北师大版九年级下册3.2 圆的对称性课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
3.2 圆的对称性
北师大版九年级下册
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讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点）
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点）
学习目标
通过上面的观察，我们发现轴对称图形通过翻折能完全重合，那么圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴呢？
轴对称图形
轴对称图形
对称轴
对称轴
a
m
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观察与思考
讲授新课
圆的对称性
一
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
问题2 你是怎么得出结论的？
圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法
●O
探究归纳
.
O
A
B
180°
问题3 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
探究归纳
圆的对称性： 圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
问题4 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
·
探究归纳
圆的中心对称性
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，
还能与原来的图形重合吗？
结论1：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角
度，都能与原来的图形重合，我们把
圆的这个特性称之为圆的旋转不变性.
结论2：圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
观察：
结论：我们可以通过折叠的方法得到圆是轴
对称图形，经过圆心的一条直线是圆
的对称轴，圆的对称轴有无数条.
圆的对称性
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线，它有无数条对称轴.
●O
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
注意：
对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；
1.利用一个圆及其若干条弦分别设
计出符合下列条件的图案：
（1）是轴对称图形但不是中心对称图形；
（2）是中心对称图形但不是轴对称图形；
（3）既是轴对称图形又是中心对称图形.
第（1）问图
第（2）问图
第（3）问图
2.下述命题是否正确？为什么？
圆只有一条对称轴.
有无数条对称轴任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
错
做一做：
1.圆：平面上到____________等于______
的所有点组成的图形叫做圆，其中______为
圆心，定长为________.
2.弧：圆上_________________叫做圆弧，简称
弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条
弧，每一条弧都叫做圆的半径.
___________称为优弧，___________称为劣弧.
3._______________叫做等圆，
_____________________________叫做等弧.
定点的距离
定长
定点
半径
任意两点之间的部分
弦
大于半圆的弧
小于半圆的弧
能够重合的两个圆
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
⌒
⌒
C
·
O
A
B
D
圆心角、弧、弦之间的关系
二
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， ，弦AB=弦CD
归纳
O ′
·
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·
C
D
在等圆中探究
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
归纳
⌒
⌒
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
要点归纳
×
×
√
抢答题
1.等弦所对的弧相等. （ ）
2.等弧所对的弦相等. （ ）
3.圆心角相等，所对的弦相等. ( )
关系定理及推论的运用
三
典例精析
例1 如图，AB，DE是⊙O 的直径，C是⊙O 上的一点，
且AD=CE.BE和CE的大小有什么关系？为什么？
·
E
B
C
O
A
D
解:BE=CE.理由是：
∵∠AOD=∠BOE，
∴AD=BE.
又∵AD=CE，
∴BE=CE.
∴BE=CE.
⌒ ⌒
⌒ ⌒
⌒ ⌒
⌒ ⌒
解：
∵
例2 如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
·
A
O
B
C
D
E
证明：
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例3 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
·
A
B
C
O
⌒ ⌒
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
∵AB=CD，
⌒ ⌒
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么_________，____________．
（2）如果 ，那么_________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB= ∠COD
∠AOB= ∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
针对训练
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF.
理由如下：
·
C
A
B
D
E
F
O
1　已知⊙O的半径为4cm，如果点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？如果点P到圆心O的距离为4cm、3cm呢？
如何判断点与圆的位置关系？
只需要比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系.
解：
设⊙O的半径为rcm，点P到圆心O的距离为dcm．
由题意得，r＝4cm．
当d＝4.5cm时， ∵ d＞r，∴点P在⊙O外．
当d＝4cm时， ∵ d＝r，∴点P在⊙O上．
当d＝3cm时， ∵ d＜r，∴点P在⊙O内．
知识运用
如图，已知点A，请作出到点A的距离等于2cm的点的集合．
（1）这个圆的外部是满足什么条件的点的集合？
（2）请用阴影表示出到点A的距离小于或等于2cm的点的集合．
A
知识运用
已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点 B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．
解题的依据：
　　要说明几点在同一个圆上，即说明这几个点到定点（圆心）的距离等于定长（半径）．
　　到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．
巩固练习
∴点B、C、D、E在以点M为圆心，
为半径的圆上．
解：
连接MD、ME．
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°．
在Rt△BEC中，M为BC的中点，
同理，
∴MB＝ME＝MD＝MC，
又∵
已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．
试说明点 B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．
练习：
E
E
例3：
在⊙O中， AC=BD，则AB与CD相等吗？为什么？
1.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：
(3)即是轴对称图形又是中心对称图形.
(2)是中心对称图形但不是轴对称图形；
(1)是轴对称图形但不是中心对称图形；
∴∠AOC=∠BOC=60°，
2.已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120 ° ，C是AB的中点，试确定四边形OACB的形状.
B
A
O
C
解：四边形OACB是菱形.
理由是：连接OC，
则有OA=OB=OC.
∵C是AB的中点，
∴AC=BC.
又∵∠AOB=120°，
∴△AOC与△BOC都是等边三角形.
∴OA=OB=AC=BC.
∴四边形OACB是菱形.
解：这两段弧的度数相等，但不能说这两段弧相等，因为这两个圆的半径不相等，所以90°的弧的弧长不相等.
任意画两个半径不相等的圆，然后在每一个圆上任意取一段90°的弧.这两段弧的度数相等吗？能说这两段弧相等吗？为什么？
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
课堂小结
圆
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.