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专题08 几何背景下等腰、直角三角形中的分类讨论 专项提升（精练）
一、选择题
1.（2022 槐荫区期中）若Rt△ABC的两边a，b满足+（b﹣4）2＝0，则它的第三边c为（ ）
A．5 B． C． D．5或
【答案】 D
【解答】解：∵Rt△ABC的两边a，b满足+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0且b﹣4＝0．∴a＝3，b＝4．
当b为直角边时，由勾股定理知：c＝＝＝5，即c＝5；
当b为斜边时，由勾股定理知：c＝＝＝，即c＝；
综上所述，c为5或．故选：D．
2．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在中，，，．若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP，得出即可．
【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC＝8，AC＝6，
由勾股定理的：，
如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P1；
以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P2和P3；
作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P4；即共4个点，故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．
3．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【详解】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个．故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
4．（2022·河北·秦皇岛八年级期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得．
【详解】解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点．
则符合条件的点共有5个，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键．
5．（2022·北京九年级阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．
【详解】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点，如图所示：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴，∵，∴是等边三角形，
∴点重合，∴符合条件的点P有2个；故选B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6．（2022·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个．
【详解】解：分二种情况进行讨论：
当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；
当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．
∴符合条件的点一共4个．故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂．
二、填空题
7．（2022·辽宁抚顺·三模）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．
【答案】2或2或2
【分析】本题根据题意分三种情况进行分类求解，结合三角函数，等边三角形的性质即可解题.
【详解】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，∴；
当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴，
在直角三角形ABP中，，
如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为或或2．
【点睛】考点：勾股定理．
8.（2022 南昌期末）如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 ．
【答案】16或10或
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝cm，
∵△ABP为等腰三角形，
当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；
当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；
当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．
综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．
9.（2022 张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 ．
【答案】5或t＝8或t＝
【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；
①当AB＝BP时，如图1，t＝5；
②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
故答案为：5或t＝8或t＝．
10.（2022 齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 ．
【答案】 或
【解答】解：设直角三角形斜边上的高为h，当4是直角边时，斜边长＝＝5，
则×3×4＝×5×h，解得：h＝，
当4是斜边时，另一条直角边长＝＝，
则×3×＝×4×h，解得：h＝，
综上所述：直角三角形斜边上的高为或，故答案为：或．
11.（2022 南昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，则CD的长可以是 ．
【答案】 2或2或3
【解答】解（1）如图1所示，当∠ABD＝90°，AB＝BD时，作DE⊥BC，与CB的延长线交于点E，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠CAB＝∠DBE，
在△BED和△ACB中，，∴△BED≌△ACB（AAS），
∴BE＝AC＝4，DE＝BC＝2，∴CE＝2+4＝6，∴CD＝；
（2）如图2所示，当∠BAD＝90°，AB＝AD时，过点D作DE⊥CA，与CA的延长线交于点E，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠BAC+∠DAE＝90°，∴∠ABC＝∠DAE，
在△DEA和△ACB中，，∴△DEA≌△ACB（AAS），
∴DE＝AC＝4，AE＝BC＝2，∴CD＝；
（3）如图3所示，连接CD．当AD＝BD时，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥CB，与CB的延长线交于F，∵∠C＝∠DFC＝∠DEC＝90°，∴∠EDF＝90°，
∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），∴AE＝BF，DE＝DF，
∵DE⊥AC，DF⊥CF，∴∠DCE＝∠DCF＝45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，∴AC+BC＝AE+CE+CF﹣BF＝2CE．
∴CE＝3，∴CD＝3．综上所述，CD的长是2或3或2；
故答案为：2或3或2．
11．（2022·浙江·八年级课时练习）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．
【答案】7或17
【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．
【详解】解：当E在线段AD上时，连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，
∵∠AEF=90°，∴∠AEC=∠FEC==135°，∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，
∵∠AEF=90°，∴∠CEF=∠CEA=45°，
∴ED=CD=5，∴AE=AD+DE=17，故答案为：7或17．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
12．（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．
【答案】1或
【分析】根据题意分三种情形：①∠PCB′＝90°，②∠CPB′＝90°，进而利用勾股定理构建方程求解即可，③反证法证明的情形不成立．
【详解】解：①如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．
∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，
由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴PB＝．
②如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．
过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，
在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，解得y＝1或0（0舍弃），∴PB＝1，
③若，如图点C与C′是关于直线AP的对称点，连接
由题意可得
若，
根据对称性可得
,根据平行线之间的距离相等，
若，则到的距离等于4
而不平行假设不成立
综上所述，PB的值为：1或．
【点睛】本题考查翻折变换以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
13．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与A、不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为___________．
【答案】4或##或4
【分析】现根据已知条件得出，再根据BC=6，分别求出AB、AC、BD、AD、CD的长，然后分类讨论即可．
【详解】解：∵ABC中BD平分ABC，∴CBD=ABD，
∵BD=AD，∴ABD=BAD，∴CBD=ABD=BAD，
∵ACB=90°，∴CBD+ABD+BAD=90°，∴CBD=ABD=BAD=30°,
∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=，
∵，且BC=6，∴BD=2CD，
∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，
∴CD=， BD== AD；
（1）当BE=BD=时，如图：
（2）当BE=DE，如图：
∵BE=DE，∴EDB=ABD=30°，∴AED=EDB+ABD=60°，
∴ADE=180°-AED-A=180°-60°-30°=90°，∴ADE为直角三角形，
又∵且AD=，∴DE=4，∴BE=4；
（3）当BD=DE，时，点E与A重合，不符合题意；
综上所述，BE为4或．故答案为：4或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，30°直角三角形的性质的应用，按三种不同的情况进行讨论是解题的关键．
14．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，在中，，，，为斜边的中点，点是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为______．
【答案】或
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，进而根据勾股定理求出BC，分类两种情况讨论：①若与AB交于点F，连接，易得，即可得到，，从而得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解；②若与BC交于点G，连接，交EP于H，同理可得，，根据三角形中位线定理可得，此时点P与点C重合，进而可求解．
【详解】解：，为斜边AB的中点，
∴AB=8，，，
①若与AB交于点F，连接，如图1所示，
由折叠可得，，，
∵点E是AB的中点，∴，
由题意得，，，
，，
∴四边形是平行四边形，，
②若与BC交于点G，连接，交EP于H，如图2所示，
同理可得，，
，，，
∴点P与点C重合，∴，故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换，轴对称图形，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理等知识，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键．
15．（2022·浙江·诸暨八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点 B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间 t是_______秒时，△ABC是直角三角形．
【答案】3或12##12或3
【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．
【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，
∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=，
∴运动时间 t=秒，
当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，
∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，
∴AC=，∴运动时间 t=秒，
当运动时间 t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．
16．（2022·浙江·九年级课时练习）如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点P是边AD上的动点，沿直线PE将△APE对折，点A落在点F处. 已知AB=6，AD=4，连结CF、CE，当△CEF恰为直角三角形时，AP的长度等于___________.
【答案】或1
【分析】分∠CFE=90°和∠CEF=90°两种情况据矩形的性质、勾股定理、全等三角形判定及性质求解．
【详解】解：①如图，当∠CFE=90°时，
∵四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边AB的中点，AB=6，AD=4，
∴∠PAE=∠PFE=∠EBC= 90°，AE=EF=BE=3，
∴∠PFE+∠CFE =180°，∴P、F、C三点一线，∴△EFC≌△EBC，
∴FC=BC=4，EC==5，∠FEC=∠BEC，∴∠PEF+∠FEC =90°，
设AP=x，则PC=x+4，∴,解得x=；
②如图，当∠CEF=90°
∴∠CEB+2∠PEA =90°，∴∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，
延长PE、CB，二线交于点G，
∵AE=BE，∠PAE=∠GBE =90°，∠AEP=∠BEG，
∴△PAE≌△GBE，∴PA=BG，∠AEP=∠BEG，
∴∠G =90°-∠GEB= 90°-∠PEA，∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，
∴∠G =∠CEB+∠PEA=∠CEB+∠GEB=∠CEG，
∴CE=CBC+BG=BC+AP，∴5=4+AP，解得PA=1，
故答案为：或1．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
三、解答题
17.（2022 永春县期末）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．
（1）求AB的长；（2）若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
【答案】 （1）13 （2）t＝5s或20s或s或s时，△BCP为等腰三角形
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝13，
∴AB的长为13；
（2）当点P在AC上时，CP＝CB＝5，t＝5（s）；
当点P在AB上时，分三种情况：
①当BP＝BC＝5，如图1所示：
则AP＝13﹣5＝8，t＝12+8＝20（s）；
②当CP＝CB＝5时，
过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：
则BM＝PM＝BP，
∵AC BC＝AB CM，
∴CM＝＝＝，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM＝＝＝，
∴BP＝2BM＝，
∴AP＝13﹣＝，
∴t＝12+＝（s）；
③当PC＝PB时，如图3所示：
则∠B＝∠BCP，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴AP＝PB＝AB＝，
∴t＝12+＝（s）；
综上所述，当t＝5s或20s或s或s时，△BCP为等腰三角形
18.（2022 兰考县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【答案】 （1） 4cm （2）4s或s
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（cm）；
（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，如图1所示：点P与点C重合，∴BP＝BC＝4cm，∴t＝4；
②当∠BAP＝90°时，如图2所示：则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，
∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，解得：t＝；
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或s．
19.（2022 宽城区期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
【答案】 （1） M、N是线段AB的勾股分割点 （2）或．
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．
综上所述BN的长为或．
20．（2022 平顶山期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当t＝2秒时，求AD的长；
（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t的值．
【答案】 （1）21 （2）t的值是4.5或12.5
【解答】解：（1）由勾股定理得：AC＝＝＝25，
当t＝2秒时，CD＝2×2＝4，所以AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21；
（2）△CBD能为直角三角形，
理由是：分为两种情况：①∠BDC＝90°时，
∵S△ABC＝，
∴BD＝＝＝12，
由勾股定理得：CD＝＝＝9，所以t＝＝4.5，
②当∠CBD＝90°时，此时点D和A重合，
t＝＝12.5，∴t的值是4.5或12.5
21．（2022 梁园区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；②当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．
【答案】（1）6秒 （2）①2秒 ②或s （3）8秒
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+6＝2x，解得：x＝6，即当M、N运动6秒时，点N追上点M；
（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形∴t＝6﹣2t，解得t＝2，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．
②当点N在AB上运动时，如图2，若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得t＝；
如图3，若∠ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得t＝．
综上所述，当t为或s时，△AMN是直角三角形；
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图4，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，∴t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形
22．（2022·湖北荆州·八年级期中）如图，已知等边ABC的边长为8cm，点P以1cm/s的速度从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时以2cm/s的速度从顶点B沿BC向C点运动，其中一点到达终点时两点停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．（1）当时，试判断AQ与BC的位置关系，并说明理由；
（2）当t为何值时，PBQ是直角三角形？
【答案】（1）当t＝2时，AQ⊥BC，理由见解析；（2）当t的值为或4时，PBQ为直角三角形．
【分析】（1）当t＝2时，AP＝t＝2，BQ＝2t＝4，结合已知条件可得点Q为BC的中点，再根据等腰三角形的三线合一即可证得AQ⊥BC；（2）由题意知AP＝t，BQ＝2t，则PB＝8﹣t，然后分两种情况讨论即可：当∠PQB＝90°时，当∠BPQ＝90°时．
【详解】解：（1）当t＝2时，AQ⊥BC，理由如下：
由题意可得：当t＝2时，AP＝t＝2，BQ＝2t＝4，
∵等边ABC的边长为8，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，
∴CQ＝BC－BQ＝4＝BQ，∴点Q为BC的中点，
又∵AB＝AC，∴AQ⊥BC，∴当t＝2时，AQ⊥BC；
（2）由题意知AP＝t，BQ＝2t，则PB＝8﹣t，
当∠PQB＝90°时，∵∠ABC＝60°，∴∠BPQ＝90°－∠ABC＝30°，∴PB＝2BQ，
∴8﹣t＝2×2t，解得：t＝；
当∠BPQ＝90°时，∵∠ABC＝60°，∴∠BQP＝90°－∠ABC＝30°，∴BQ＝2BP，
∴2t＝2（8﹣t），解得：t＝4；
∴当t的值为或4时，PBQ为直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
23．（2022·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．
（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝ 秒；
②当△BPQ为直角三角形时，t＝ 秒．（直接写出结果）
【答案】（1）∠CMQ 理由见解析；（2）①2；②或
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ=60°；
（2）①由△BPQ为等边三角形，可得 再建立方程求解即可；②当△BPQ为直角三角形时，分两种情况讨论，当 而 则 当时，则 再利用含的直角三角形的性质列方程求解即可.
【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， ∴AP=BQ，
在△APC和△BQA中，
∴△APC≌△BQA（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°；
（2）① △BPQ为等边三角形，
由题意得： 解得：
所以当△BPQ为等边三角形时，则s
②当△BPQ为直角三角形时，
当 而 则 解得：
当时，则 解得：
综上：当s或s时，△BPQ为直角三角形.
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，掌握“利用图形的性质得到边与边之间的关系，再建立方程求解”是解题的关键.
24．（2022·广东中山·八年级期末）如图，中，厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）．
(1)当且为直角三角形时，求t的值；(2)当t为何值，为等边三角形．
【答案】(1)或(2)或
【分析】（1）据题意可知当时，点M在BC上，点N在AB上，根据为直角三角形，则或，分类讨论，根据含30度角的直角三角形的性质，列出一元一次方程，解方程求解即可；（2）点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则，分①时，②时两种情况，根据等边三角形的性质，列出一元一次方程，解方程求解即可；
(1)当，点M在BC上，点N在AB上，，，
为直角三角形，则或，
①当时，，，即，解得：．
②当时，，，即，解得：．
综上，或时，为直角三角形．
(2)点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则，
①在时，当时，为等边三角形
此时，，解得：．
②在时，为等边三角形，只能点M与点A重合，点N与点C重合，
此时，．
综上，或时，为等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
25．（2021秋 东海县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【答案】 （1） t＝8或 （2）16或10或
【解答】解：（1）当△ABC为直角三角时，（cm），
①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，BP＝BC＝8，∴t＝8，
②当∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6，
在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2，解得：t＝，综上所述，t＝8或；
（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝8（cm），
∵△ABP为等腰三角形，
当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；
当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；
当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝，∴t＝．
综上所述：t的值为16或10或．
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专题08 几何背景下等腰、直角三角形中的分类讨论 专项提升（精练）
一、选择题
1.（2022 槐荫区期中）若Rt△ABC的两边a，b满足+（b﹣4）2＝0，则它的第三边c为（ ）
A．5 B． C． D．5或
2．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在中，，，．若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
4．（2022·河北·秦皇岛八年级期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2022·北京九年级阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（2022·辽宁抚顺·三模）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．
8.（2022 南昌期末）如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 ．
9.（2022 张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 ．
10.（2022 齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 ．
11.（2022 南昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，则CD的长可以是 ．
11．（2022·浙江·八年级课时练习）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．
12．（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．
13．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与A、不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为___________．
14．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，在中，，，，为斜边的中点，点是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为______．
15．（2022·浙江·诸暨八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点 B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间 t是_______秒时，△ABC是直角三角形．
16．（2022·浙江·九年级课时练习）如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点P是边AD上的动点，沿直线PE将△APE对折，点A落在点F处. 已知AB=6，AD=4，连结CF、CE，当△CEF恰为直角三角形时，AP的长度等于___________.
三、解答题
17.（2022 永春县期末）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．
（1）求AB的长；（2）若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
18.（2022 兰考县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
19.（2022 宽城区期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
20．（2022 平顶山期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当t＝2秒时，求AD的长；
（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t的值．
21．（2022 梁园区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；②当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．
22．（2022·湖北荆州·八年级期中）如图，已知等边ABC的边长为8cm，点P以1cm/s的速度从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时以2cm/s的速度从顶点B沿BC向C点运动，其中一点到达终点时两点停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．（1）当时，试判断AQ与BC的位置关系，并说明理由；（2）当t为何值时，PBQ是直角三角形？
23．（2022·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．
（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝ 秒；
②当△BPQ为直角三角形时，t＝ 秒．（直接写出结果）
24．（2022·广东中山·八年级期末）如图，中，厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）．
(1)当且为直角三角形时，求t的值；(2)当t为何值，为等边三角形．
25．（2021秋 东海县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
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