人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.1.2 两条直线平行与垂直的判定 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
第二章 2.1.2两条直线平行与垂直的判定
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；
2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；
3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
知识点一　两条直线平行的判定
思考1　如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角
分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间
有什么关系？k1与k2之间有什么关系？
答案　α1与α2之间的关系为α1＝α2；
对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，
因为α1＝α2，所以tan α1＝tan α2，即k1＝k2.
当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在.
思考2　对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？
为什么？
答案　一定有l1∥l2.因为k1＝k2 tan α1＝tan α2 α1＝α2 l1∥l2.
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
k1＝k2
知识点二　两条直线垂直的判定
思考1　如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？
答案　α2＝90°＋α1，
因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和.
思考2　已知tan(90°＋α)＝－ ，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k1、k2之间的关系？
答案　因为α2＝90°＋α1，
所以tan α2＝tan(90°＋α1)，
由于tan(90°＋α)＝－ ，tan α2＝－ ，
即tan α2tan α1＝－1，
所以k1·k2＝－1.
思考3　如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？
答案　当k1·k2＝－1时，一定有l1⊥l2.
不妨设k2<0，即α2为钝角，
因为k1·k2＝－1，则有tan α2tan α1＝－1，
所以tan α2＝－ ＝tan(90°＋α1)，则α2＝90°＋α1，
所以l1⊥l2.当l1⊥l2时，不一定有k1·k2＝－1，
因为如果直线l1和l2分别平行于x轴、y轴，则k2不存在，
所以k1·k2＝－1不成立.
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在) l1的斜率不存在，l2的斜率为0
k1·k2＝－1
l1⊥l2
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　两条直线平行的判定
例1　下列直线l1与直线l2平行的有________.
①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1， )，N(－2，－ )；
④l1经过点E(－3,2)，F(－3,10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5,5).
∴l1不平行l2.
∴k ＝k ，∴l1∥l2.
∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.
l1，l2斜率均不存在且不重合，
∴l1∥l2.
②
③
④
答案　①③④
反思与感悟
判断两直线是否平行的方法：
跟踪训练1　已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，则m的值为________.
解析　当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；
当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；
当m≠－2且m≠－1时，kPQ＝
因为直线PQ∥直线MN，
所以kPQ＝kMN，
即 ，解得m＝0或m＝1.
综上，m的值为0或1.
答案　0或1
类型二　两条直线垂直的判定
例2　(1)已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直
C.可能重合 D.无法确定
解析　由方程3x2＋mx－3＝0知，
Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立.
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2存在，
设两根为x1，x2，
则k1k2＝x1x2＝－1，故l1⊥l2，所以选B.
B
(2)已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，求交点C的坐标.
解 以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.
则AC⊥BC，
设C(x,0)，
所以x＝1或2，所以交点C的坐标为(1,0)或(2,0).
反思与感悟
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步.
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.
(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论.
跟踪训练2　已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a的值为________.
解析　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，
∴l2的斜率存在.
当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意.
当k2≠0时，即a≠5，
由k1·k2＝－1，得 ＝－1，
解得a＝－6.
综上可知，a的值为5或－6.
类型三　垂直与平行的综合应用
例3　已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标.
解　①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，
由已知AB∥DC，
AD⊥AB，而kCD＝0，
故A(1，－1).
②若∠A＝∠B＝90°，如图(2) .
反思与感悟
该题目通过数形结合，排除了∠C为直角的可能性，也可通过计算kCD·kBC＝0≠－1.说明∠C不可能为直角.
跟踪训练3　已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标.
解　设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
因为AD⊥CD，AD∥BC，
所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.
所以第四个顶点D的坐标为(2,3).
1
2
3
达标检测 　　　　
4
5
1.已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　)
A.－3 B.3 C.－ D.
解析　因为直线l∥AB，
B
1
2
3
4
5
2.若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为 的直
线垂直，则a的值为(　　)
A. B. C.10 D.－10
∴a＝－10.
D
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4
5
3.若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________.
所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
－1
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3
4
5
4.已知点A(1,2)和点B(0,0)，点P在y轴上，若∠BAP为直角，则点P的坐标为________.
解析　设P(0，y)，
因为∠BAP为直角，
所以kAB·kAP＝－1，
1
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4
5
5.已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标.
解　设D(x，y)，
∵AB⊥CD且AD∥BC，
∴D(10，－6).
规律与方法
两直线平行或垂直的判定方法
斜率 直线
斜率均不存在 平行或重合
一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在 垂直
斜率均存在 相等 平行
积为－1 垂直