2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2 抛物线的简单几何性质第2课时 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
3.3.2 　抛物线的简单几何性质
第2课时 直线与抛物线的位置关系
1.了解抛物线的几何性质，并会应用于实际问题之中；（重点）
2.会利用抛物线的定义、标准方程、几何性质及图形四者之间的内在联系分析和解决实际问题.（重点、难点）
x
y
O
直线与抛物线的位置关系
问题1：直线与抛物线有怎样的位置关系？
1.相离；2.相切；3.相交(一个交点，两个交点).
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行(重合)
相交(一个交点)
计 算 判 别 式
问题2：如何判断直线与抛物线的位置关系？
相交
相切
相离
△<0
△=0
△>0
例1.已知抛物线的方程为 ，直线l 过定点P(-2，1)，斜率为k. k为何值时，直线 l与抛物线 ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
分析：用解析法解决这个问题，只要讨论直线l 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系.
1.过点M(0，1)且和抛物线 仅有一个公共点的直线方程是_________________.
分析：由抛物线的焦点坐标，直线l 的斜率，可以求出直线l 的方程，与抛物线的方程联立，可以求出A，B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB｜.
例2. 斜率为1的直线 l经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
弦长问题
解：设 ， ，A，B到准线的距离分别为dA，dB，
由抛物线的定义可知 ,
于是
直线AB 的方程为 ①
把①代入方程 ，得
化简得
由
所以
已知抛物线 ，A、B是抛物线上两点，设 ，
，则
①若AB过抛物线的焦点，则有 ， ，故
②若AB不过抛物线的焦点，那么只能用弦长公式
2.已知过抛物线 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．
解析：弦所在直线经过焦点(1,0)，因为弦长为36，所以可判断直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可．
解析：　∵过焦点的弦长为36，
∴弦所在直线的斜率存在且不为零．
故可设弦所在直线斜率为k.
设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
∵抛物线 的焦点为F(1，0)，
∴直线的方程为 ．
联立 ．
整理可得
所以
∴
解得
故所求直线方程为 或
例3. 若点(3，1)是抛物线 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.
中点弦问题
解析：设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
作差整理得 ，
又因为 ，所以 ，
∴ ， .
关于中点弦问题，一般采用两种方法解决
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算，直线与抛物线联立时消y有时更简捷些，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解
(2)利用“点差法”即若抛物线方程为 ，直线与抛物线交于点 ，且弦AB的中点为 ，则
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决.
3.已知抛物线 ，过点Q(2，1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程．
解答 ：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，
则 ，两式相减，得
又∵ ，
∴
即
当AB斜率不存在时，AB中点为(2，0)，适合上式，
故所求轨迹为 .
1.直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离.
2.弦长问题
3.点差法