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专题07 将军饮马求最值 专项提升（精练）
一、选择题
1．（2022·广东深圳·八年级期中）如图，已知点A（1，-1），B（2，3），点P为x轴上一点，当|PA-PB|的值最大时，点P的坐标为（ ）
A．（-1，0） B．（，0） C．（，0） D．（1，0）
【答案】B
【分析】由题意作A关于x轴对称点C，连接BC并延长，BC的延长线与x轴的交点即为所求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，继而求得点P的坐标．
【详解】解：作A关于x轴对称点C，连接BC并延长交x轴于点P，
∵A（1，-1），∴C的坐标为（1， 1），
连接BC，设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴,解得，∴直线BC的解析式为：y=2x-1，
当y=0时，x=，∴点P的坐标为：（，0），
∵当B，C，P不共线时，根据三角形三边的关系可得：|PA-PB|=|PC-PB|＜BC，
∴此时|PA-PB|=|PC-PB|=BC取得最大值．故选：B．
【点睛】本题考查轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P点，注意数形结合思想与方程思想的应用．
2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可．
【详解】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴B点与C点关于AD对称，∴BM＝CM，
∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，
∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，
∴FC＝2，EF＝2，
在Rt△BEF中，BF＝4，∴BE＝2，故选：C．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．
3．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【答案】A
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，
，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为．故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
4．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．
【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，
∵，则△ABO为等腰直角三角形，
∴AB=，N为AB的中点，∴ON=，
又∵M为AC的中点，∴MN为△ABC的中位线，BC=1，
则MN=，∴OM=ON+MN=，
∴OM的最大值为 故答案选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．
5．（2022·四川眉山·初二期末）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( )
A．5 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
【答案】C
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解析】如图，连接AD．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）．
∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）．故选C．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二、填空题
6．（2022·安徽·桐城实验中学八年级期末）已知在平面直角坐标系中，点A（－1，－2），点B（4，12），试在x轴上找一点P，使得｜PA－PB｜的值最大，求P点坐标为_________．
【答案】（-2，0）
【分析】先找出点A关于x轴对称的点A′坐标是（-1,2），根据两边之差小于第三边得到P位于直线A′B与x轴交点的位置时，|PA-PB|最大，设直线A′B解析式为y=kx+b，将A′与B坐标代入，求出k与b的值，确定出直线A′B解析式，令y=0求出对应x的值，确定出P的坐标；
【详解】解：（1）解：∵A（-1，-2），∴点A关于x轴对称的点A′坐标是（-1,2），设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A′（-1，2），B（4，12）代入得：
解得： ，故直线AB解析式为y=2x+4
令y=0，解得x=-2，即P坐标为（-2，0）时，|PA-PB|最大.
故答案为（-2，0）.
【点睛】本题考查轴对称--最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．
7．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】当连接BE，交AD于点P时，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．
【详解】解：连接BE
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点C关于AD的对应点为点B，
∴BE就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴BE是△ABC的中线，
∴CE＝AC＝2，
∴
即EP+CP的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．
8．（2022·浙江·临海市书生实验学校八年级开学考试）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．
【答案】4
【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，证明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4．
【详解】解：如图，连接D，
∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，
∴∠CB=60°，
∴∠CB=∠B，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△BD，
∴CD=D，
∴AD+CD=D+CD，
∴当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4，
故答案为：4．
．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．
9．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．
【答案】10
【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．
【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，
∵AP＝A'P，
∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此时P点到A、B的距离最小，
∵A（0，3），
∴A'（0，﹣3），
∵B（6，5），
5-（-3）=8，6-0=6
∴A'B＝=10，
∴P点到A、B的距离最小值为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离是解题的关键．
10．（2021·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
【答案】 平行四边形 2
【分析】（1）利用平移的性质证明即可．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论．
【详解】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
故答案为：平行四边形．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，
∴AJ=JC，
∴BJ=AC=，
∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，
∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，
∴四边形BHCJ是正方形，
∴BH=CH=，
在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，
∴A′B=CD′，
∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，
∴A′B+D′B的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
11．（2022·广东·九年级专题练习）已知点，，在x轴上的点C，使得最小，则点C的横坐标为_______．
【答案】
【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为点C，连接AC，则AC＋BC的最小值等于A'B的长，利用待定系数法求得直线A'B的解析式，即可得到点C的坐标．
【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为点C，
连接AC，则AC＋BC的最小值等于A'B的长，
∵A（1，1），
∴A'（1， 1），
设直线A'B的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
把A'（1， 1），B（3，5）代入得，
解得，
∴y＝3x 4，
当y＝0时，x＝，
∴点C的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解．
【详解】如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，
∴，，
此时四边形的周长为，
当点、、三点共线时，四边形的周长最小，
，，，
经过点，
，
，
，
，
，
，
四边形周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．
13．（2022·山东济南·八年级期中）如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为____．
【答案】
【分析】根据点的坐标和平行线的性质得到∠BAC=45°，从而得到∠B=90°，得出AC=BC=2，作C关于y轴的对称点C′，连接AC′交y轴于D′，则此时，四边形ABCD′的周长最小，这个最小周长的值=AB+BC+AC′，过根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵点A（2，2），点B的纵坐标为2，
∴AB∥x轴，
∵OC是第一象限的角平分线
∴∠BAC=45°，
∵CA=CB，
∴∠ACB=∠BAC=45°，
∴∠B=90°，
∵C（4，4）
∴B（4，2），
∴AB=BC=2，
作C（4，4）关于y轴的对称点C′（-4，4），
连接AC′交y轴于D′，
则此时，四边形ABCD′的周长最小，且CD= C′D，
则这个最小周长的值=AB+BC+AC′，
∵C′（-4，4），A（2，2）
∴，
∴四边形ABCD的最小周长值= ，
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
14．（2022·浙江·八年级）如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________.
【答案】3
【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．
【详解】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．
15．（2022·重庆·八年级期末）如图，在中，以BC为底边在外作等腰，作的平分线分别交AB，BC于点F，E．若，，的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则周长的最小值为______．
【答案】18
【分析】根据点B与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．
【详解】是以为底边的等腰三角形，平分，
垂直平分，
点与点关于对称，
，如图所示，
当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为30，
，
周长的最小值为．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．（2022·福建省福州教育学院附属中学八年级期末）如图，在边长为的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接当的周长最小时，的度数是______．
【答案】
【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明≌，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数．
【详解】解：如图，连接，
、都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
如图，作点关于的对称点，连接，，则，
当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，此时的周长最小，
由轴对称的性质，可得，，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
17．（2022·广西·上思县教育科学研究所八年级期末）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．
【答案】4
【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，证明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4．
【详解】解：如图，连接D，
∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，
∴∠CB=60°，
∴∠CB=∠B，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△BD，
∴CD=D，
∴AD+CD=D+CD，
∴当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4，
故答案为：4．
．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．
18．（2022·安徽·合肥八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 ___．
【答案】5
【分析】作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，当C、M、N、D点共线时，△PMN的周长最小，由题意可知△OCD是等边三角形，则CD＝5即为所求．
【详解】作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，
∴CM＝MP，NP＝DN，
∴PM+PN+MN＝CM+MN+DN≥CD，
∴当C、M、N、D点共线时，△PMN的周长最小，
∵∠BOA＝30°，OP＝OC＝OB，
∴∠COD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OP，
∵P（5，0），
∴OP＝5，
∴CD＝5，
∴△PMN的周长最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了图形的对称、等边三角形的判定与性质、两点间线段最短等知识，作点P分别关于OA、OB的对称点是关键，把求三角形周长的最小值转化为两点间线段的长度．
19．（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______．
【答案】60°##60度
【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β），
∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），
∴β﹣α＝60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题．
20．（2022·江苏南通·一模）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m＋2），点Q（n，0），点M（1，1），则PQ＋QM最小值为_________．
【答案】
【分析】根据点P（m，m＋2）可知，点P在一次函数的图像上移动，作出图示，并作M关于x轴的对称点，过点作于点P，交x轴于点Q，连接，QM，利用“垂线段最短”原理，可知此时PQ＋QM最小，最小值为的长度，利用等腰三角形的性质求解即可得出答案．
【详解】解：如图所示，由题意可知，点P（m，m＋2）在一次函数的图像上移动, 一次函数分别交x轴、y轴于点A，B，作M关于x轴的对称点，过点作于点P，交x轴于点Q，连接，QM，利用“垂线段最短”原理，可知此时PQ＋QM最小，最小值为的长．
点M（1，1）,
由对称性质可知：点
一次函数的图像分别交x轴、y轴于点
令，解得，即点，令，解得，即点
为等腰三角形，
点P为AB的中点，则点
故答案为：
【点睛】本题考查了最值问题，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质“三线合一”以及根据两点坐标求点之间的距离，思考问题时参照“将军饮马”模型，根据“垂线段最短”原理，将问题转化为求垂线段的长度是解决本题的关键．
21．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．
【答案】 ##30度
【分析】①与为等边三角形，得到，，，从而证，最后得到答案．
②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出为等边三角形，为的中垂线，得到， ，再证为直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：①∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∵，，
∴，
，
∴，
在和中
∴，
得；
故答案为：．
②（将军饮马问题）
过点D作定直线CF的对称点G，连CG，
∴为等边三角形，为的中垂线，，
∴，
连接，
∴，
又，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性．
三、解答题
22．（2022·山东威海·八年级期中）【源模：模型建立】
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐 李欣
诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距高和最短的一类问题．“将军饮马”问题的数学模型如图所示：
【新模1：模型应用】
如图1，正方形的边长为，点在边上，且，为对角线上一动点，欲使周长最小．
（1）在图中确定点的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）；
（2）周长的最小值为______．
【新模2：模型变式】
（3）如图2，在矩形中，，，在矩形内部有一动点，满足，则点到，两点的距离和的最小值为______．
【超模：模型拓广】
（4）如图3，，，．请构造合理的数学模型，并借助模型求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）连接ED交AC于一点F，连接BF，点F即为所求的点；
（2）连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可；
（3）设AB边上的高h，由题意，根据三角形面积、矩形面和解得h=2，再由轴对称性质，解得点到，两点的距离和的最小值为AC，最后根据勾股定理解题即可；
（4）作点A关于BD的对称点G过点G作 交ED延长线于点F，则 ，，利用勾股定理可得
的最小值就是的最小值，即GE的长，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，点F即为所求的点；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴△BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AD=AB=3，∠DAB=90°，
∵点E在AB上，且BE=1，
∴AE=2，
∴ ，
∴△BFE的周长为；
（3）设△PAB中AB边上的高是h，如图，
∵在矩形中，，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴动点P在与AB平行且与AB距离为2的直线l上，
∴点B与点C关于直线l对称，
连结AC交直线l于点 ，则AC的长就是所求的最短距离，
在 中，，
∴点到，两点的距离和的最小值为；
（4）如图，作点A关于BD的对称点G过点G作 交ED延长线于点F，则 ，，
设为，则CD=3-x，
在 和 中，由勾股定理得：
，，
则的最小值就是的最小值，即GE的长，
∵，，
∴，
∴四边形BDFG为矩形，
∴DF=BG=2，GF=BD=3，
∴EF=5，
在中，，，
，
所以，的最小值为．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——轴对称求最短路线，勾股定理，利用数形结合思想，构造直角三角形，利用勾股定理是解题的关键．
23．（2022·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.
(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；
(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，先求出直线的关系式，得出点E的坐标，求出AE=2，根据勾股定理求出，，，即可得出答案；
（2）将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，用待定系数法求出的关系式，然后求出与x轴的交点坐标，即可得出答案．
（1）
解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，由模型可知的周长最小，
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，
∴D（0，2），C（3，4），，
设直线为y=kx＋b，把C（3，4），代入，
得，，解得k=2，，
∴直线为，
令y=0，得x=1，
∴点E的坐标为（1，0）.
∴OE=1，AE=2，
利用勾股定理得，
，
，
∴△CDE周长的最小值为：．
（2）
解：如图，将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接，此时四边形CDEF周长最小，
理由如下：
∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，
∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小，
∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据轴对称可知，，
∴，
设直线的解析式为y=kx＋b，把C（3，4），代入，
得，解得，
∴直线的解析式为，
令y=0，得，
∴点F坐标为，
∴点E坐标为．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短时动点的位置，是解题的关键．
24．（2022·浙江·义乌市宾王中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
(1)求直线AB的解析式；
(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝2x+4
(2)
(3)存在以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）
【分析】（1）设OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，可得B（0，4），设直线AB解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法即可求解；
（2）将直线AB向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x 2，可得E（0， 2），垂线l2的解析式为y＝ 2，由B（0，4），C（4，0），得直线BC解析式为y＝ x＋4，从而可求得D（2，2），作D关于y轴的对称点D，作D关于直线y＝ 2对称点D，连接DD交y轴于P，交直线y＝ 2于Q，此时PD＋PQ＋DQ的最小，根据D（ 2，2），D（2， 6），得直线DD解析式为y＝ 2x 2，从而P（0， 2），Q（0， 2），故此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝，PD＋PQ＋DQ的最小值为4．
（3）设P（p，2p＋4），N（0，q），而A（ 2，0），D（2，2），①以AD、MN为对角线，此时AD中点即为MN中点，根据中点公式得N（0， 2）；②以AM、DN为对角线，同理可得N（0，10）；③以AN、DM为对角线，同理可得N（0， 2）．
（1）
解：（1）设OB＝OC＝m，
∵OA＝2，
∴AC＝m+2，A（﹣2，0），
∵S△ABC＝12，
∴AC OB＝12，即m （m+2）＝12，
解得m＝4或m＝﹣6（舍去），
∴OB＝OC＝4，
∴B（0，4），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB解析式为y＝2x+4；
（2）
将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，
∴E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2，
∵B（0，4），C（4，0），
设直线BC解析式为y＝px+q，
∴，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
由得：，
∴D（2，2），
作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，如图：
∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），
设直线D'D''解析式为y＝sx+t，
则，解得，
∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），
令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），
∴此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，
∴PD+PQ+DQ的最小值为4．
（3）
存在，理由如下：
设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），
①以AD、MN为对角线，如图：
此时AD中点即为MN中点，
∴，解得，
∴N（0，﹣2）；
②以AM、DN为对角线，如图：
同理可得：，解得，
∴N（0，10）；
③以AN、DM为对角线，如图：
同理可得，解得，
∴N（0，﹣2），
综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．
【点睛】本题考查一次函数及应用，涉及待定系数法、一次函数图象上点坐标特征、线段和的最小值、平行四边形等知识，解题的关键是应用平行四边形对角线互相平分，列方程组解决问题．
25．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∠ECH＝90°，连接AE．
(1)如图1，若点E在CB延长线上，连接AH，且AH＝6，求AE的长；
(2)如图2，若点E在AC上，F为AE的中点，连接BF、BH，当BH＝2BF，∠EHB+∠HBF＝45°时，求证：AE＝CE；
(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FH'∥BC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BE＝DE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CG＝AF，并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，△AED的面积为25，请直接写出GE+BH′的值．
【答案】(1)AE＝6
(2)见解析
(3)GE+BH′＝
【分析】（1）在Rt△ABC中，由AB＝BC得∠BAC＝∠ACB＝45°，从而得∠ACE＝∠ACH，再找CE＝CH，进而证明△ACE≌△ACH，即可得AE＝AH＝6；
（2）连接BE，设BH与AC交于点G，可证得△ABF≌△CBG，从而得出BG=BF，BH＝2BG，，进而得出△EGH≌△CGB，进一步得出结果；
（3）作DN//AC作点A的对称点A′，连接AC交DN于D′，连接BD′，交AC与E′，则当点D在D′处，点E在点E′处时，△ACD的周长最小，进而求得△ACD为等腰直角三角形，进而求得AF， AH′和E′G，进一步得出结果．
（1）解：在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵∠ECH＝90°，∴∠ACH＝45°，∴∠ACE＝∠ACH，在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∴∠CHE＝45°，∴CE＝CH，∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACH（SAS），∴AE＝AH＝6；
（2）证明：如图1，连接BE，设BH与AC交于点G，∵∠BCE=∠CEH=45°，∴EH//BC，∴∠EHB=∠CBG，∵∠ABC＝90°，∴∠CBG+∠HBF+∠ABF=45°，∵∠EHB+∠HBF＝45°，∴∠EHB=∠CBG +∠ABF，∴∠CBG =∠ABF，∵AB＝AC，∠A＝∠ACB＝45°，∴△ABF≌△CBG（ASA），∴BG＝BF，∵BH＝2BF，∴BH＝2BG，∵∠HEG＝∠BCG＝45°，∠EGH＝∠CGB，∴△EGH≌△CGB（AAS），∴EG＝CG，∴四边形EBCH是平行四边形，∴BE//CH，∴∠BEG＝∠ECH＝90°，∴AE＝CE；
（3）解：如图2，作DN∥AC，作点A关于直线DN′的对称点A′，连接A′C交DN于D′，连接BD′，交AC与E′，则当点D在D′处，点E在点E′处时，△ACD的周长最小，此时△ACD为等腰直角三角形，∵S△ADE＝＝25，∴AE′＝5，∴AC＝2AE′＝10，∴AB＝BC＝＝10，∵AF＝＝，∴H′F＝AH′＝＝ ，∴BH′＝10﹣＝，∵AF＝CG，∠BAF＝∠BCA＝45°，AB＝CE′，∴△ABF≌△CE′G（SAS），∴BF＝E′G，∴E′G＝BF＝＝＝，∴GE+BH′＝．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质以及勾股定理等知识，熟练掌握“将军饮马”等模型是解决问题的关键．
26．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)y＝-x＋5
(2)；
(3)存在，或
【分析】(1)把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，求出k、b的值，即可写出一次函数的表达式．
(2)先作出A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B与y轴的交点即为P点．求出直线A′B的函数表达式，即可求出P点的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出A′B的长，即PA+PB的最小值．
(3)先求出△AOB的面积，再根据△MOA的面积等于△AOB的面积列方程求出M点的横坐标，即可求出M点的坐标．
（1）
把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，得
，解得，
∴一次函数的表达式为：y=-x+5；
（2）
作A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B交y轴于P点，连接PA，此时PA+PB的值最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B，
设A′B的表达式为y=mx+n，则
，解得，
∴直线A′B的表达式为，
当x=0时，y=，
∴P(0， )，
且
，
∴PA+PB的最小值为；
（3）
由y=-x+5得C(5，0)，
∴S△AOB=S△AOC-S△BOC
，
设M(xM，yM)，
∵S△MOA=S△AOB，
，
∴，
∴或，
∴M(，0)或（，0），
∴存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积，且M点的坐标为(，0)或（，0）．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的表达式，求两条线段之和的最小值(即将军饮马)，两点之间距离公式，以及利用面积法求点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键．
27．（2022·浙江·八年级专题练习）已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．
（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．
（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．
【答案】（1）①50°；②105°或127.5°；（2）3．
【分析】（1）①由题意利用翻折变换的性质求出∠DEB，可得结论；
②根据题意分三种情形，利用翻折变换的性质分别求出∠DEB即可；
（2）根据题意连接CN，BN，过点N作直线l⊥AC，BT⊥CB于点T，作点C关于直线l的对称点Q，连接BQ．证明△DCM≌△NTD（AAS），推出CD＝NT＝3，推出点N在直线l上运动，由C，Q关于直线l对称，推出NC＝NQ，CQ＝2NT＝6，根据CN+BN＝NQ+BN≥BQ，求出BQ，可得结论．
【详解】解：（1）当∠B′EA＝20°时，
由翻折的性质可知，∠DEB＝∠DEB′＝ [360°﹣（180°﹣20°）]＝100°，
∴∠EDB＝180°﹣∠DEB﹣∠B＝180°﹣100°﹣30°＝50°；
（2）当HB′＝HE时，∠B′＝∠B＝∠AEB′＝30°，
∴∠DEB＝∠DEB＝ [360°﹣（180°﹣30°）]＝105°；
当B′H＝B′E时，∠AEB′＝∠B′HE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEB＝∠DEB′＝ [360°﹣（180°﹣75°）]＝127.5°，
当EB′＝HE时，∠AEB′＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠DEB＝∠DEB′＝ [360°﹣（180°﹣120°）]＝150°（舍弃），
综上所述，∠DEB为105°或127.5°；
（3）如图3中，连接CN，BN，过点N作直线l⊥AC，NT⊥CB于点T，作点C关于直线l的对称点Q，连接BQ．
∵∠DCM＝∠MDN＝∠DTN＝90°，
∴∠CDM+∠TDN＝90°，∠TDN+∠TND＝90°，
∴∠CDM＝∠DNT，
在△DCM和△NTD中，
，
∴△DCM≌△NTD（AAS），
∴CD＝NT＝3，
∴点N在直线l上运动，
∵C，Q关于直线l对称，
∴NC＝NQ，CQ＝2NT＝6，
∴CN+BN＝NQ+BN≥BQ，
∵BQ＝＝＝3，
∴CN+BN≥3，
∴CN+BN的最小值为3．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查翻折变换和三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质以及两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
28．（2022·江阴市敔山湾实验学校八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
【答案】（1）；（2），图和理由见解析
【分析】（1）作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．
【详解】解：（1）如图2所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′．由勾股定理得，BA′=BA===2，
∵是的中点，∴BE=BA=，
∵，，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，
∴PA+PE的最小值=A′E===．故答案为：；
（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=C′A=1，
∴CM+MN的最小值为C′N==．
【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．
29．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，连接，则的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任一点，连结，，，∵直线是点，的对称轴，点，在上，
（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小．
【归纳总结】
在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】
（2）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值．
解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点与关于直线对称，连结交于点，则的最小值就是线段的长度，则的最小值是__________．
（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_________．
（4）如图⑥，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，分别连接，，，则的最小值为____________．
【答案】（1），，；（2）；（3）17；（4）
【分析】（1）根据对称性即可求解；
（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED，则ED是的最小值；
（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；
（4）分析知：当与垂直时，值最小，再根据特殊角计算长度即可；
【详解】解：（1）根据对称性知：，
故答案为：，，；
（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED
∴ED是的最小值
又∵正方形的边长为4，E是AB中点
∴
∴的最小值是；
（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为 的长度：
∵
∴
∴
（4）∵在边长为2的菱形ABCD中，，将沿射线的方向平移，得到
∴
当与垂直时，值最小
∵
∴四边形是矩形，
∴
∴
【点睛】本题考查“将军饮马”知识迁移，掌握“将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是解题关键．
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专题07 将军饮马求最值 专项提升（精练）
一、选择题
1．（2022·广东深圳·八年级期中）如图，已知点A（1，-1），B（2，3），点P为x轴上一点，当|PA-PB|的值最大时，点P的坐标为（ ）
A．（-1，0） B．（，0） C．（，0） D．（1，0）
2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
3．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
4．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川眉山·初二期末）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( )
A．5 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
二、填空题
6．（2022·安徽·桐城实验中学八年级期末）已知在平面直角坐标系中，点A（－1，－2），点B（4，12），试在x轴上找一点P，使得｜PA－PB｜的值最大，求P点坐标为_________．
7．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．
8．（2022·浙江·临海市书生实验学校八年级开学考试）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．
9．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．
10．（2021·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
11．（2022·广东·九年级专题练习）已知点，，在x轴上的点C，使得最小，则点C的横坐标为_______．
12．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
13．（2022·山东济南·八年级期中）如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为____．
14．（2022·浙江·八年级）如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________.
15．（2022·重庆·八年级期末）如图，在中，以BC为底边在外作等腰，作的平分线分别交AB，BC于点F，E．若，，的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则周长的最小值为______．
16．（2022·福建省福州教育学院附属中学八年级期末）如图，在边长为的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接当的周长最小时，的度数是______．
17．（2022·广西·上思县教育科学研究所八年级期末）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．
18．（2022·安徽·合肥八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 ___．
19．（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______．
20．（2022·江苏南通·一模）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m＋2），点Q（n，0），点M（1，1），则PQ＋QM最小值为_________．
21．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．
三、解答题
22．（2022·山东威海·八年级期中）【源模：模型建立】
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐 李欣
诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距高和最短的一类问题．“将军饮马”问题的数学模型如图所示：
【新模1：模型应用】如图1，正方形的边长为，点在边上，且，为对角线上一动点，欲使周长最小．（1）在图中确定点的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）；（2）周长的最小值为______．
【新模2：模型变式】（3）如图2，在矩形中，，，在矩形内部有一动点，满足，则点到，两点的距离和的最小值为______．
【超模：模型拓广】（4）如图3，，，．请构造合理的数学模型，并借助模型求的最小值．
23．（2022·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.
(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；
(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
24．（2022·浙江·义乌市宾王中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
(1)求直线AB的解析式；
(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∠ECH＝90°，连接AE．
(1)如图1，若点E在CB延长线上，连接AH，且AH＝6，求AE的长；
(2)如图2，若点E在AC上，F为AE的中点，连接BF、BH，当BH＝2BF，∠EHB+∠HBF＝45°时，求证：AE＝CE；(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FH'∥BC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BE＝DE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CG＝AF，并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，△AED的面积为25，请直接写出GE+BH′的值．
26．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．
27．（2022·浙江·八年级专题练习）已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．
（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．
（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．
28．（2022·江阴市敔山湾实验学校八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
29．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，连接，则的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任一点，连结，，，∵直线是点，的对称轴，点，在上，
（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小．
【归纳总结】
在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】
（2）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值．
解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点与关于直线对称，连结交于点，则的最小值就是线段的长度，则的最小值是__________．
（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_________．
（4）如图⑥，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，分别连接，，，则的最小值为____________．
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