三角函数章节测试题（含解析）
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文档简介
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数学
三角函数章节测试题
考试范围：三角函数；考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．若在是减函数，则的最大值是
A． B． C． D．
2．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
3．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在区间上单调，且，，则的最大值为
A．7 B．9 C．11 D．13
7．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，、、，且都有，满足的实数有且只有个，给出下述四个结论：
①满足题目条件的实数有且只有个；②满足题目条件的实数有且只有个；
③在上单调递增；④的取值范围是．
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
二、选择题：本题共四个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．
C．当时，在上有4个极值点
D．若在上单调递增，则的最大值为5
10．已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的一个周期是
C．的最小值是 D．在区间是减函数
11．如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为12 B．
C．的最大值为 D．在区间上单调递增
12．已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( )
A．
B．若，则函数的最小正周期为；
C．关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每个小题5分，共20分。
13．函数（）的最大值是__________．
14．函数的定义域为_____________.
15．已知函数，有以下结论：
①的图象关于直线轴对称②在区间上单调递减
③的一个对称中心是④的最大值为
则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.
16．函数在上的所有零点之和等于______.
四、解答题：本题共6个小题，共70分。
17． 在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
18．函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图像.
（1）当时，求的值域
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值
19．习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展．以下是近几年我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：
年份 2013 2014 2015 2016 2017
年份代码
新能源乘用车年销量（万辆）
（1）请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程类型 (给出判断即可，不必说明理由)
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测年我国新能源乘用车的销售量(精确到).
附: 1.最小二乘法估计公式：
其中
20．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.
(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
21．现给出三个条件：①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③函数的图象上相邻两个最高点的距离为.从中选出两个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题.
已知函数（，），_____，_____.求函数在区间上的最大值和最小值.
22．已知数列中的相邻两项，是关于的方程的两个根，且
（1）求，，，；
（2）求数列的前项和；
（3）记，，求的最值．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【详解】因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，故选：A.
2．C
【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
3．A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
4．B
【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.
【详解】令，则
令，则
则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.
作出和的图像，观察交点个数，
可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，
由题意列不等式的：
解得：.
故选：B
【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.
5．D
【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】因为，所以.由，得.
当时，，又，则.
因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.
故选：D.
6．B
【分析】根据函数在区间上单调，得，解得，又由，则，得到解得，代入验证，即可求解．
【详解】由题意，函数在区间上单调，
则，解得，所，即，
又由，则，即，
解得，
当时，此时，则，
又由，即，解得，即，
此时函数在区间上不单调，不满足题意.
当当时，此时，则，
又由，即，解得，即，
此时函数在区间上是单调函数，满足题意，
所以的最大值为，故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理列出关于周期的不等关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．
7．A
【解析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知：或
∴或
∴或
∵在上单调递减，∴
∴
①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知
此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.
8．D
【分析】设，由，得出，由题意得出为函数的最小值，为函数的最大值，作出函数的图象，结合图象得出，进而对各结论进行验证.
【详解】，当时，.
设进行替换，作出函数的图象如下图所示：
由于函数在上满足的实数有且只有个，
即函数在上有且只有个零点，
由图象可知，解得，结论④正确；
由图象知，在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；
当时，，
由知，所以在上递增，
则函数在上单调递增，结论③正确．综上，正确的有①③④.故选D．
【点睛】本题考查余弦型函数的零点、最值点以及单调性有关命题的判断，解题时要充分计算出对象角的取值范围，并作出图象进行验证，考查推理能力，属于难题.
9．BCD
【分析】利用题目已知条件，求出，再结合三角函数的性质即可得出答案.
【详解】∵
∴，且，
∴，即为奇数，
∴为偶函数，故A错.
由上得：为奇数，∴，故B对.
由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C对，
∵在上单调，所以,解得：，又∵，
∴的最大值为5，故D对
故选：BCD.
【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间,属于难题.
10．BD
【分析】根据正弦函数与余弦函数的性质，对选项逐一判断，即可得到答案．
【详解】对于A，，故选项A错误；
对于B，，故选项B正确；
对于C，若f(x)最小值为－2，则此时﹒∵－1≤cosx≤1，∴，也即，故选项C错误；
对于D，在上是减函数，且，，，
∴在区间上是减函数，
在区间上是增函数，且，，，
∴在区间上是减函数，故选项D正确．
故选：BD．
11．ACD
【分析】由题意可得：，，可得，，，的坐标，根据，可得方程，进而解出，，．判断出结论．
【详解】由题意可得：，，，
，，，，，
，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不对，，，解得，函数，可知正确.
时，，可得：函数在单调递增.
综上可得：ACD正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.
12．ABD
【分析】A：在上单调，，，故；
B：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据知是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出ω，从而求出其周期；
C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；
D：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.
【详解】A，∵，∴在上单调，又，，∴，故A正确；
B，区间右端点关于的对称点为，∵，f(x)在上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴为的最小正周期，即3，又，∴.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，故k＝0，，故B正确.
C，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误.
D，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，结合，得，又，∴的取值范围为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.
13．1
【详解】化简三角函数的解析式，
可得
，
由，可得，
当时，函数取得最大值1．
14．
【详解】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得，解之可得，，时，不等式解集为 ，故的定义域为，故答案为.
15．②④
【分析】根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.
【详解】，
根据图像知：
①的图象关于直线轴对称，错误
②在区间上单调递减，正确
③的一个对称中心是 ，错误
④的最大值为，正确
故答案为②④
【点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.
16．8
【详解】分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和．
详解：零点即 ，所以
即，画出函数图像如图所示
函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点
图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为8
点睛：本题考查了函数的综合应用，根据解析式画出函数图像，属于难题．
17．(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因为，得到，.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
从而，.
故.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理 余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
18．（1）（2）
【分析】（1）根据图象的最低点求得的值，根据四分之一周期求得的值，根据点求得的值，由此求得函数的解析式，进而根据图象平移变换求得的解析式，并由此求得时的值域.（2）先求得的值域，由此求得的值域.令对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此求得的最大值.
【详解】（1）根据图象可知
代入得，，
把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数
，
设，则，
此时，
所以值域为.
（2）由（1）可知
对任意都有恒成立
令，
，是关于的二次函数，开口向上
则恒成立
而的最大值，在或时取到最大值
则，，
解得
所以，则的最大值为.
【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19．(1) 更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程.
(2) ；预测年我国新能源乘用车的销售量为万辆.
【分析】根据题中所给的散点图，从而可以判断出其应该落在某条抛物线的附近，而不是某个带状区域，从而正确选择回归类型，之后借助于题中所给的有效数据，将回归方程中有关系数求出，然后将相应的量代入，求得结果.
【详解】（1）根据散点图，更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程；
（2）依题意，，
，
，
，
令，，预测2018年我国新能源乘用车的销售量为79.7万辆.
20．（1），； （2）或时，L取得最大值为米．.
【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．
所以当时，即 或 时，L取得最大值为米．
【详解】由题意可得，，，由于 ，，
所以，，
，
即，
设，则，由于，
由于在上是单调减函数，
当时，即或时，L取得最大值为米．
【点睛】三角函数值域得不同求法：
1.利用和的值域直接求
2.把所有的三角函数式变换成 的形式求值域
3.通过换元，转化成其他类型函数求值域
21．见解析
【分析】方案①③与②③，都有周期可求得，再由型函数的对称轴与对称中心求得，即可表示解析式，最后由三角函数的性质求得指定区间的最值；方案①②中，由对称轴与对称中心可构建方程组，分别表示与，利用分类讨论和时的情况，其中若T小于所求区间范围的区间长度，则最值由振幅确定，反之则可由性质求值域.
【详解】方案一：选①③.由已知，函数的最小正周期，
所以，，所以.
令，得，.
所以的对称轴方程为，.
令，，由，得.
综上，.
因为，所以.
所以当或，即或时，；
当，即时，.
方案二：选②③.由已知，函数的最小正周期，
所以，，所以.
所以，于是，.
由，得.
综上，.
因为，所以.
所以当，即时，；
当，即时，.
方案三：选①②.由已知可知其中一个对称轴与对称中心，
则，解得
因为，则，即或0
当时，
因为，则
当时，，则
又因为区间的区间长度为，所以函数在区间上的最大值为和最小值为，显然时也成立，
当时，
因为，则
当时，，则
此时函数，则其在区间上有，即，故最大值为，最小值为，
当时，，则，所以函数在区间上的最大值为和最小值为，显然时也成立
综上所述，函数和函数在区间上的最大值为和最小值为；函数在区间上最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，还考查了求指定区间的最值，属于难题.
22．（1）； ； ；； （2）； （3）最小值；最大值.
【分析】（1）解出方程，分类讨论当时方程的根，的情况即可得解；
（2）利用分组求和的方法即可求解数列的前项和；
（3）根据代数式关系得的规律，求出，，结合放缩法证明不等式.
【详解】（1）方程的两个根为：，．
两项，是此方程的两个根，且，
当时，，．；
当时，，．；
当时，，．；
当时，，．．
（2）
．
（3）由题：，
，
，
，
，．
当时，
，
同理可得：
综上可得：．
的最小值与最大值分别为：；．
【点睛】此题考查根据二次方程的根分析数列的通项，根据条件求特定的项和分组求和以及等比数列求和，利用放缩法证明不等式，在学习中有必要积累常见的数列放缩方式.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
数学
三角函数章节测试题
考试范围：三角函数；考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．若在是减函数，则的最大值是
A． B． C． D．
2．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
3．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在区间上单调，且，，则的最大值为
A．7 B．9 C．11 D．13
7．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，、、，且都有，满足的实数有且只有个，给出下述四个结论：
①满足题目条件的实数有且只有个；②满足题目条件的实数有且只有个；
③在上单调递增；④的取值范围是．
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
二、选择题：本题共四个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．
C．当时，在上有4个极值点
D．若在上单调递增，则的最大值为5
10．已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的一个周期是
C．的最小值是 D．在区间是减函数
11．如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为12 B．
C．的最大值为 D．在区间上单调递增
12．已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( )
A．
B．若，则函数的最小正周期为；
C．关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每个小题5分，共20分。
13．函数（）的最大值是__________．
14．函数的定义域为_____________.
15．已知函数，有以下结论：
①的图象关于直线轴对称②在区间上单调递减
③的一个对称中心是④的最大值为
则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.
16．函数在上的所有零点之和等于______.
四、解答题：本题共6个小题，共70分。
17． 在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
18．函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图像.
（1）当时，求的值域
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值
19．习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展．以下是近几年我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：
年份 2013 2014 2015 2016 2017
年份代码
新能源乘用车年销量（万辆）
（1）请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程类型 (给出判断即可，不必说明理由)
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测年我国新能源乘用车的销售量(精确到).
附: 1.最小二乘法估计公式：
其中
20．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.
(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
21．现给出三个条件：①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③函数的图象上相邻两个最高点的距离为.从中选出两个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题.
已知函数（，），_____，_____.求函数在区间上的最大值和最小值.
22．已知数列中的相邻两项，是关于的方程的两个根，且
（1）求，，，；
（2）求数列的前项和；
（3）记，，求的最值．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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参考答案：
1．A
【详解】因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，故选：A.
2．C
【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
3．A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
4．B
【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.
【详解】令，则
令，则
则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.
作出和的图像，观察交点个数，
可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，
由题意列不等式的：
解得：.
故选：B
【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.
5．D
【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】因为，所以.由，得.
当时，，又，则.
因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.
故选：D.
6．B
【分析】根据函数在区间上单调，得，解得，又由，则，得到解得，代入验证，即可求解．
【详解】由题意，函数在区间上单调，
则，解得，所，即，
又由，则，即，
解得，
当时，此时，则，
又由，即，解得，即，
此时函数在区间上不单调，不满足题意.
当当时，此时，则，
又由，即，解得，即，
此时函数在区间上是单调函数，满足题意，
所以的最大值为，故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理列出关于周期的不等关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．
7．A
【解析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知：或
∴或
∴或
∵在上单调递减，∴
∴
①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知
此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.
8．D
【分析】设，由，得出，由题意得出为函数的最小值，为函数的最大值，作出函数的图象，结合图象得出，进而对各结论进行验证.
【详解】，当时，.
设进行替换，作出函数的图象如下图所示：
由于函数在上满足的实数有且只有个，
即函数在上有且只有个零点，
由图象可知，解得，结论④正确；
由图象知，在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；
当时，，
由知，所以在上递增，
则函数在上单调递增，结论③正确．综上，正确的有①③④.故选D．
【点睛】本题考查余弦型函数的零点、最值点以及单调性有关命题的判断，解题时要充分计算出对象角的取值范围，并作出图象进行验证，考查推理能力，属于难题.
9．BCD
【分析】利用题目已知条件，求出，再结合三角函数的性质即可得出答案.
【详解】∵
∴，且，
∴，即为奇数，
∴为偶函数，故A错.
由上得：为奇数，∴，故B对.
由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C对，
∵在上单调，所以,解得：，又∵，
∴的最大值为5，故D对
故选：BCD.
【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间,属于难题.
10．BD
【分析】根据正弦函数与余弦函数的性质，对选项逐一判断，即可得到答案．
【详解】对于A，，故选项A错误；
对于B，，故选项B正确；
对于C，若f(x)最小值为－2，则此时﹒∵－1≤cosx≤1，∴，也即，故选项C错误；
对于D，在上是减函数，且，，，
∴在区间上是减函数，
在区间上是增函数，且，，，
∴在区间上是减函数，故选项D正确．
故选：BD．
11．ACD
【分析】由题意可得：，，可得，，，的坐标，根据，可得方程，进而解出，，．判断出结论．
【详解】由题意可得：，，，
，，，，，
，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不对，，，解得，函数，可知正确.
时，，可得：函数在单调递增.
综上可得：ACD正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.
12．ABD
【分析】A：在上单调，，，故；
B：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据知是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出ω，从而求出其周期；
C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；
D：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.
【详解】A，∵，∴在上单调，又，，∴，故A正确；
B，区间右端点关于的对称点为，∵，f(x)在上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴为的最小正周期，即3，又，∴.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，故k＝0，，故B正确.
C，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误.
D，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，结合，得，又，∴的取值范围为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.
13．1
【详解】化简三角函数的解析式，
可得
，
由，可得，
当时，函数取得最大值1．
14．
【详解】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得，解之可得，，时，不等式解集为 ，故的定义域为，故答案为.
15．②④
【分析】根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.
【详解】，
根据图像知：
①的图象关于直线轴对称，错误
②在区间上单调递减，正确
③的一个对称中心是 ，错误
④的最大值为，正确
故答案为②④
【点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.
16．8
【详解】分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和．
详解：零点即 ，所以
即，画出函数图像如图所示
函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点
图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为8
点睛：本题考查了函数的综合应用，根据解析式画出函数图像，属于难题．
17．(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因为，得到，.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
从而，.
故.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理 余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
18．（1）（2）
【分析】（1）根据图象的最低点求得的值，根据四分之一周期求得的值，根据点求得的值，由此求得函数的解析式，进而根据图象平移变换求得的解析式，并由此求得时的值域.（2）先求得的值域，由此求得的值域.令对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此求得的最大值.
【详解】（1）根据图象可知
代入得，，
把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数
，
设，则，
此时，
所以值域为.
（2）由（1）可知
对任意都有恒成立
令，
，是关于的二次函数，开口向上
则恒成立
而的最大值，在或时取到最大值
则，，
解得
所以，则的最大值为.
【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19．(1) 更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程.
(2) ；预测年我国新能源乘用车的销售量为万辆.
【分析】根据题中所给的散点图，从而可以判断出其应该落在某条抛物线的附近，而不是某个带状区域，从而正确选择回归类型，之后借助于题中所给的有效数据，将回归方程中有关系数求出，然后将相应的量代入，求得结果.
【详解】（1）根据散点图，更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程；
（2）依题意，，
，
，
，
令，，预测2018年我国新能源乘用车的销售量为79.7万辆.
20．（1），； （2）或时，L取得最大值为米．.
【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．
所以当时，即 或 时，L取得最大值为米．
【详解】由题意可得，，，由于 ，，
所以，，
，
即，
设，则，由于，
由于在上是单调减函数，
当时，即或时，L取得最大值为米．
【点睛】三角函数值域得不同求法：
1.利用和的值域直接求
2.把所有的三角函数式变换成 的形式求值域
3.通过换元，转化成其他类型函数求值域
21．见解析
【分析】方案①③与②③，都有周期可求得，再由型函数的对称轴与对称中心求得，即可表示解析式，最后由三角函数的性质求得指定区间的最值；方案①②中，由对称轴与对称中心可构建方程组，分别表示与，利用分类讨论和时的情况，其中若T小于所求区间范围的区间长度，则最值由振幅确定，反之则可由性质求值域.
【详解】方案一：选①③.由已知，函数的最小正周期，
所以，，所以.
令，得，.
所以的对称轴方程为，.
令，，由，得.
综上，.
因为，所以.
所以当或，即或时，；
当，即时，.
方案二：选②③.由已知，函数的最小正周期，
所以，，所以.
所以，于是，.
由，得.
综上，.
因为，所以.
所以当，即时，；
当，即时，.
方案三：选①②.由已知可知其中一个对称轴与对称中心，
则，解得
因为，则，即或0
当时，
因为，则
当时，，则
又因为区间的区间长度为，所以函数在区间上的最大值为和最小值为，显然时也成立，
当时，
因为，则
当时，，则
此时函数，则其在区间上有，即，故最大值为，最小值为，
当时，，则，所以函数在区间上的最大值为和最小值为，显然时也成立
综上所述，函数和函数在区间上的最大值为和最小值为；函数在区间上最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，还考查了求指定区间的最值，属于难题.
22．（1）； ； ；； （2）； （3）最小值；最大值.
【分析】（1）解出方程，分类讨论当时方程的根，的情况即可得解；
（2）利用分组求和的方法即可求解数列的前项和；
（3）根据代数式关系得的规律，求出，，结合放缩法证明不等式.
【详解】（1）方程的两个根为：，．
两项，是此方程的两个根，且，
当时，，．；
当时，，．；
当时，，．；
当时，，．．
（2）
．
（3）由题：，
，
，
，
，．
当时，
，
同理可得：
综上可得：．
的最小值与最大值分别为：；．
【点睛】此题考查根据二次方程的根分析数列的通项，根据条件求特定的项和分组求和以及等比数列求和，利用放缩法证明不等式，在学习中有必要积累常见的数列放缩方式.
答案第1页，共2页
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