人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《直线的倾斜角斜率方程交点坐标与距离公式课时8》教学设计

《直线的倾斜角斜率方程交点坐标与距离公式》教学设计
课时8点到直线的距离公式
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
直线的倾斜角与斜率 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 1.掌握确定直线位置的几何要素. 2.掌握直线方程的三种形式. 3.通过直线的方程研究两条直线的位置关系,交点坐标和点到直线的距离公式. 【考查题型】 填空题,选择题,与其余章节知识结合的解答题
直线的方程 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
直线的交点坐标与距离公式 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
直线与方程作为高中平面解析几何的第一章,既是对初中所学“一次函数”的延展,又是后续学习“圆与方程,圆锥曲线与方程”的基石,它起着承上启下的作用.在用有序实数对表示点之后,直线作为平面中最简单的图形,它的坐标化既是自然延续,又是圆与圆锥曲线坐标化的前提,这体现了教材编排的系统性,以及由易到难,由浅入深的编排特点.而坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁,集中地体现了数形结合的数学思想,这种思想贯穿全章乃至平面解析几何始末.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.直线的倾斜角与斜率 2.直线的方程 3.直线的交点坐标与距离公式 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从认知水平和能力方面,高中二年级学生具有较强的观察、分析、概括能力,有着较丰富的学习经验及活动经验,形成了自发的参与意识和合作意识,可以很好地理解直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识.从学生特点方面,学生基础知识较扎实,具有一定的独立思考能力和反思总结能力,但对数学思想方法的体会和感悟还有待进一步加强.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.直线的倾斜角与斜率
2.两条直线平行和垂直的判定
3.直线的点斜式方程
4.直线的两点式方程
5.直线的一般式方程
6.两条直线的交点坐标
7.两点间的距离公式
8.点到直线的距离公式
9.两条平行线间的距离
【教学目标设计】
1.通过“回顾与梳理”使学生理解倾斜角等基本概念,掌握距离公式等主要知识;
2.通过知识的再现与延展使学生理解知识间的内在联系,形成系统的知识结构;
3.学生体会数形结合思想,初步形成主动在“数”与“形”之间进行转化的意识.
【教学策略设计】
根据高二学生易于控制自身注意力,乐于合作探究,勤于思考与发现的认知特点,本节课采用自主发现与合作探究的教学方法.教学中,通过回顾与梳理,多次让学生经历“独立思考—师生交流—归纳提升”的学习过程,教师在学生独立完成的基础上对基础知识和基本技能进行归纳、联系、提升,对易错、易混知识通过问题驱动的方式进行辨析梳理,让学生牢固理解掌握本节主要内容,形成系统的知识体系,并在教师的引导下体会数形结合的过程.为了突破难点,本课设计了探究与发现环节,设置了“独立思考—小组合作—交流分享”的学习过程,通过该环节,让学生体会代数问题几何化和几何问题代数化带来的美感,感受数形结合思想和化归的数学思想.整个过程中,让学生始终专注于问题解决中,处于积极思考和合作探究的积极状态中,建构自己的知识和思维体系.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）,体会斜截式与一次函数的关系.
5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
难点:
体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:上节课我们研究两点间的位置关系,得到两点间的距离公式.今天我们来研究点与直线的位置关系.我们知道,在解析几何中,点在直线上,则满足直线方程:如果点不在直线上,还可以研究点到直线的距离.这就是我们今天要学习的内容——点到直线的距离公式.
教学精讲
探究1 坐标法推导点到直线的距离公式
【情境设置】
点到直线的距离
如图,已知点,直线,如何求到直线的距离
师:首先我们来看一下点到直线的距离的定义.
【要点知识】
点到直线的距离
平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.
【以学论教】
创设了多个问题作为引入,让学生自然地应用坐标法解决问题,从课堂教学过程和学生的实践来看,推导合理直接,最终探索出点到直线的距离公式,让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法.
分析:要求点到直线的距离,需过点作垂直于直线,交于.此时,点与垂足间的垂线段的长即为所求.
师:如何求出的长度
生:利用两直线的交点坐标,确定点的坐标.其中,点坐标已知,需要求的坐标.
师:如何求出点的坐标
生:点是直线与垂线的交点,所以联立两条直线方程求交点坐标.
师:如何求垂线的方程
生:已知一点,再求出的斜率,即可写出的点斜式方程.
师:如何求垂线的斜率
生:垂线与直线垂直,直线的斜率为,可得垂线的斜率为.
由此,求得垂线的方程为,
整理得.
解方程组
将得,
整理得.
同理可得,
则.
利用两点间距离公式,得
.
由此,求得点到直线的距离.
【活动学习】
不需要太多的运算量,整体考虑是解题的关键,由此可以有效地渗透数学思维方法的教学,而且,这恰是典型的坐标法:用代数的方法解决几何问题,在以后圆锥曲线中经常要用到,因此让学生熟悉是十分有益的.
师:如图,如果直线平行于轴,点到直线的距离还满足上式吗
此时,到直线的距离,
由也表示为.
师:如果直线垂直于轴,点到直线的距离还满足上式吗
此时,到直线的距离,
点到直线距离也可表示为.
【以学论教】
在探究问题的过程中体现了从特殊到一般的认识,而本环节探求公式成立的条件,又实现了从一般到特殊的认识,同时体现了知识的完备性.公式的形式特点体现了数学美,应用公式体现了简洁美.
【要点知识】
点到直线的距离公式
一般地,点到直线的距离
【概括理解能力】
通过观察、实践、归纳的课堂活动让学生总结点到直线的距离公式,加深对知识的深化和理解,这是本节课的重点.
探究2 向量法推导点到直线的距离公式
【情境设置】
向量法求长度
向量是解决空间距离、角度问题的有力工具,能否用向量法求点到直线的距离呢
如图,点到直线的距离是点与直线上所有点的距离中最短的.
师:点与直线上任一点所成向量与向量有何关系呢
【自主学习】
教师提问,学生自主思考,总结向量法求长度的步骤与意义.
生:设是直线上的任意一点,是在直线方向上的投影.
师:的模与投影向量的模有何关系
生:,其中是与直线的方向向量垂直的单位向量.
师:如何用坐标表示
生:因为直线的斜率为,它的一个方向向量为,
因此,由向量的数量积运算可求得与直线垂直的一个方向向量为,由此,与直线垂直的单位向量,
由此便可计算的长度.
因为,其中,
所以,
因为在直线上,则.代入上式整理得
【简单问题解决能力】
通过对向量法求点到直线的学习解决相关问题,加强对概念的理解.
师:公式有什么结构特征
生:公式的分子:保留直线方程一般式的结构,只是把的坐标代入到了直线方程中,体现了公式与直线方程的关系.特别地,如果在直线上,点到直线的距离为0,此时,式子中的分子为0,整个式子也等于0,运算结果与实际相符.这么一来,这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离.
师:注意,因为所求的是距离,所以要加绝对值保证结果为正.
师:比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法两种方法,它们各有什么特点
师生共同总结:坐标法是通过寻找所求量的坐标表示,再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式.有时坐标法运算量较大,所以我们还要寻求简化运算的方法.这里我们就用到了设而不求再整体代换的手段.相比之下,向量法抓住了点到直线的距离是点与直线上点的最短长度——这一几何特征,借助投影向量、直线方向向量的概念,并将向量用坐标表示,再运算求解.这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化,“技巧性”强,但是大大降低了运算量.其实向量法只是用到了向量的“壳”,本质上还是在用点的坐标运算.
师:我们常说解析几何就是用代数方法研究几何问题.这里的代数方法就是把图形放入坐标系中,用点的坐标来刻画图形间的关系,这就是解析几何的本质.
【活动学习】
直线的方程与平面向量有十分密切的联系,可以用向量知识来解决问题.通过不同方法推导点到直线的距离公式,体会算法的多样性,同时比较不同推导方法,比较算法的优劣,优化思维品质,发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
【典型例题】
点到直线的距离公式的应用
例 求点到下列直线的距离:
(1).
生解:(1)直线化为一般式为,由点到直线的距离公式可得
(2)因为直线与轴垂直,所以点到它的距离.
(3)因为直线与轴垂直,所以点到它的距离.
【分析计算能力】
在典例分析和练习中熟悉公式的基本结构,并体会点到直线距离公式的初步应用.发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
师:根据典型例题,我们总结一下应用点到直线的距离公式应注意的问题.
【要点知识】
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
1.直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.
2.点在直线上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.
3.直线方程中,或公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
【概括理解能力】
通过例题发现公式应用过程的注意事项,提醒学生关注和总结.
师:请同学们根据所学知识进行巩固练习.
【巩固练习】
距离公式的应用
1.已知点,求三角形的面积.
2.已知直线经过点,且两点到直线的距离相等,求直线的方程.
生解:1.如图,设边上的高为,
则
边上的高就是点到直线的距离.
边所在直线的方程为
即.
点到直线的距离
因此,.
【简单问题解决能力】
两道简单的习题,主要是让学生对所学知识加深理解,并能进行简单的应用,而且在习题中又对知识进行有益的拓展,帮助学生进行知识的深化与巩固.
生解:2.(方法1)当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,
恰好两点到直线的距离相等,
故满足题意;
当过点的直线的斜率存在时,
设的方程为,即,
由与两点到直线的距离相等,得
,解得,
此时的方程为,
即.
综上所述,直线的方程为或.
(方法2)由题意得或过的中点.
当时,设直线的斜率为,
直线的斜率为,则,
此时直线的方程为,
即.
当过的中点时,直线的方程为.
综上所述,直线的方程为或.
师:用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.
师:下面总结一下本节课所学知识.
【课堂小结】
点到直线的距离公式
1.掌握点到直线的距离公式,要熟记公式的结构,应用时要注意将直线的方程化为一般式.
2.当或(直线与坐标轴垂直)时,仍然可用公式,这说明了特殊与一般的关系.
【设计意图】
通过已学的点到直线的距离公式的问题情境,引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题,帮助学生学会联系旧知,制订解决问题的策略.让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法.
教学评价
直线作为常见的简单几何图形,在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.直线的方程是解析几何的基础知识,对直线的方程的理解,直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法,对后续研究的圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用.本部分首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等:通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.
根据本部分的教学内容特点,为了更有效地突出重点、突破难点,按照学生的认知规律,遵循教师为主导,学生为主体,训练为主线的指导思想,在教师的指导下,分析、启发、诱导学生,创设数学学习情境,让学生自主回忆直线方程的不同形式、局限性以及其中所涉及的公式,使他们能积极主动地参与到数学学习活动中来.学生对本部分的知识体系有一个总体的把握,对几块知识的重点题型有一个良好的掌握,初步掌握用代数去研究几何问题这一新的思想方法.本部分知识之间内部联系非常大,在复习过程中难点比较容易突破,因此,采用自学加点拨的方式,培养学生学习和分析问题、解决问题的能力,在合作学习中培养学生的探究意识和数学思维.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力（概括理解、简单问题解决、分析计算）解决问题,从而达到数学抽象、数学直观、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知直线倾斜角的范围是,则此直线的斜率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:根据直线的倾斜角和斜率的关系:,联系三角函数的正切函数图象可得.具体解题过程如下:
因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率.故或.
故.
答案:
【分析计算能力】
解决直线的倾斜角与斜率的计算问题,明确二者的关系后要尽量充分地利用三角函数中正切函数的图象的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷.
2.已知直线与互相平行,则的值是________.
解析:本题考查两直线平行与系数的关系,考查学生的运算求解能力.两直线平行,则;两直线垂直,则.具体解题过程如下:
直线与互相平行,
∴,整理得,解得或5.
当时,直线,两直线平行;
当时,直线,两直线平行.
因此,或5.
答案:3或5
3.在平面直角坐标系中,已知的顶点.
(1)求边上的高所在直线的方程;
(2)求的面积.
解析:(1)根据斜率公式,结合两直线垂直时斜率之间的关系,用直线的点斜式方程进行求解即可;(2)利用点到直线距离公式和两点间距离公式,结合三角形面积公式进行求解即可.具体解题过程如下:
(1)由题意,,
因此边上的高所在直线的斜率为,
所以边上的高所在直线的方程为,即.
(2),
边所在直线方程为,即,
点到的距离,所以的面积.
【概括理解能力】
学生从具体问题中归纳总结出一般问题的解决方法,便于今后再遇到此类问题时能用通性、通法解决,提高学生的概括理解能力.
4.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的,且过点.
(1)求的方程;
(2)若直线与直线平行,且点到直线的距离为3,求直线的方程.
解析:本题考查直线方程和倾斜角的关系和直线的点斜式方程、点到直线的距离转化为两条平行线间的距离.具体解题过程如下:
(1)∵直线的方程为,
∴,倾斜角,
由题知所求直线的倾斜角为,即斜率为,
∵直线经过点,
∴所求直线的方程为,
即.
(2)∵直线与平行,可设直线的方程为,
∴,
即,
∴或,
∴所求直线的方程为或.
【简单问题解决能力】
通过习题及时进行总结,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升.
【综合问题解决能力】
习题考查点到直线的距离公式,分类讨论斜率存在和不存在时分别求出直线方程,可以培养学生分类讨论的思想和化归与转化的思想.通过此练习,学生今后对易错点会更加注意.
5.已知直线过点.
(1)若原点到直线的距离为2,求直线的方程;
(2)当原点到直线的距离最大时,求直线的方程.
解析:本题考查求直线方程,讨论直线斜率存在和不存在两种情况;当原点到直线的距离最大时,直线.计算可得答案.具体解题过程如下:
(1)①当直线的斜率不存在时,方程符合题意;
②当直线的斜率存在时,设斜率为,则方程为,即.根据题意,得,解得,则直线的方程为.
故直线的方程为或.
(2)当原点到直线的距离最大时,直线.
因为,所以直线的斜率,
所以其方程为,即.
【以学定教】
本节首先探究确定直线位置的几何要素和它们在平面直角坐标系中的表示,建立直线的方程,然后通过方程,用代数方法研究有关的几何问题:判定两直线的位置关系、求两条直线的交点坐标、计算点到直线的距离等.代数方法研究直线问题的基本思路是在平面直角坐标系中建立直线的方程,通过方程,用代数方法解决几何问题,具备了一定的抽象概括、推理论证、运算求解和数据处理能力.
教学反思
高二学生具备探索精神,有了一定学科素养基础,对于直线以及方程的概念理解、概括有优势,对于建立坐标系、用代数方法研究几何问题,是初步接触,需要强化这一思想,培养数学建模的核心素养,为今后其他解析几何知识的学习打下基础.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.
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