人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《直线的倾斜角斜率方程交点坐标与距离公式课时7》教学设计

《直线的倾斜角斜率方程交点坐标与距离公式》教学设计
课时7两点间的距离公式
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
直线的倾斜角与斜率 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 1.掌握确定直线位置的几何要素. 2.掌握直线方程的三种形式. 3.通过直线的方程研究两条直线的位置关系,交点坐标和点到直线的距离公式. 【考查题型】 填空题,选择题,与其余章节知识结合的解答题
直线的方程 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
直线的交点坐标与距离公式 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
直线与方程作为高中平面解析几何的第一章,既是对初中所学“一次函数”的延展,又是后续学习“圆与方程,圆锥曲线与方程”的基石,它起着承上启下的作用.在用有序实数对表示点之后,直线作为平面中最简单的图形,它的坐标化既是自然延续,又是圆与圆锥曲线坐标化的前提,这体现了教材编排的系统性,以及由易到难,由浅入深的编排特点.而坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁,集中地体现了数形结合的数学思想,这种思想贯穿全章乃至平面解析几何始末.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.直线的倾斜角与斜率 2.直线的方程 3.直线的交点坐标与距离公式 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从认知水平和能力方面,高中二年级学生具有较强的观察、分析、概括能力,有着较丰富的学习经验及活动经验,形成了自发的参与意识和合作意识,可以很好地理解直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识.从学生特点方面,学生基础知识较扎实,具有一定的独立思考能力和反思总结能力,但对数学思想方法的体会和感悟还有待进一步加强.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.直线的倾斜角与斜率
2.两条直线平行和垂直的判定
3.直线的点斜式方程
4.直线的两点式方程
5.直线的一般式方程
6.两条直线的交点坐标
7.两点间的距离公式
8.点到直线的距离公式
9.两条平行线间的距离
【教学目标设计】
1.通过“回顾与梳理”使学生理解倾斜角等基本概念,掌握距离公式等主要知识;
2.通过知识的再现与延展使学生理解知识间的内在联系,形成系统的知识结构;
3.学生体会数形结合思想,初步形成主动在“数”与“形”之间进行转化的意识.
【教学策略设计】
根据高二学生易于控制自身注意力,乐于合作探究,勤于思考与发现的认知特点,本节课采用自主发现与合作探究的教学方法.教学中,通过回顾与梳理,多次让学生经历“独立思考—师生交流—归纳提升”的学习过程,教师在学生独立完成的基础上对基础知识和基本技能进行归纳、联系、提升,对易错、易混知识通过问题驱动的方式进行辨析梳理,让学生牢固理解掌握本节主要内容,形成系统的知识体系,并在教师的引导下体会数形结合的过程.为了突破难点,本课设计了探究与发现环节,设置了“独立思考—小组合作—交流分享”的学习过程,通过该环节,让学生体会代数问题几何化和几何问题代数化带来的美感,感受数形结合思想和化归的数学思想.整个过程中,让学生始终专注于问题解决中,处于积极思考和合作探究的积极状态中,建构自己的知识和思维体系.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）,体会斜截式与一次函数的关系.
5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
难点:
体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:已知数轴上两点,求间的距离.
生:答案是5.
师:若两点在轴上或与轴平行,,距离又是多少呢
生:.
师:若两点在轴上或与轴平行,,距离又是多少呢
生:.
师:对上述问题的分析,我们不难得出与坐标轴平行的线段的长度都可以通过点的坐标求出来,若有向线段与坐标轴不平行时,能否通过端点的坐标求出线段的长即两端点间的距离呢 本节课我们就一起来探讨这个问题.
教学精讲
探究1 两点间的距离公式
【情景设置】
两点间的距离
在平面直角坐标系中,已知两点,怎样求间的距离
师:探究当时, 请简单说明理由.
【学生独立思考,小组交流,教师点拨】
生:可以构造直角三角形,利用勾股定理求解.
如图,在Rt中,,
所以,
即两点间的距离.
师:你还能用其他方法证明这个公式吗
生:向量法.
师:我们用平面向量的知识来解决,如图,由点,得).于是,
由此得到两点间的距离公式
特别地,原点与任一点间的距离
【意义学习】
利用勾股定理将直角坐标系中两点间的距离化为数轴上两点间的距离来求,这里用到了化归的方法.
【以学论教】
引出在坐标系下利用向量法探究两点间距离公式的问题,帮助学生学会联系旧知,制定解决问题的策略,最终探索出新的距离公式,让学生感悟运用坐标法研究几何问题的优势.
【要点知识】
两点间的距离公式
1.点间的距离公式
2.文字叙述:平面内两点间的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根.
3.当直线平行于轴时,;当直线平行于轴时,.
师:对两点间距离公式的理解:此公式与两点的先后顺序无关,也就是说公式也可写成.
【概括理解能力】
通过实践得到两点间的距离公式,加深对问题的理解,提升综合分析问题和转化化归的能力.
【典型例题】
两点间的距离
例1 已知点,在轴上求一点,使,并求的值.
【教师分析】点坐标是关键,如何设该点坐标
生解:设所求点为,于是有
两边平方,得,解得.
所以,所求点,且.
师:同学们,以上这种解法是利用刚才所学的两点间距离公式来解决的,我们是否有其他的解法
【学生思考、讨论,教师巡视,叫一位学生板书】
解法二:由已知得,线段的中点为,直线的斜率为,
线段的垂直平分线的方程是.
在上述式子中,令,解得.
所以所求点的坐标为.因此.
【意义学习】
让学生用不同方法解决问题,巩固所学知识,提高学生的发现创新能力.
师:本题可运用平面几何的一个性质定理,线段中垂线上的点到两端点的距离相等.
师:试在轴上求一点,使的距离最短,求出点坐标.
【学生先独立思考后可讨论,并请一学生代表发言】
生:作点关于轴的对称点,连接,则两点间的距离为所求的最小值,与轴的交点为所求的点.
【典型例题】
两点间的距离与直线斜率的应用
例2 已知三个顶点的坐标分别为,试判断的形状.
【教师分析】可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状.
生解:(解法1)∵,
,
,
∴,且.
∴是等腰直角三角形.
(解法2)∵,
∴.
又,,
∴是等腰直角三角形.
师:两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想.
【发现创新能力】
在典例分析和练习中熟悉公式的基本结构,并体会两点间距离公式的初步应用.多种解法可以发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
【简单问题解决能力】
通过例题熟悉公式的基本结构,加深两点间距离公式的应用.两种解法发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养,加强前后知识的联系和综合运用.
探究2 坐标法及其应用
【情境设置】
坐标法及其应用
用坐标法证明:平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
师:首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代数运算“翻译”成几何关系.
【学生独立思考,小组交流,教师点拨】
【情境学习】
这一道题可以让学生讨论解决,让学生深刻体会数形之间的关系和转化,并从中归纳出应用代数方法解决几何问题的基本步骤,适时渗透文字语言、图形语言、符号语言的转化.
生证明:如图,四边形是平行四边形.以顶点为原点,边所在直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
在平行四边形中,点的坐标是,设点的坐标为,点的坐标为,由平行四边形的性质,得点的坐标为.
由两点间的距离公式,得
所以
所以
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
师:在问题中,是否还有其他建立坐标系的方法
【把学生不同的方法在投影仪上放映让学生体会建立坐标系对证明平面几何问题的重要性,不同的建系,点坐标不同,其实质是一样的】
【师生共同总结】上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为
【概括理解能力】
通过实践,让学生明确坐标法的具体步骤,体会坐标法的核心思想,把几何问题转化为代数问题,利用代数的工具获得具体结论.
【归纳总结】
坐标法解决平面几何问题的基本步骤
第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量;
第二步:进行有关代数运算;
第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
师:坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立得是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;
(2)如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果是轴对称图形,可考虑将对称轴作为坐标轴.
【巩固练习】
距离公式的应用
如图,在中,是边上异于的任意一点.
求证:.
【分析计算能力】
通过巩固练习的分析和解决,让学生逐步感悟运用解析法研究几何问题的方法,发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养.
师:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
生证明:如图,以的中点为原点所在的直线为轴,建立直角坐标系.
设.
则,,
,
∴,
∴.
师:这节课所学内容如下:
【课堂小结】
两点间的距离公式
1.探究两点间的距离公式的推导过程及公式的应用.
2.用坐标法证明平面几何问题初步.
【设计意图】
通过知识整理和本节公式的推导过程,让学生领会数形结合的思想方法和从特殊到一般的认知规律.
教学评价
直线作为常见的简单几何图形,在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.直线的方程是解析几何的基础知识,对直线的方程的理解,直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法,对后续研究的圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用.本部分首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等:通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.
根据本部分的教学内容特点,为了更有效地突出重点、突破难点,按照学生的认知规律,遵循教师为主导,学生为主体,训练为主线的指导思想,在教师的指导下,分析、启发、诱导学生,创设数学学习情境,让学生自主回忆直线方程的不同形式、局限性以及其中所涉及的公式,使他们能积极主动地参与到数学学习活动中来.学生对本部分的知识体系有一个总体的把握,对几块知识的重点题型有一个良好的掌握,初步掌握用代数去研究几何问题这一新的思想方法.本部分知识之间内部联系非常大,在复习过程中难点比较容易突破,因此,采用自学加点拨的方式,培养学生学习和分析问题、解决问题的能力,在合作学习中培养学生的探究意识和数学思维.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力（概括理解、简单问题解决、分析计算）解决问题,从而达到数学抽象、数学直观、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知直线倾斜角的范围是,则此直线的斜率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:根据直线的倾斜角和斜率的关系:,联系三角函数的正切函数图象可得.具体解题过程如下:
因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率.故或.
故.
答案:
【分析计算能力】
解决直线的倾斜角与斜率的计算问题,明确二者的关系后要尽量充分地利用三角函数中正切函数的图象的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷.
2.已知直线与互相平行,则的值是________.
解析:本题考查两直线平行与系数的关系,考查学生的运算求解能力.两直线平行,则;两直线垂直,则.具体解题过程如下:
直线与互相平行,
∴,整理得,解得或5.
当时,直线,两直线平行;
当时,直线,两直线平行.
因此,或5.
答案:3或5
3.在平面直角坐标系中,已知的顶点.
(1)求边上的高所在直线的方程;
(2)求的面积.
解析:(1)根据斜率公式,结合两直线垂直时斜率之间的关系,用直线的点斜式方程进行求解即可;(2)利用点到直线距离公式和两点间距离公式,结合三角形面积公式进行求解即可.具体解题过程如下:
(1)由题意,,
因此边上的高所在直线的斜率为,
所以边上的高所在直线的方程为,即.
(2),
边所在直线方程为,即,
点到的距离,所以的面积.
【概括理解能力】
学生从具体问题中归纳总结出一般问题的解决方法,便于今后再遇到此类问题时能用通性、通法解决,提高学生的概括理解能力.
4.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的,且过点.
(1)求的方程;
(2)若直线与直线平行,且点到直线的距离为3,求直线的方程.
解析:本题考查直线方程和倾斜角的关系和直线的点斜式方程、点到直线的距离转化为两条平行线间的距离.具体解题过程如下:
(1)∵直线的方程为,
∴,倾斜角,
由题知所求直线的倾斜角为,即斜率为,
∵直线经过点,
∴所求直线的方程为,
即.
(2)∵直线与平行,可设直线的方程为,
∴,
即,
∴或,
∴所求直线的方程为或.
【简单问题解决能力】
通过习题及时进行总结,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升.
【综合问题解决能力】
习题考查点到直线的距离公式,分类讨论斜率存在和不存在时分别求出直线方程,可以培养学生分类讨论的思想和化归与转化的思想.通过此练习,学生今后对易错点会更加注意.
5.已知直线过点.
(1)若原点到直线的距离为2,求直线的方程;
(2)当原点到直线的距离最大时,求直线的方程.
解析:本题考查求直线方程,讨论直线斜率存在和不存在两种情况;当原点到直线的距离最大时,直线.计算可得答案.具体解题过程如下:
(1)①当直线的斜率不存在时,方程符合题意;
②当直线的斜率存在时,设斜率为,则方程为,即.根据题意,得,解得,则直线的方程为.
故直线的方程为或.
(2)当原点到直线的距离最大时,直线.
因为,所以直线的斜率,
所以其方程为,即.
【以学定教】
本节首先探究确定直线位置的几何要素和它们在平面直角坐标系中的表示,建立直线的方程,然后通过方程,用代数方法研究有关的几何问题:判定两直线的位置关系、求两条直线的交点坐标、计算点到直线的距离等.代数方法研究直线问题的基本思路是在平面直角坐标系中建立直线的方程,通过方程,用代数方法解决几何问题,具备了一定的抽象概括、推理论证、运算求解和数据处理能力.
教学反思
高二学生具备探索精神,有了一定学科素养基础,对于直线以及方程的概念理解、概括有优势,对于建立坐标系、用代数方法研究几何问题,是初步接触,需要强化这一思想,培养数学建模的核心素养,为今后其他解析几何知识的学习打下基础.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.
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