2022-2023学年北师大版九年级数学下册 2.2 二次函数的图象与性质 同步精品课件 (共62张PPT)

(共62张PPT)
北师大版九年级下册
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线.
2．会画二次函数y=x2与y=-x2的图象.（难点）
3．掌握二次函数y=x2与y=-x2的性质，并会灵活应用.（重点）
4.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.（难点）
5.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.（重点）
6.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系.
1、一次函数y=kx+b(k≠0)
x
y
o
b<0
b>0
b=0
x
y
o
b<0
b>0
b=0
导入新课
复习引入
你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
2、反比例函数
0
x
y
2.通常怎样画一个函数的图象？
列表、描点、连线
3.那么二次函数y=x2的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗？
我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数的图象呢？
探究
画二次函数 的图象
列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取0 和一些互为相反数的数，并且算出相应的函数值，列成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点. 如下图所示.
A
A′
B′
B
A
A′
B′
B
观察左图，点A和点A′，点B和点B′，…，它们有什么关系？取更多的点试试，你能得出函数y= x2的图象关于y 轴对称吗？观察左图，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？y轴右边的所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大的特点吗？
可以证明y= x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”.
A
A′
B′
B
连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来)，这样就得到了 的图象. 如上图所示.
观察下图，函数 的图象除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外，还有哪些性质？
观察
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取
值的增大而减小， 简称为“左降”；
当x=0时，函数值最小，最小值为0.
从下图中可以看出，二次函数 的图象是
一条曲线，它的开口向上，对称轴与图象的交点是原点(0，0)；
一般地，当a＞0时，y=ax2的图象都具有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤.
x 0 1 2 3 …
0 0.5 2 4.5 …
举
例
例1画二次函数 的图象.
因为二次函数 的图象关于y 轴对称，因此列表时，自变量x可以从原点的横坐标0开始取值.
解
列表：
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如下图所示：
●
●
●
●
利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，
并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连
接起来，这样就得到了 的图象.如下图所示：
●
●
●
●
●
●
●
探究
我们已经画出了 的图象，能不能从它得出二次函数 的图象呢？
在 的图象上任取一点 ，它关于 x轴的对称点Q的坐标是 ，如下图所示：
从点Q的坐标看出，点Q在 的图象上.
Q
由此可知， 的图象与 的图象关于x轴对称，因此只要把 的图象沿着x轴翻折并将图象“复印”下来，就得到 的图象. 如下图中的绿色曲线：
Q
对称轴是 ，
对称轴与图象的交点是 ；
图象的开口向 ，
y 轴
O(0，0)
下
观察下图，函数 的图像具有哪些性质？
从图中可以看出，二次函数 的图象是一条曲线，
观察
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ，简称为 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ，简称为 ；
当x= 时，函数值最 ，
减小
右降
增大
左升
0
大
0
最 值为 ．
大
当a＜0时，y=ax2的图象都具有上述性质.
于是今后画y=ax2(a＜0)的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
举
例
解 列表：
例2 画二次函数 的图象.
x 0 1 2 3 4
0 -1 -4
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.
利用对称性画出y轴左边的部分.
这样我们得到了 的图象.
说一说
如下图所示，在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y=ax2(a＜0)的图象相像吗？
以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2(a＜0)的图象的一段. 由此受到启发，我们把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线 y=ax2.
一般地，二次函数y=ax2的图象关于y轴对称.
抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点.
y＝x2 y＝－x2
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
要点归纳
y
O
x
y
O
x
例1 若点A(-3,y1),B(-2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________.
典例精析
y2＞y1
例1变式 若点A(-1,y1),B(2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________.
y1＞y2
例2：已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
二次函数y=ax2的图象与性质
一
讲授新课
合作探究
画出函数 的图象.
列表.
x ··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 ···
··· ···
4.5
2
0.5
0
4.5
2
0.5
描点，连线.
－2
2
2
4
6
4
－4
8
观察思考
问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？
二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
问题2 图象的对称轴是什么？
y轴就是它的对称轴.
－2
2
2
4
6
4
－4
8
问题3 图象的顶点坐标是什么？
原点 (0,0).
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
－2
2
2
4
6
4
－4
8
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
问题5 当x<0时，随着x值的增大，
y值如何变化？当x>0时呢？
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
要点归纳
y
O
x
y
O
x
顶点坐标是原点（0，0）
3.函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;顶点是抛物线的最____点.
2.函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是_____ 顶点是抛物线的最____点
1.函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
4.函数y= －0.2x2的图象的开口 ,
对称轴是_ __,顶点是 ;
向上
y轴
(0,0)
向下
y轴
(0,0)
高
低
练一练
5.关于二次函数y＝2x2，下列说法正确的是(　)
A．它的开口方向是向下
B．当x<0时，y随x的增大而减小
C．它的对称轴是x＝2
D．当x＝0时，y有最大值是0
B
例1 若点(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=-3x2图象上的两点，且x1＞x2＞0，那么y1与y2的大小关系是_____________.
典例精析
y2＞y1
例2 已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= .
分析： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.
又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.
因此，
解得 k=2
2
－2
2
2
4
6
4
－4
8
当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
合作探究
问题 在同一直角坐标系中画出二次函数
的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
问题 在同一直角坐标系中，画出函数
的图象如图所示，观察其开口大小与a的绝对值
有什么关系？
要点归纳
在二次函数y=ax2中，a的绝对值越大，开口越小.
把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号）
（1）y=3x2的图象是_______；
（2）y= x2的图象是_______；
（3）y=-x2的图象是_______；
（4）y= x2的图象是_______．
针对训练
③
①
④
②
二次函数y=ax2+c的图象与性质
二
合作探究
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ···
y =2 x2＋1 ··· ···
y = 2x2－1 ··· ···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
再描点，连线
4
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
要点归纳
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
练一练
D
4
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
问题 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y =2 x2
y =2 x2＋1
y = 2x2－1
二次函数
开口方向
顶点
坐标
对称
轴
向上
向上
(0,1)
(0,-1)
y轴
y轴
向上
(0,0)
y轴
合作探究
问题 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的增减性又如何？
4
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
当x=0时，y最小值=0
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
二次函数 y=ax2+c的性质
y=ax2+c a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
要点归纳
向上
向下
直线x=0
直线x=0
（0,c）
当x=0时，y最小值=c
当x=0时，y最大值=c
当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
（0,c）
想一想
1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？
2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标.
对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c).
例3：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ，
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)；
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ，
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)．
当堂练习
1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物
线 ．　　
2.填表：
y = 2x2－４
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = ３x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
在
=2
>2
<2
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
6.在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则y1与y2的大小关系是__________.
y1＞y2
7.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为(　　)
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
D
8.已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
课堂小结
二次函数y=x2和y=－x2图象与性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
c决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
c正向上；
c负向下.