2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.2等差数列前n项和公式第二课时 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
等差数列的前n项和
的性质及应用
等差数列的前n项和公式:
形式1:
形式2:
复习回顾
S n与
之间的关系：
当n = 1时，
当n ≥ 2时，
1.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
则 Sn=An2+Bn
令
A
B
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
解法1
由S3=S11得
∴ d=－2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
7
n
11
3
Sn
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
解法2
由S3=S11得
d=－2<0
∴当n=7时,Sn取最大值49.
则Sn的图象如图所示
又S3=S11
所以图象的对称轴为
7
n
11
3
Sn
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
解法3
由S3=S11得
d=－2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
得
∴a7+a8=0
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
解法4
由S3=S11得
∴当n=7时,Sn取最大值49.
a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
又d=－2<0,a1=13>0
∴a7>0,a8<0
等差数列的前n项的最值问题
一、
例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.
解:(1)由已知得
a1+2d=12
12a1+6×11d>0
113a1+13×6d<0
a3=12,
S12>0,
S13<0.
(2) ∵
∴Sn图象的对称轴为
由(1)知
由上得
即
∴Sn有最大值.
Sn ＝a1 ＋ a2 ＋…＋an，
S2n－Sn＝an＋1 ＋an＋2 ＋…＋a2n，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n，
x
x
2x
3x
4x
(2)一个等差数列前n项和为25，前2n项和为100，求其前3n项的和．

解析：(1)由题意知
S4＝30，S8－S4＝80.
∵S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，
∴30、80、S12－S8成等差数列．
∴S12－S8＝130.
而S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12，
(2)Sn＝25，S2n＝100.设S3n＝x.
由于Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，
∴25,100－25，x－100成等差数列．
∴(x－100)＋25＝2(100－25)．
∴x－100＋25＝150.
∴x＝225，
∴S3n＝225.
S4
S8－S4
S12－S8
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
解得d＝－22.
若项数为2n，则
S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1
＝d＋d＋…＋d
＝nd，
S12＝354
S偶∶S奇＝32∶27
等差数列{an}前n项和的性质
性质2:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也是等差数列, 公差为
在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有
n2d
性质1: 为等差数列.
性质3:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则
（2)若项数为奇数2n－1,则
S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
此时有:S奇－S偶= ,
an
性质5:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=
－ (m+p)
性质6:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m=
0
性质4:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间项),
此时有:S偶－S奇= ,
nd