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专题08 几何背景下等腰、直角三角形中的分类讨论 专项提升（精讲）
高频考点1：等腰三角形中的分类讨论
【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1.无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
例1．（2022·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．
【答案】7
【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．
①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，
③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，
⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；
⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
变式1．（2022·保定市初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．
【解析】解：如图，，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣，0），P3（，0），
当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．
【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．
例2．（2022·福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作出图形，分类讨论，根据三角形全等的性质与判定即可求得点的坐标
【详解】解：如图，
当为直角顶点时，则,作轴，
又,同理可得
根据三线合一可得是的中点，则，综上所述，点C的坐标为
故答案为：
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
变式2．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，． (1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)A（0，6），B（8，0）；(2)AB=10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．
【分析】（1）由非负数的性质知OA=6，OB=8，据此可得点A和点B的坐标；（2）根据求解可得；（3）先设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得，再分PA=AB和AB=PB两种情况分别求解可得．
(1)
则A点的坐标为A（0，6），B点的坐标为（8，0）
(2)，
(3)存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形 设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得
①若PA=AB，则，即，解得a=8(舍)或a= 8，此时点P( 8，0)；
②若AB=PB，即，即解得a=18或a= 2，此时点P(18，0)或( 2，0)；
综上，存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，其坐标为( 8，0)或(18，0)或( 2，0)．
【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键
例3．（2022·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．
【答案】或或．
【分析】根据题意分类讨论，①，②，③，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．
【详解】解：①如图，当时，
是等腰直角三角形，
,，；
②如图，当时，过点作，交的延长线于点，
，，是等腰直角三角形，
，，
又，是等腰直角三角形，，
在中，，，
在中，，在中，；
③如图，当时，
，是等腰直角三角形， ，
在中，，在中，．
综上所述，的长为：或或．故答案为：或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
变式3．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在中，，，，若动点P从点B开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求CP的长．(2)出发几秒钟后，CP恰好平分的周长．(3)当t为何值时，为等腰三角形？
【答案】(1)PC =(2)出发3秒钟后，CP恰好平分△ABC的周长(3)t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形
【分析】（1）勾股定理求得的长，进而根据速度求得出发2秒后的长，中勾股定理求解即可；（2）由于CP恰好平分的周长，则P点不可能位于线段BC和AC上，即对P点在线段AB上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P在AB上时，若BP＝BC时，②当P在AC上时，若BP＝BC时，③当P在AC上时，若CB＝CP时，④当P在AB上时，若PC＝PB时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可
(1)由∠B＝90°，AC＝10，BC＝6， ∴AB＝8，
∵P从点B开始，按B→A→C→B，且速度为2，∴出发2秒后，则BP＝4，AP＝6，
∵∠B＝90°，∴在中，由勾股定理得PC＝ ；
(2)P点不可能位于线段BC和AC上，即对P点在线段AB上进行探究，
根据题意可得，6＋2t＝10＋8－2t ；解得t＝3 出发3秒钟后，CP恰好平分△ABC的周长
(3)①当P在AB上时，若BP＝BC时，得到2t＝6；则t＝3，
②当P在AC上时，若BP＝BC时，过点作，则
在中，在中，
即解得
③当P在AC上时，若CB＝CP时，即解得
④当P在AC上时，若PC＝PB时，得到2t＝6；则t＝6.5．
综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
例4．（2022·江西宜春·八年级期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为______．
【答案】或或
【分析】分两种情况：①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
【详解】①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，，∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，底角∠B=75°；
如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，AD在△ABC外部时，底角∠B==15°；
②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，，∴AD=BD=CD，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴底角∠B=45°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为或或．故答案为：或或．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
变式4．（2022·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．
【答案】7.5°或75°或97.5°或120°
【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．
【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，
∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，
①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，
∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，
∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，
∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；
如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，
∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，
∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；
②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，
∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；
③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°，
∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．
故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．
高频考点2：直角三角形中的分类讨论：
【解题技巧】
1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论。
2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）
例1．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，
，解得，m＝，∴点P的坐标为（，0）；
当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
变式1．（2022·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________．
【答案】45°或135°
【分析】分四种情况：若点D、E在线段BC上时；若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时；若点D在CB的延长线上点E在BC的延长线上时；若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时讨论，即可求解．
【详解】解：如图，若点D、E在线段BC上时，
∵AB=DB，AC=EC，∴∠BAD=∠ADB，∠CAE=∠AEC，
∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠C，∠CAD+∠DAE=∠BAE+∠B，
∴∠BAE+∠CAD+2∠DAE=∠CAD+∠BAE+∠B+∠C，∴2∠DAE=∠B+∠C，
∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠DAE=45°；
如图，若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时，
∵AC=EC，∴可设∠E=∠CAE =x，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2x，∵∠BAC=90°，∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x，
∵AB=DB，∴ ，∵∠ADB=∠DAE+∠E，∴∠DAE=45°；
如图，若点D在CB的延长线上，点E在BC的延长线上时，
∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE，
∵AB=DB，∴∠D=∠BAD，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD，
∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴2∠CAE+2∠BAD=90°，∴∠CAE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CAE+∠BAD+∠BAC=135°；如图，若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时，
∵AB=DB，∴可设∠D=∠BAD=y，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2y，∴∠ABC=2y，
∵∠BAC=90°，∴∠C=90°-2y，∵AC=EC，∴∠AEC=∠CAE= ，
∵∠AEC=∠D+∠DAE，∴∠DAE=45°综上所述，∠DAE的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
变式2．（2022 海州区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．
解：当∠APB＝90°时（如图1），∵AO＝BO，∴PO＝BO，
∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，
∵AB＝BC＝6，∴AP＝6×＝3；当∠ABP＝90°时（如图2），
∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP＝3，
在直角三角形ABP中，AP＝＝3；如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，
∵∠AOC＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP＝AO＝3，故答案为3或3或3．
例2．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_____s时，是等腰三角形；当___s时，是直角三角形．
【答案】 或5 4或10
【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．
【详解】解：如图，当时，是等腰三角形，
，，当时，，解得；
如图，当时，是等腰三角形，
，，当时，，解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，当时，，解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，当时，，解得：t=10．
故答案为：或5；4或10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
变式3．（2022·河北承德·八年级期末）如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动，形状在发生变化，设点P的运动时间为t秒．
（1）当是直角三角形时，t的值为_________；
（2）当是钝角三角形时，t满足的条件是____________．
【答案】 和6 或
【分析】（1）分两种情况讨论：当∠APB=90°时；当∠BAP=90°时，结合直角三角形的性质，即可求解；（2）由（1）得，当时，∠APB＞90°；当时，∠BAP＞90°，即可求解．
【详解】解：（1）如图，当∠APB=90°时，
∵，∴∠BAP=30°，∴AB=2BP，
∵，∴，此时；如图，当∠BAP=90°时，
∵，∴∠BPA=30°，∴BP=2AB=6，此时t=6；
综上所述，t的值为和6；故答案为：和6；
（2）由（1）得，当时，∠APB＞90°；当时，∠BAP＞90°；
∴当是钝角三角形时，t满足的条件是或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
变式4．（2022·浙江·诸暨市八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点 B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间 t是_______秒时，△ABC是直角三角形．
【答案】3或12
【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．
【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，
∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=，∴运动时间 t=秒，
当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，
∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=，∴运动时间 t=秒，
当运动时间 t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．
例3．（2022·河南·郑州三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
【答案】4或3
【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，∴AP=A′P，∴∠PAA′=∠AA′P，
∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，∴∠PCA′=∠PA′C，∴PC=PA′，∴PC=AC=4，
如图2，当∠ACA′=90°时，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．∴AB=10，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，∴A′B=AB=10，PA=PA′，∴A′C=4，
设PC=x，∴AP=8-x，∵A′C2+PC2=PA′2，∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，∴PC=3，
综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，故答案为：4或3．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
变式5．（2022·上海普陀·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于______．
【答案】12或
【分析】根据题意可知，需要分两种情况，，，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①当时，如图，
此时，四边形是正方形，则，
又是等腰直角三角形，，所以；
②当时，如图，
设，则，，由折叠可知，，
由题意可知，，，，
即是等腰直角三角形，，，
，，解得，
．故答案为：12或．
【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
例4．（2022 饶平县校级期中）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．
【答案】 （1）是 （2）BN＝8或10
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（18﹣x）2＝x2+36，
解得x＝8；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝36+（18﹣x）2，
解得x＝10，
综上所述，BN＝8或10．
变式6.（2022·广东广州·八年级阶段练习）在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图，在中，，，若过顶点的一条直线交于点，且，则直线是的关于点的二分割线．如图，已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线，则的度数为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论．
【详解】解：如图2所示：，
如图3所示：，
如图所示：，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“△ABC的关于点B的二分割线”是解题的关键
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专题08 几何背景下等腰、直角三角形中的分类讨论 专项提升（精讲）
高频考点1：等腰三角形中的分类讨论
【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1.无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
例1．（2022·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．
变式1．（2022·保定市初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例2．（2022·福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______．
变式2．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，． (1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．
例3．（2022·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．
变式3．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在中，，，，若动点P从点B开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求CP的长．(2)出发几秒钟后，CP恰好平分的周长．(3)当t为何值时，为等腰三角形？
例4．（2022·江西宜春·八年级期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为______．
变式4．（2022·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．
高频考点2：直角三角形中的分类讨论：
【解题技巧】
1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论。
2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）
例1．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
变式1．（2022·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________．
变式2．（2022 海州区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．
例2．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_____s时，是等腰三角形；当___s时，是直角三角形．
变式3．（2022·河北承德·八年级期末）如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动，形状在发生变化，设点P的运动时间为t秒．
（1）当是直角三角形时，t的值为_________；
（2）当是钝角三角形时，t满足的条件是____________．
变式4．（2022·浙江·诸暨市八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点 B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间 t是_______秒时，△ABC是直角三角形．
例3．（2022·河南·郑州三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
变式5．（2022·上海普陀·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于______．
例4．（2022 饶平县校级期中）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．
变式6.（2022·广东广州·八年级阶段练习）在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图，在中，，，若过顶点的一条直线交于点，且，则直线是的关于点的二分割线．如图，已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线，则的度数为______．
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