶段练习） 为了进一步落实“双减”政策，学校积极开展社团活动，原国际象棋社团有学生64人，羽毛球社团有学生56人．在家乡著名羽毛球运动员黄东萍获得奥运冠军后学校掀起一股羽毛球热潮，有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团，现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半．问有多少名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？
【答案】有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团
【分析】设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据“现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半”列出一元一次方程，解方程求解即可．
【详解】解：设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据题意得：
2(64-x)=56+x， 解得x=24；
答：有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确利用数量关系列出一元一次方程是解题的关键．
变式1．（2022·湖北襄阳·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）的销售瓶数的比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装_______大瓶．
【答案】20000
【分析】设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据大小消毒液的总重量为22.5吨=22500000克建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据题意得：
2x×500+5x×250=22500000，解得x=10000，
所以大瓶销售了：2×10000=20000瓶，故答案是：20000．
【点睛】本题考查了运用比例问题的设每份为未知数的方法建立方程求解的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时运用设间接未知数降低解题难度是关键．
变式2．（2022·内蒙古九年级期中）程大位《直指算法统宗》趣题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设小和尚有x人，根据共100个和尚可知大和尚有（100－x）人，根据100个和尚分100个馒头正好分完．可以得到一个等量关系：大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数＝100，依此列出方程即可．
【详解】解：设小和尚有x人，则大和尚有（100－x）人，
根据题意得：．故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式3．（2022·南昌市心远中学七年级期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样-条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．求李白的酒壶中原有酒多少升．
【答案】壶中原有升酒．
【分析】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
【详解】设壶中原有x升酒，根据题意得，解得．答：壶中原有升酒．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键.
高频考点11．数学文化问题
例1．（2022·安徽九年级三模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？
大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？
【答案】75户
【分析】设城中共有x户人家，根据两次分掉的头数和等于100列出方程，然后解之即可．
【详解】解：设城中共有x户人家，依题意得：x＋＝100，解得：x＝75，
答：城中有75户人家．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程，找准数量关系剩下的鹿的头数为城中总户数的是解题关键．
变式1．（2022·四川隆昌七年级月考）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ）
A．3（x﹣2）＝2x＋9 B．3（x＋2）＝2x﹣9 C．＋2＝ D．﹣2＝
【答案】A
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【详解】解：设有x辆车，则可列方程：3（x﹣2）＝2x＋9．故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．
变式2．（2022·江苏九年级期中）中国古代数学名著《孙子算经》中有个问题，原文：今有四人共车，二车空；三人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余2辆车，若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，问共有_____________辆车．
【答案】
【分析】设共有人，据不同的乘车方案中车的数量相同建立等量关系，求出人数后即可算出车辆数．
【详解】解：设共有人，根据题意得：，，
，，解得：，
共有：，故答案是：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：理清题意，列出方程，再求解即可．
变式3．（2022·山西七年级期中）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘．问有多少人？多少辆车？如果我们设有y人乘x辆车，那么下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】D
【分析】根据题意可得等量关系：（车的数量车的数量，及根据车的数量相等建立等式，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设有辆车，由题意得：，故①正确；
设有y人，根据每3人乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘可得：
，故④正确，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
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专题09 一元一次方程的应用 专项提升（精讲）
一元一次方程的应用题属于本学期必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、方案优化选择、行程问题、工程问题、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题等进行方法总结与经典题型进行分类。
【解题技巧】
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
2 .建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长
2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系：用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
高频考点1. 分段计费问题
【解题技巧】总费用=未超标部分的费用+超标部分的费用。
已知费用求需判定的所属范围；若无法知道费用对应的具体范围时，需对其进行不同范围的分类讨论。
注：需审题仔细，看清计费标准是否有“超过部分”。
常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等.
例1．（2022·浙江丽水·三模）电信公司推出移动电话A，两种套餐计费方法，收费标准如下表，一个月累计通话时间记为（分）．
A计费方法 计费方法
月租费（元/月） 58 88
不加收通话费时限（分） 150 350
超时部分加收通话费标准（元/分） 0.25 0.20
(1)若，则选用哪种套餐话费少？通过计算说明．(2)当时，按这两种计费方法，所需的话费会相等吗？若会，求的值；若不会，说明理由．(3)用A套餐时，一个月累计通话时间410分所需的话费，若改用套餐，则可多通话多少分钟？
变式1．（2022·聊城市七年级期末）为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：
档次 每户每月用电数度 执行电价元度
第一档 小于等于200部分
第二档 大于200且小于等于400部分
第三档 大于400部分
（1）若一户居民七月份用电420度，则需缴电费多少元？
（2）若一户居民某月用电x度大于200且小于，则需缴电费多少元？用含x的代数式表示
（3）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费262元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度，问该户居民五、六月份各用电多少度？
变式2．（2022·浙江绍兴市·七年级期中）鼓励市民节约用水，自来水公司采用阶梯收费，下表为用水收费标准．
用水量（立方米） 水费到户价格（元/立方米）
不超过14的部分
超过14到30的部分
…… ……
（1）小王家6月用水，付水费25元，求的值．
（2）小王家7月用水，，用的代数式表示水费，求用水时的水费．
变式3．（2022·福建泉州·初一期中）某地试行医保制度，并规定：
一、每位居民年初缴纳医保基金70元；
二、居民个人当年看病的医疗费（以定点医院的医疗发票为准，年底按下表所示的方式结算）报销看病的医疗费用.
居民个人当年看病的医疗费用 医疗费用报销办法
不超过 n 元的部分 全部由医保基金承担（即全额报销）
超过 n 元但不超过 6 000 元的部分 个人承担，其余由医保基金承担
超过 6 000 元的部分 个人承担其余由医保基金承担
设一位居民当年看病的医疗费用为元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费用中个人承担的部分和年初缴纳的医保基金）记为元.
(1)写出如下条件，的代数式（可含有）.①当时；②当时.
(2)已知，若该地居民周大爷某一年个人实际承担的医疗费用是元，那么他这一年看病所花费的医疗费共多少元？
高频考点2.方案优化问题
解题技巧：此类问题，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型有2种思路。
思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣
思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。
例1．（2022·浙江七年级期中）小明家准备在网上购买一些茶壶和茶杯，在查阅天猫网店后，发现甲、乙两家网店都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同；茶壶每把定价50元，茶杯每只定价10元，“双十一”期间两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案：甲店买一送一大酬宾：（买一把茶壶赠送茶杯一只）；乙店全场9折优惠（按实际价格的90%收费）．小明爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．
（1）用代数式表示（所填式子需化简）：当购买茶杯只时，在甲店购买需付款___________元；
在乙店购买需付款____________________________元．（2）当需购买20只茶杯时①到哪家网店购买比较合算？说出你的理由．②你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款几元？（3）当购买茶杯多少只时，两种优惠方案付款一样？
变式1．（2022·河北承德·七年级期末）小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单：
种类 配餐 价格（元） 优惠活动
A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元消费满300元，减48元……
B餐 1份盖饭＋1杯饮料 28
C餐 1份盖饭＋1杯饮料＋1份小菜 32
小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，杯饮料和5份小菜．(1)他们共点了______份B餐；（用含x的式子表示）
(2)若他们套餐共买6杯饮料，求实际花费多少元；
(3)若他们点餐优惠后一共花费了256元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的．
变式2．（2022·四川广元·七年级期末）为缓解冬季部分地区果蔬紧张的情况，现要把物资运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知大、小两种货车的载质量分别为和，运往甲、乙两地的运费如下表：
甲地 乙地
大货车/（元/辆） 720 800
小货车/（元/辆） 500 650
(1)大、小两种货车各用了多少辆？(2)如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆．①完成下表：
甲地 乙地
大货车 a辆 __________辆
小货车 辆 __________辆
②若运往甲地的物资共，请求出安排运往甲地的大货车有多少辆？并求出总运费．
高频考点3 行程问题
解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度×时间。
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
行程问题可分为四大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：
①相遇问题（或相向问题）：
速度和×时间=总路程
②追及问题：
同时不同地：
速度差×时间=起点间的距离
同地不同时：
速度差×时间=先行路程
不同时不同地：
速度差×时间=起点间的距离+先行路程
③航行问题：（1）顺流速度=静水速度+水流速度；（2）逆流速度=静水速度-水流速度。
④火车过桥问题：火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意的是从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。
例1．（2022·山西浑源·初一期末）综合与实践：
甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时；快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米/时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题：（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；
（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程；
（3）①在慢车从乙地开往甲地的过程中，直接写出快慢两车之间的距离；（用含x的代数式表示）
②若第二列快车也从甲地出发匀速驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，第二列快车与慢车相遇，直接写出第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．
变式1．（2022·杭州七年级期中）某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4h，逆水航行需6h，水流速度是2km/h，求两个码头之间的距离，我们可以设两个码头之间的距离为xkm，得到方程（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·河北·涿州市双语学校七年级期末）已知下列两个应用题：
①现有60个零件的加工任务，甲单独每小时可以加工4个零件，乙单独每小时可以加工6个零件．现甲乙两人合作，问两人开始工作几小时后还有20个零件没有加工？
②甲乙两人从相距20km的两地同时出发，背向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几小时后两人相距60km？
其中可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中数量关系的应用题是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②都不对
变式3．（2022·福建泉州·七年级阶段练习）如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿着A－D－C－B－A方向循环跑步，同时乙沿着B－C－D－A－B方向循环跑步，AB＝30米，BC＝50米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒．
(1)设经过的时间为t秒，则用含t的代数式表示甲的路程为 米；
(2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为多少秒？
(3)若甲改为沿着A－B－C－D－A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙追上甲？(4)小明在探索中发现一个非常有趣的结论：在（3）的条件下，甲乙继续跑步，以后遇的地点每次相遇的地点都和第一次遇的地点一样，请同学们试以第n次相遇为例帮小明同学进行简单的论证，并写出每次相遇时点P的位置．
高频考点4工程问题
【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。
工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。
例1．（2022·浙江台州·一模）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年2000亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜．(1)求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；(2)该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．
变式1．（2022·广东江门·七年级期末）有一项城市绿化整治任务交甲、乙两个工程队完成，已知甲单独做10天完成，乙单独做8天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作x天后，共同完成任务，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·黑龙江）某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．（1）问该中学库存多少套桌凳？（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．请你通过计算说明哪种方案省钱．
变式3．（2022·河北七年级专题练习）一个水池设有注水管和排水管，单独开注水管2小时可注满水池，单独开排水管3小时可将一池水排完．现向这个空水池注水，将注水管与排水管同时开放若干小时后，关上注水管，排水管排掉水池中的水所用的时间比两管同时开放的时间少10分钟．两管同时开了多少时间？
高频考点5 商品销售问题
【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。
实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为a这个未知数，虽然在解题过程中，这个未知数会被消掉。但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。
例1．（2022·四川成都实外七年级期末）为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲和300本乙共需要6400元．其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/本） m m﹣2
售价（元/本） 20 13
（1）求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？（2）第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？（3）第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了10%，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚10元，求甲书刊打了几折？
变式1．（2022·浙江松阳·期末）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道”它的进价为80元，打七折出售后，仍可获利5％”你认为售货员应标在标签上的价格为（ ）
A．110元 B．120元 C．130元 D．140元
变式2．（2022·重庆九龙坡·）一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进了800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元．两次进货共花费4400元．（1）第一次购进的西瓜进价每千克多少元；（2）在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完会有部分损耗．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利2984元，则每千克西瓜的售价为多少元．
高频考点6 比赛积分问题
解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
例1．（2022·山东滨州·七年级期末）某年全国男子篮球联赛某赛区有圣奥（山西）、香港、悦达（南京军区）、济源（河南）、三沟（辽宁）、广西、丰绅（黑龙江）等球队参加，积分情况如下：
球队名称 比赛场次 胜场 负场 积分
悦达 12 11 1 23
香港 12 9 3
济源 12 8 4
圣奥 12 6 6 18
丰绅 12 5 7 17
广西 12 3 9 15
三沟 12 0 12 12
(1)观察上面表格，请直接写出篮球联赛胜一场积多少分，负一场积多少分；(2)若设负场数为m，请用含m的式子表示某一个队的总积分；(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的4倍吗？说明理由．
变式1．（2022·黑龙江省二九一农场中学七年级期末）一次足球赛11轮(即每队均需赛11场)，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，北京国安队所胜场数是所负场数的2倍，结果共得14分，求国安队共胜了__________场．
变式2．（2022·云南玉溪·七年级期末）为庆祝“建党100周年”，某学校组织“学党史”知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分，参赛者小红得88分，则她答对几道题？
高频考点7 配套问题
【解题技巧】因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套完成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比。利用（3）得到等量关系，先构造分式方程，再利用比例的性质交叉相乘积相等得到一元一次方程。
例1．（2022·河北沧州·七年级期末）某工厂有28名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件18个或零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个零件配两个零件.工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利10元，每个零件可获利5元.
(1)若每天生产的零件和零件恰好配套，求该工厂每天有多少工人生产零件？
(2)因市场需求，该工厂每天在生产配套的零件外，还要多生产出一部分零件供商场零售.在（1）的人员分配情况下，现从生产零件的工人中调出多少名工人生产零件，才能使每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元？
变式1．（2022·浙江金华·七年级期末）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．1000（26﹣x）＝800x B．1000（26﹣x）＝2×800x
C．1000（13﹣x）＝800x D．2×1000（26﹣x）＝800x
变式2．（2022·山东青岛·七年级期末）七年级1班共有学生45人，其中男生人数比女生人数少3人．某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个．
(1)七年级1班有男生、女生各多少人？(2)原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？
高频考点8 调配问题
【解题技巧】调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前后的变化中找等量关系。
调出者的数量=原有的数量－调出的数量
调进者的数量=原有的数量+调入的数量
例1．（2022·杭州市公益中学七年级期末）A、B两地果园分别有苹果20吨和30吨，C、D两地分别需要苹果15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如表：
A果园 B果园
到C地 每吨15元 每吨10元
到D地 每吨12元 每吨9吨
（1）若从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为 吨，从B果园将苹果运往C地的苹果为 吨，从B果园将苹果运往D地的苹果为 吨．
（2）若从A果园运到C地的苹果为x吨，用含x的代数式表示从A果园到C、D两地的总运费是 元；用含x的代数式表示从B果园到C、D两地的总运费是 元．
（3）若从A果园运到C地的苹果为x吨，从A果园到C、D两地的总运费和B果园到C、D两地的总运费之和是545元，若从A果园运到C地的苹果为多少吨？
变式1．（2022·杭州七年级期中）甲仓库有水泥110吨，乙仓库有水泥70吨，现要将这些水泥全部运往两工地，调运任务承包给某运输公司．已知工地需水泥100吨，工地需水泥80吨，从甲仓库运往两工地的路程和每吨每千米的运费如表：
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
地 25 20 1 0.8
地 20 15 1.2 1.2
（1）设甲仓库运往地水泥吨，则甲仓库运往地水泥_______吨，乙仓库运往地水泥_______吨，乙仓库运往地水泥________吨（用含的代数式表示）；
（2）用含的代数式表示总运费，并化简；
（3）若某种运输方案的总运费是3820元，请问具体的调运方案是怎样的？
变式2.（2022·浙江七年级月考）温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台，现在决定给武汉8台，南昌6台，每台机器的运费如下表，设杭州运往南昌的机器为台．
终点起点 南昌 武汉
温州厂 400 800
杭州厂 300 500
（1）用的代数式来表示总运费（单位：元）（2）若总运费为8400元，则杭州运往南昌的机器应为多少台？（3）试问有无可能使总运费是8600元？请说明理由．
高频考点9 数字与日历问题
解题技巧：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖邻相邻两数相差7，即可设日历中某数为（在日历中该数上下左右都有相应数字），横行相邻数为，；竖邻两数为，；
注：求出的数必须是整数且符合画框要求。
例1．（2022·湖北荆门·七年级期中）观察下列三行数：
(1)每行的第9个数分别为 ， ， ．
(2)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数左上角数记为x，求这六个数的和（结果用含x式子表示并化简）．
(3)第三行是否存在连续的三个数的和为381，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？
变式1．（2022·河北沧州·七年级期末）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，求原两位数.设原两位数的个位数字是，根据题意可列方程为( )
A． B．
C． D．
变式2．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则y﹣x的值是（ ）
A．1 B．17 C．﹣1 D．﹣17
变式3．（2022·山东临沂·七年级期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如1，7，8，9，15）．照此方法，若圈出的5个数的和为115，则这5个数中的最小数为_________．
高频考点10．和、差、倍、分（比例）问题
（1）和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几，“是”、“比”相当于“=”；
即：当较大量是/比较小量的几倍多几时：较大量=较小量×倍数+多余量；
当较大量是/比较小量的几倍少几时：较大量=较小量×倍数-所少量。
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
例1．（2022·福建泉州·七年级阶段练习） 为了进一步落实“双减”政策，学校积极开展社团活动，原国际象棋社团有学生64人，羽毛球社团有学生56人．在家乡著名羽毛球运动员黄东萍获得奥运冠军后学校掀起一股羽毛球热潮，有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团，现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半．问有多少名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？
变式1．（2022·湖北襄阳·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）的销售瓶数的比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装_______大瓶．
变式2．（2022·内蒙古九年级期中）程大位《直指算法统宗》趣题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·南昌市心远中学七年级期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样-条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．求李白的酒壶中原有酒多少升．
高频考点11．数学文化问题
例1．（2022·安徽九年级三模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？
大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？
变式1．（2022·四川隆昌七年级月考）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ）
A．3（x﹣2）＝2x＋9 B．3（x＋2）＝2x﹣9 C．＋2＝ D．﹣2＝
变式2．（2022·江苏九年级期中）中国古代数学名著《孙子算经》中有个问题，原文：今有四人共车，二车空；三人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余2辆车，若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，问共有_____________辆车．
变式3．（2022·山西七年级期中）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘．问有多少人？多少辆车？如果我们设有y人乘x辆车，那么下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
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