华师亮中2022年秋高二数学单元练习
双曲线与抛物线
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B．
C． D．
2. 若双曲线的焦距为，则实数
A． B． C． D．
3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是
A． B． C． D．
4. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为
A． B．
C． D．
5. 在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为
A． B．
C． D．
6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，，A为垂足. 若直线AF的斜率为，则的面积为
A． B． C．8 D．
7. 已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上
一点，则的最小值为
A． B． C． D．
8. 已知抛物线与椭圆有相同的焦点，是两曲线的公共点，若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9. 在平面直角坐标系中，已知双曲线C：，则C的
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
10. 已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是
A．双曲线的渐近线方程为
B．以为直径的圆的方程为
C．到双曲线的一条渐近线的距离为1
D．的面积为1
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，则能使双曲线的方程
为的是
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
12. 过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点在第一象限），以，
为直径的圆分别与轴相切于，两点，则下列结论正确的是
A．抛物线的焦点坐标为
B．
C．若为抛物线上的动点，，则
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知双曲线的焦距为4.则a的值为________.
14.已知分别为双曲线的左、右焦点，过作直线与圆
相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为________．
15.已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M
的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲
线N的离心率为__________．（第一空2分；第二空3分）
16.若抛物线与圆只有一个交点，则抛物线焦点的坐标为__________，的取值范围为______.（第一空2分；第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题10分）求适合下列条件的曲线的标准方程：
（1），焦点在轴上的椭圆；
（2）焦点在轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线．
18.（本小题12分）已知某抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且经过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求抛物线被直线所截得的弦长.
19.（本小题12分）
已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.
（1）求的方程；
（2）已知的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与交于 两点，
求的面积.
20.（本小题12分）设为曲线上两点，直线的斜率为1.
（1）求线段中点的横坐标．
（2）设为在第一象限内的点，为的焦点且，若，求直线的方程.
21.（本小题12分）
已知抛物线的焦点为，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.
（1）若上有一点到焦点的距离为，求此时的值；
（2）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？
22.（本小题12分）
已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过的左顶点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．华师亮中2022年秋高二数学单元练习
双曲线与抛物线
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．B 7．A 8．D
8．【答案】D
【简析】抛物线与椭圆有相同的焦点,
所以,即椭圆中的.
是两曲线的公共点,设,由抛物线定义可知，
由题意,即，化简可得.
将变形为代入等式可得，则的坐标可化为，
由点在椭圆上,代入可得,化简可得 ，
除以可化为即，
解得或，因为 ，所以，故选:D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．B C 10．A C D 11．A B C 12．A B D
12．【答案】A B D
【简析】由题意可得抛物线的焦点，所以正确；
由题意设直线的方程为：，与抛物线联立整理可得：
，解得： 或6，
代入直线方程可得分别为：，，由题意可得，，，；
所以，所以正确；
如图在抛物线上，垂直于准线交于，
可得，所以，
当，，三点共线时，最小，且最小值为4，所以不正确；
因为，，，，所以，的中点分别为：，，，，
所以由题意可得，，，所以，所以正确；
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．
15． 2 16．
16．【答案】
【简析】抛物线的焦点为，
联立抛物线方程与圆，可得，
即有或，由抛物线的范围可得，
且抛物线与圆只有一个交点，可得交点为原点，
则，且，解得且．
故答案为：，且．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．【解析】（1）根据题意知，焦点在轴上，所以，
故椭圆的标准方程为：，即.
（2）因为焦点到准线的距离是2，∴，
所以当焦点在轴上时，抛物线的标准方程为或 .
18．【解析】（1）设抛物线的标准方程为,
依题意得，，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）设直线与抛物线的交点为联立方程，得，
解得或，
所以
19．【解析】（1）设所求双曲线方程为，
代入点得，即，
所以双曲线方程为，即.
（2），直线的方程为，设
联立得 ， 满足
由弦长公式得 .
点到直线的距离.
所以
20．【解析】设直线的方程为：，，，
则联立得消去，有，
直线与抛物线有两个不同的交点，故，得，
此时，.
（1）中点横坐标为.
（2）因为抛物线上的点满足且在第一象限，所以.
又因为，，
而，，
所以，
即，
整理得，
可化为，
可整理为，
所以或（舍去），所求直线方程为.
21．
【解析】（1）抛物线，即，所以抛物线的焦点为．
因为抛物线上有一点到焦点的距离为，所以，．
（2）联立方程，消去得，设，，
由韦达定理，得 (*)，
因为是线段的中点，所以，
即，所以，得
若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则是
即
结合(*)化简得，
即，所以或(舍去)，
所以存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形．
22．【解析】（1）设双曲线的标准方程为, 由已知得
，解得所以双曲线的标准方程为．
（2）设联立方程,得,
判别式，
由韦达定理，得,
,
以为直径的圆过双曲线的左顶点,
所以, 即，
，
，解得或.
当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾；
当时,的方程为,直线过定点，
经检验符合已知条件, 所以直线过定点，定点坐标为．
