华师亮中2022年秋高二数学单元练习
椭圆的方程与性质
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．椭圆的焦点坐标是
A. B. C. D.
2．椭圆的离心率是
A. B. C. D.
3．椭圆的焦点在轴上的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
4．已知动点和两定点、，若，则点的轨迹是
A.椭圆 B.线段 C.射线 D.不存在
5．椭圆与椭圆（）的
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
6．过椭圆右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、，则弦长
A. B. C. D.
7．已知过原点的直线与椭圆：（）相交于，，点为椭圆上异于，的一点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
8．如图，椭圆（）的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，交轴于点，若，是线段的三等分点，则的周长为
A.20 B.10 C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．下列各点中，其中在椭圆内的是
A. B. C. D.
10．设是椭圆上的任意一点，则的取值可能为
A.1 B.2 C.3 D.4
11．已知点、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一个动点，那么的取值可能为
A.1 B.2 C.3 D.4
12．已知、是椭圆：（）的左、右焦点，则下列结论正确的是
A.若，则椭圆上共有4个满足条件的点
B.若椭圆的离心率为，则
C.设直线过点且与交于点、，则的周长是
D.设，分别是的左、右顶点，是上异于，的任意一点，则、斜率之积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线，交于，两点，则___________．
14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，且椭圆的焦距为1，则___________．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则___________，______________．（第一空2分；第二空3分）
16．已知椭圆，过原点作两条互相垂直的直线，依次交椭圆于，，，四个点，若直线斜率不存在，则四边形的面积为____________，当四边形面积取得最小值时，直线的斜率为______________．（第一空2分；第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）求满足下列条件的椭圆方程．
（1）中心在原点，以坐标轴为对称轴，右焦点为，离心率等于；
（2）中心在原点，以坐标轴为对称轴，经过两点，．
18．（12分）已知直线：，：．
（1）求与的交点的坐标； （2）证明：点在椭圆上．
19．（12分）已知椭圆：（）的长轴长为12，右顶点为，，分别是椭圆的左、右焦点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且弦的中点为，求直线的方程．
20．（12分）已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，的周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，求的取值范围．
21．（12分）已知椭圆：（）的左焦点为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且不与轴垂直的直线交椭圆于，两点．
（ⅰ）求线段的中点的横坐标的取值范围；
（ⅱ）在轴上是否存在一定点，使得当直线绕转动时，都能平分？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
22．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长为4，右焦点为，过点的两条直线，互相垂直，直线与椭圆交于、两点，直线与直线交于点，且垂直轴时，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：线段的中点在直线上；
（3）求的最小值．华师亮中2022年秋高二数学单元练习
椭圆的方程与性质
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．A 7．A 8．D
【典型试题解析】
8．【答案】D
【简析】连结，，因为、是线段的三等分点，所以是的中位线，所以轴，于是得点坐标为，即，点．
另一方面，是线段的中点，所以，在椭圆上，于是有：，且，联立两方程可得，，所以的周长为，即．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．AB 10．AB 11．BCD 12．ACD
【典型试题解析】
12．【答案】ACD
【简析】若，则离心率，则椭圆上共有4个点满足条件的，使得（时，只有上、下顶点满足，越大，椭圆越“扁”），所以A正确；
若离心率为，则，所以B错误；
的周长等于，所以C正确；
，，设，则，
则，所以D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． , 16．4,
【典型试题解析】
15．【答案】4，
【简析】，所以，得；
由余弦定理，，所以．
16．【答案】4，
【简析】当直线斜率不存在时，，，此时；
当直线斜率存在且不为0时，不妨设直线斜率，则：，
联立，可得，取点，
于是，
设直线：，同理可得，
所以，
由基本不等式，，所以，
即，当且仅当，即时，等号成立，
同理时，，且，
故当四边形面积取得最小值时，直线的斜率为．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．【解析】（1）；
（2）设椭圆方程为，点，代入，可解得，，
所以椭圆方程为．
18．【解析】（1）联立，可得，所以；
（2）因为，所以点在椭圆上．
19．
【解析】（1），所以，且，
所以，，于是椭圆：；
（2）设，，则，
所以，
即，
弦的中点为，于是，
所以，可得：，
于是直线方程为：，即．
20．
【解析】（1）依题意，，所以，，所以，，
所以椭圆方程为；
（2）设点为椭圆上任意一点，圆心，于是，
因为，所以，
所以（），
所以时，，时，，
所以线段长度的取值范围为．
21．
【解析】（1）椭圆的方程为；
（2）（ⅰ）设直线的方程：，联立得：
，恒成立，
设，，于是有，
所以，
因为，所以，
于是；
（ⅱ）若存在定点满足条件，因为都能平分，
所以，则，
即，因为、在直线上，所以，
于是恒成立，
即恒成立，
化简得：，即，
化简得：，所以，
即存在符合条件．
22．
【解析】（1）；
（2）斜率不存在时，线段的中点为，此时，在直线上，符合题意；
斜率为0时，不存在，所以不考虑；
斜率存在且不为0时，设：，联立，
整理得：，设，，
于是，
中点，，，
所以，
直线：，，
所以，所以在直线上；
（3）斜率不存在时，，，此时
斜率存在且不为0时，，
，，，所以，
所以，综上：的最小值为1．
