5.6 函数y=Asin(ωx φ)(1)（教学课件）-湖北省广水市实验高级中学高中数学人教A版（2019）必修第一册(共25张PPT)

(共25张PPT)
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
复习引入
若动点P(x,y)以点A(1,0)为起点，以单位角速度ω=1按逆时针方向运动，经过时间t达到点P，角α与时间t有什么关系？点P的纵坐标y是时间t的函数吗？
α=1×t
由三角函数的定义，得
y=sinα=sint
O
x
y
A(1,0)
(x,y)
角的大小=角速度×时间，即
我们知道，三角函数的定义刻画的是特殊的圆周运动，即单位圆上的点的运动. 而现实世界中存在着大量的一般的圆周运动，该用怎样的函数模型刻画呢？这就是我们这节课要研究的问题.
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
创设情境
设筒车半径为r，筒车中心O距水面的高度为h；
筒车转动的角速度为ω；
初始位置所对应的角φ；时间t；
距离水面的相对高度H；
如图，将筒车抽象为一个几何图形，相关的量有：
创设情境
思考：与盛水筒运动相关的量有哪些 它们之间有怎样的关系
下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒M运动的数学模型.
如图，以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是
创设情境
于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωx+φ，并且有
设t=0时，盛水筒M位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过t s后运动到点P(x,y).
y=rsin(ωx+φ)
①
H=rsin(ωx+φ)+h
②
函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律. 由于h是常量，我们可以只研究函数①的性质.
探究新知
上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的函数. 显然，这个函数由参数A,ω,φ所确定. 因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质.
从解析式看，函数y=sinx就是函数y=Asin(ωx+φ)在A=1,ω=1,φ=0时的特殊情形.
（1）能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响？
（2）函数y=Asin(ωx+φ)含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？
思考：
当起点位于Q0时(此时φ=0)，经过x s后运动到点P,那么点P的纵坐标y就等于sinx.以(x,y)为坐标描点，可得函数y=sinx的图象.
P
-
-
-1
1
-
M
取A=1,ω=1，动点M在单位圆O1上以单位角速度按逆时针方向运动.
(一）探索φ函数y=sin(x+φ)图象的影响
探究新知
当起点位于Q1时(此时φ= )，经过 s后运动到点P,那么点P的纵坐标y也等于sinx.以( ,y)为坐标描点，可得函数y=sin(x+ )的图象.
从质点的匀速圆周运动规律来分析：
以Q0为起点到达点P，所用时间为 s，纵坐标为 .
以Q1为起点到达点P，所用时间为 s，纵坐标为 .
探究新知
观察图象上点的坐标关系
(一）探索φ函数y=sin(x+φ)图象的影响
思考:(1)如果φ取 ， ，对应的函数图象如何变化呢？
(2)根据上面的研究，归纳出φ对函数y=sin(x+φ)图象影响的一般化结论.
探究新知
(一）探索φ函数y=sin(x+φ)图象的影响
一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为 时，对应的函数是y=sin(x+φ)(φ≠0) ，把正弦曲线上的所有点向左(当 >0时)或向右(当 <0时)平移| |个单位长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象.
跟踪训练1:
（A）向右平行移动 个单位长度
（C）向右平行移动 个单位长度
（B）向左平行移动 个单位长度
（D）向左平行移动 个单位长度
A
1.为了得到函数 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
探究新知
取A=1, ，
当ω=2时，以Q1为起点到达点P，所用时间为 s，纵坐标为 .
当ω=1时，以Q1为起点到达点P，所用时间为 s，纵坐标为 .
由于ω=2时动点的转速是ω=1时的2倍，
P
圆心角α=ω×t
P
当ω=1时，以Q1为起点到达点P，所用时间为 s，纵坐标为 .
(二）探索ω(ω>0)函数 图象的影响
(2)根据上面的研究，归纳出ω对函数y=sin(ωx+φ)图象影响的一般化结论.
探究新知
思考:(1)如果 对应的函数 图象如何变化呢？
一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)的周期是 ，把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标不变)，就得到y＝sin(ωx＋φ)的图象.
(二）探索ω(ω>0)函数 图象的影响
跟踪训练2:
说一说由 的图象经过怎样变化
得到 的图象？
图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变
探究新知
取ω=2, ，
当A=2时，以T1为起点到达点T，所用时间为 s，纵坐标为 .
当A=1时，以Q1为起点到达点P，所用时间为 s，纵坐标为 .
(三）探索A(A>0)函数 图象的影响
思考:(1)如果A取 ,3, 对应的函数图象如何变化呢？
(2)根据上面的研究，归纳出A对函数y=Asin(ωx+φ)图象影响的一般化结论.
探究新知
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 ，可以看作把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0(三）探索A(A>0)函数 图象的影响
跟踪训练3:
为了得到函数 的图象，只要把
图象上所有的点（ ）
（B）横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
（D）纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变
（A）横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变
（C）纵坐标伸长到原来的 倍，横坐标不变
C
思考：你能总结一下从正弦曲线图象出发，通过图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的过程与方法吗？
总结提升
过程
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象 ，可以用下面的方法得到：先画出y＝sinx的图象；再把正弦曲线向左(或向右)平移| |个单位长度，得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为到原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
方法
步骤1
步骤4
步骤3
步骤2


最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变）而得到函数
这一过程的步骤如下:
解：先画出函数y＝sin x的图象；
横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)得到 的图象；
最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，
例1　画出函数 的简图．
典例分析
再把正弦曲线上所有点向右平移
然后把曲线上各点的
这时的曲线就是函数 的图象. 如图所示.
个长度单位得到 的图象；
新知探究
典例分析
列表：
X 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
下面用“五点法”画函数 的图象.
描点画图：
新知探究
例2　如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min．
典例分析
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5 min后离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差的最大值(精确到0.1).
追问1　你打算选择什么函数模型来刻画这个实际问题？为什么？
摩天轮上座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数模型来刻画．
追问2　对比函数y＝Asin(ωx＋φ)，如何建立H关于t的函数解析式？
新知探究
典例分析
解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）设t＝0 min时，游客甲位于点P(0,－55)，
根据摩天轮转一周大约需要30 min，
以OP为终边的角为 ；
新知探究
可知座舱转动的角速度约为　 rad／min，由题意可得
典例分析
（2）当t＝5时，
因此，游客甲在开始转动5 min后离地面的高度约为37.5m.
（3）甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则 ．
经过t min后甲距离地面的高度为 ，
点B相对于点A始终落后 rad，
此时乙距离地面的高度为 ．
新知探究
典例分析
当 (或 )，
即 (或22.8)时，H的最大值为 .
因此，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约7.2m.
（2）在研究函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的过程中，哪些思想方法值得总结？
思考（1）本单元我们研究了哪一类问题？研究的路径是怎样的？
解答：（1）
实际问题
数学问题
三角函数模型
求解三角函数问题
抽象转化
引入构建
实际问题的解
归纳小结
（2）体现了类比思想和由特殊到一般的数学思想．