15.4 角的平分线 (2) 教学课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
15.4角的平分线 (2)
沪科版 八年级上册
掌握角平分线的性质和判定定理.
教学重点:
教学难点:
教学目标:
会应用角平分线的性质和判定定理解题.
应用角平分线的性质和判定定理解题.
点到直线距离:
从直线外一点
到这条直线的垂线段
的长度，
叫做点到直线的距离.
O
P
A
B
线段PO就是点P到直线AB的距离.
复习旧知
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
D
P
E
B
A
O
C
角的平分线上的点到角的两边的距离.
P1
P2
PD与PE的数量关系
探究新知
证明几何命题的一般步骤：
1.明确命题的已知和求证;
2.根据题意，画出图形，并用数学符号
表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，
写出证明过程.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
命题
∠AOC=∠BOC，
求证：PD=PE.
D
P
E
A
O
B
C
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
命题
PD=PE
△PDO≌△ PEO
∠PDO=∠PEO=90°
PD⊥OA，PE⊥OB
要证
已知：
如图，
点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别是D，E.
已知：如图，∠AOC=∠BOC的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.
求证：PD=PE.
证明：
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE
∠PDO= ∠PEO
∴ △PDO≌△ PEO
D
P
E
A
O
B
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
(全等三角形的对应边相等).
(AAS).
∠ AOC=∠BOC
OP=OP
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA， PE⊥OB ，
∴ PD= PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质：
O
D
E
P
A
C
B
定理的作用：
证明线段相等.
不用再证全等
①∵如图，AD平分∠BAC (已知)，
( )
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
∴BD= CD.
C
A
D
B
应用角平分线的性质证明线段相等
要注意条件的完整性.
②∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB (已知)
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
∴BD= CD.
( )
C
A
D
B
M
×
×
1.如图， 点P在∠MON的平分线上，点P到
ON的距离等于10，点Q是射线OM的一个动点.
下列选项正确的是( ).
A.PQ＜10 B.PQ＞10
C.PQ≤10 D.PQ≥10
P
O
M
Q
N
D
练习巩固
2 .如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平
分线BD交AC于点D.若AC=8cm，AD=5cm，则
点D到AB边的距离是　 cm.
3
A
B
C
D
3.如图，已知点P是∠AOB的平分线OC上的一点，
PE⊥OA，垂足是E， PD∥OA，交OB于点D.
若OD=10cm，则PE= cm .
5
O
P
B
A
D
C
E
反过来，到一个角的两边的距离相等的点
是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图， PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD=PE．
D
B
A
O
P
E
求证：点P在∠AOB的平分线上.
到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
探究新知
命题
已知：如图， PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD=PE．求证：点P在∠AOB的平分线上.
B
A
D
O
P
E
连接OP，
证明:
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
在Rt△PDO和Rt△PEO中,
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO
∴ ∠ POD=∠POE.
∴OP是∠AOB的平分线，
∴ ∠PDO=∠PEO=90°.
PO=PO
(HL).
∴点P在∠AOB的平分线上.
P到OA的距离
P到OB的距离
点在角平分线上
几何语言：
∵ PD⊥OA， PE⊥OB ，
∴ OC平分∠AOB.
到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
角平分线的判定：
O
D
E
P
A
C
B
定理的作用：
证明角相等.
不用再证全等
PD= PE，
角的平分线的性质
图形
已知
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
认识新知
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理，PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
过点P作PD⊥AB于D，
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
D
P
M
N
A
B
C
F
E
证明：
PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F.
例题解析
1.如图，已知DB⊥AE，DC⊥AF，垂足分别是B，
C.DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，
则∠DGF的度数是 .
E
F
B
A
D
C
G
150°
学以致用
2.如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
E
P
B
A
D
C
∵BD是∠ABC的外角平分线，点P在BD上，
∴PF=PM.
同理，PM=PN.
∴PF=PM=PN.
即点P到三边AB、BC、
CA的距离相等.
过点P作PF⊥AB于F，
证明：
PM⊥BC于M，
PN⊥AC于N.
F
M
N
课堂小结
1.角平分线的性质定理的内容是什么？
它可以用来解决哪类几何问题？
2.角平分线的判定定理的内容是什么？
它可以用来解决哪类几何问题？
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 观察图中
尺规作图的痕迹，若CG=2， P为AB上一动点，
则GP的最小值为( ).
A
B
C
D
E
G
P
F
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
C
巩固提高
2.如图，已知点D是∠AOB的平分线上的一点，
DC⊥OB，垂足是C， DE∥OB，交OA于点E.
若∠ AOB=30°，DC=5cm，则OE= cm .
10
O
B
A
D
C
E
今天作业
课本P146页第1、2题.
谢谢
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