2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质第2课时 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
3.2.2　双曲线的简单几何性质
第2课时　直线与双曲线的位置关系
1．进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与双曲线有关的综合问题．
2．掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力．
直线与双曲线的位置关系
一般地，设直线 ①
双曲线 ②
把①代入②得 .
(1)当 ，即 时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．
直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；
直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；
直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．
(2)当 ，即 时， ．
例1．直线 与双曲线 总有公共点，则m 的取值范围是(　　)
A． 或 　 B． 且
C． D．
解：联立 ，消去y，整理得 ，
若直线与双曲线总有公共点，则 恒成立，
即 ，解得 .
1.已知双曲线 ，直线 ，讨论满足下列条件的k的取值范围：
(1)直线与双曲线有两个公共点；
(2)直线与双曲线只有一个公共点；
(3)直线与双曲线没有公共点．
中点弦问题与点差法
例2.过点P(8，1)的直线与双曲线 相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程.
解析：法一：设所求直线的方程为
联立 ，得
化简得
设直线与双曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
∴ ，
∵P 为弦AB 的中点，
∴ ，
解得 ，
∴所求直线的方程为 .
方法二：设直线与双曲线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P 为弦AB 的中点，
∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.
又∵A，B在双曲线上，
∴ ， .
两式相减，得 ，
即 .
∴ ，
即 .
∴所求直线方程为 ，
即 .
　
(2)利用“点差法”即若双曲线方程为 ，直线与双曲线交于点 ，且弦AB的中点为 ，则
关于中点弦问题，一般采用两种方法解决
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决.
2.已知双曲线E 的中心为原点，F(3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A，B两点，且AB的中点为 ，则E的方程为(　　)
A. B.
C. D.
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵N 为弦AB 的中点，
∴x1＋x2＝-24，y1＋y2＝-30.
又∵A，B在双曲线上，
∴ ， .
两式相减，得 ，
即 .
整理得 ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴双曲线为 .
3.已知双曲线的方程为 ，是否存在被点B(1，1)平分的弦？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在请说明理由.
例3.如图，过双曲线 的右焦点 ，倾斜角为 的直线交双曲线于 两点，求 .
弦长问题
解：由题可知焦点分别为F1(-3，0)，F2(3，0).
因为直线AB 的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB 的方程为
联立 ，得
化简得 ∴ ，
∴
4.已知双曲线 ，直线l 过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
5.已知斜率为2的直线l 截双曲线 所得弦长为 ，求直线l 的方程.
1.双曲线的简单几何性质，利用性质求方程，解决与性质相关的综合性问题；
2.掌握直线与双曲线的位置关系及弦长公式.