华师亮中2022年秋高二数学单元练习
立体几何中的向量方法
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知点，则直线的一个单位方向向量为
A. B.
C. D.
2. 已知长方体中，，则
A. B.
C. D.
3. 已知点，点为平面内的点，若直线的一个方向向量为，则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 已知为直线的方向向量，，为平面内两不共线向量，且，则下列说法不正确的是
A．若＝，则∥
B．若＝，则∥
C．若＝＋ ，则∥
D．若，则
5. 向量分别为空间中直线和的一个方向向量，若，则直线和的夹角为
A. B. C. D.
6. 如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是
A．平行 B．相交
C．异面且垂直 D．异面不垂直
7. 空间直角坐标系中，若点满足，则称为一个“整点”，是空间中的两个“整点”，则满足的共有
A.8个 B.24个 C.48个 D.无数个
8. 点为平面外的点，若，则三棱锥与三棱锥的体积比为
A. 2：1 B.1：1 C.1：2 D.1：3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9. 在如图所示的空间直角坐标系中，若正方体
的棱长为1，则下列说法正确的是
A.平面的一个法向量为(0,1,0)
B.平面的一个法向量为(1,1,1)
C.平面的一个法向量为(1,1,1)
D.平面的一个法向量为(0,1,1)
10．已知平面的一个法向量为，若，则可以是
A． B.
C. D.
11. 如图，为圆锥底面圆周上的点，若，将圆锥侧面展开得到一个扇形，则该扇形的圆心角可能为
A. B.
C. D.
12. 正五棱锥中，，则下列说法正确的有
A．
B.
C. 直线平面
D. 任意没有公共棱的两个侧面都相互垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 点为三角形的重心，为平面外的点，若，则_______.
14. 已知为坐标原点，四面体中，，为直线上的点，若，则点的坐标为_______.
15. 如图，正六棱柱的棱，当棱柱的高_______时，，此时，_______.（第一空2分；第二空3分）
16. 已知长方体中，，，分别为线段，上的点，，当时，_______，此时，点到平面的距离为_______.（第一空2分；第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知，若.
（1）若，求的值；（2）若为平面的一个法向量，求的值.
18．（12分）如图，在直三棱柱的底面中, ，,且，是棱的中点.
（1）证明: 平面；
（2）探究：线段上是否存在点，使得∥平面
19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点.
求证：（1）平面； （2）.
20．（12分）如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，为边上的中点.
证明：（1）平面； （2）平面平面.
21．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在棱上，且，，．
（1）求证：平面；
（2）当时，求点到平面的距离．
22．（12分）如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，.
（1）证明：⊥平面；
（2）证明：直线与平面相交．华师亮中 2022年秋高二数学单元练习
立体几何中的向量方法
参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．C 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B
【典型试题解析】
7．【答案】C
M (0,0,0) N (x, y, z) 14 12 22 2【简析】由向量起点的任意性，不妨令 ，则 ，因为 3 ，所以
x, y, z { 1, 2, 3}，先确定 x，可以有 6种选择；然后确定 y，此时必须满足 | y | | x |，故 y有 4种选
择；最后的 z还有 2种选择，所以满足题意的MN 有6 4 2 48种.
8．【答案】B
【简析】由OD 3OA OB OC 可得， AD BA CA
如右图所示，以 AB, AC为邻边的平行四边形 ABEC，
1
其中DA AE， S ABD S ABE S2 ABEC
S ABC
所以三棱锥O ABC与三棱锥O ABD的体积比为1:1
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 3分。
9．AC 10．ABD 11．BC 12．ACD
【典型试题解析】
12．【答案】ACD
【简析】由于 |OA | |OB | |OC |,| AB | | AC | ，即 AOB AOC 90 ，故 A正确；
若OA BC 0，则OA BC，又OA OC，可证OA 平面 BOC，
则有OA OB，与 A选项矛盾，故 B错误；
由图形的对称性，因为OA OC，所以同样OE OC成立，易证得OC 平面OAE，C正确；
由 C正确，易知 D正确.
数学试题 第 1页（共 6页）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
2 (1,1,2) 2 51 1313． 14． 15． 1 16． 44
3 2 20
【典型试题解析】
51 13
16．【答案】 44
20
【简析】建立如图空间直角坐标系，设M (3m,0,0),0 m 2
则有 N (0, 4m,0),P(0, 1, 39),B1(6,8, 39)
MN ( 3m, 4m,0),PN (0, 4m 1, 39)
cos MN ,PN cos π 1
3 2
M N即 P N 4m(4m 1) 1 ，解得，m 1（负值舍去）
|MN || PN | 5m (4m 1)2 39 2
所以MN ( 3,4,0),PN (0,5, 39)，则 PM (3,1, 39)， PM PN 44
第二空解法一（等体积法）记 d 为点 B1到平面 PMN 的距离，延长D1C1至H ，使D1C1 C1H ，
则有： B1H //平面 PMN ，即 d 为点H 到平面 PMN 的距离，由VH PMN VM PHN 可得
17
1 1 S 39 3S PHN DM 51 13 PMN d S PHN DM ，所以 d 23 3 S 1
PMN | PN ||MN | sin 60 20
2
解法二：由（1）知MN ( 3,4,0),PN (0,5, 39)，设 n (x, y, z)为平面 PMN 的一个法向量
n MN 0 3x 4y 0
则有 ，即 ，取 n (4 39,3 39,15)，又 PB1 (6,9,0)
n PN 0 5y 39z 0
d | PB n | 51 39 51 13所以
| n | 20 3 20
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
【解析】（1） BC AC AB (2,3, 4) ....................................................................................................... 1分
1 m n
由 AP / /BC可得， .......................................................................................................................3分2 3 4
数学试题 第 2页（共 6页）
3
m
解得， 2 ................................................................................................................................................... 4分
n 2
故m 7 n ....................................................................................................................................................... 5分
2
AP AB 0 2 m 4n 0
（2）由题意可得： ，即 .............................................................................8分
AP AC 0 4 2m 0
m 2
解得： ..................................................................................................................................................9分
n 1
所以mn 2 ....................................................................................................................................................10分
18．（12分）
【解析】（1）由已知可得， AD, AB, AF 两两垂直
AF FD 2 AD 2 3，
建立如图空间直角坐标系 A xyz ...............................................................................................................1分
则有 A(0,0,0),B(0, 3,0),C(1, 3,0),E(0, 3, 3),F (0,0, 3) ........................................................2分
AE (0, 3, 3),BC (1,0,0),BF (0, 3, 3) .............................................................................. 3分
AE BC 0且 AE BF 0 ........................................................................................................................ 4分
所以 AE BC ,AE BF ............................................................................................................................5分
又 BC BF B，BC 平面 FBC ，BF 平面 FBC
所以 AE 平面 FBC ................................................................................................................................... 6分
（2）由题意可知，M (0, 3 ,0)，设DN kDF ( k ,0, 3k ),0 k 1，.................................. 7分
2
又D(1,0,0) 3，故 N (1 k ,0, 3k)，MN (1 k , , 3k ) ............................................................. 8分
2
由（1）知， AE为平面FBC 的一个法向量............................................................................................. 9分
若MN / /平面 FBC ，则MN AE 0 ................................................................................................... 10分
数学试题 第 3页（共 6页）
3
即 3 3k 3 0 .....................................................................................................................11分
2
k 1解得 ，即当 N 为DF中点时，MN / /平面 FBC ...................................................................... 12分
2
19．（12分）
【解析】
（1）建立如图空间直角坐标系 B xyz
设 AB AA1 h,BC a
则有， A(h,0,0),B(0,0,0), A1(h,0,h),B1(0,0,h)
C(0,a,0),M (h , a ,0),N (0, a ,h) ................................................................................................................. 2分
2 2 2
MN ( h ,0,h) ...............................................................................................................................................3分
2
显然， BC (0,a,0)为平面 ABB1A1的一个法向量.....................................................................................5分
MN BC 0 ...................................................................................................................................................... 6分
所以MN BC ..................................................................................................................................................7分
又MN 平面 ABB1A1，所以MN / /平面 ABB1A1 ..................................................................................... 8分
a
（2） AN ( h, ,h), A1B ( h,0, h) ................................................................................................... 10分2
所以 AN A1B h
2 h2 0 ...........................................................................................................................11分
所以 AN A1B ................................................................................................................................................12分
20．（12分）
【解析】
（1）建立如图空间直角坐标系 A xyz
A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2,0),D(0, 4,0),P(0,0,2),E (0, 2,1) ..................................................................2分
所以CE ( 2,0,1) ........................................................................................................................................... 3分
数学试题 第 4页（共 6页）
显然 AD (0, 4,0)是平面PAB的一个法向量.............................................................................................. 4分
因为CE AD 0，又CE 平面 PAB，所以CE / /平面 PAB ...............................................................5分
（2） AP (0,0, 2), AC (2, 2,0),CD ( 2,2,0) .................................................................................... 7分
所以 AP CD 0,AC CD 0 ....................................................................................................................... 8分
所以 AP CD,AC CD ............................................................................................................................... 9分
又 AP AC A,AP 平面 PAC ， AC 平面 PAC ............................................................................10分
所以CD 平面 PAC ..................................................................................................................................... 11分
又CD 平面 PCD，所以平面 PAC 平面 PCD ................................................................................... 12分
21．（12分）
【解析】
（1）建立如图空间直角坐标系D xyz
设 AD a，所以D(0,0,0), A(a,0,0),B(0,1,0),C1(0, 1,3),E(
a, 1,0),F (0, 1,2) .......................... 2分
2 2
C E (a
1 ,
3 , 3),DA (a,0,0),DF (0, 1,2) ........................................................................................ 3分
2 2
设m (x, y, z)是平面 ADF的一个法向量，则有
m DA 0 ax 0
，即 ...................................................................................................................... 4分
m DF 0 y 2z 0
取m (0, 2,1) .................................................................................................................................................... 5分
C1E m 0 3 3 0 ......................................................................................................................................6分
又C1E 平面 ADF，所以C1E / /平面........................................................................................................ 7分
（2）解法一：由 AB 2得， AD 3 ....................................................................................................... 8分
所以 A1( 3,0,3), AA1 ( 3,0,3) .................................................................................................................. 9分
记 d 为点 A1到平面 ADF的距离，则有
数学试题 第 5页（共 6页）
d | AA 1 m | 3 3 5 ................................................................................................................. 12分
|m | 22 12 5
解法二：由 AB 2得， AD 3 ................................................................................................................. 8分
记 d 为点 A1到平面 ADF的距离，由VA ADF VF DAA 得...........................................................................9分1 1
1 S ADF d
1
S DC .............................................................................................................................10分
3 3 DAA1
S 1 AD DF 15 S 1 3 3又 ADF ， DAA AD AA1 ,DC 1 ....................................................11分 2 2 1 2 2
S DAA DC 3 3 2 3 5
所以 d 1 .................................................................................................. 12分
S ADF 2 15 5
22．（12分）
【解析】
（1）因为 AB BC且 E为 AC中点，所以 BE AC
分别以 EA,EB,EF 为 x轴， y轴， z轴建立
如图空间直角坐标系 E xyz
由 AB 1 5,AE AC 1，可得， EB 2
2
所以 A(1,0,0),B(0, 2,0),C( 1,0,0, )D(1,0,1),F (0,0,2),G (0, 2,1) ..........................................................3分
AC ( 2,0,0),EB (0, 2,0),EF (0,0, 2) ...............................................................................................4分
所以 AC EB 0,AC EF 0 ........................................................................................................................5分
所以 AC EB,AC EF ................................................................................................................................6分
又 EB EF E ,EB 平面 BEF， EF 平面 BEF，所以 AC 平面 BEF ..................................... 7分
（2）CB (1, 2,0),CD (2,0,1),FG (0, 2, 1) ...................................................................................... 8分
m (x, y, z)是平面 BCD的一个法向量，则有
m CB 0 x 2y 0
，即 ......................................................................................................................... 9分
m CD 0 2x z 0
取m (2, 1, 4) ............................................................................................................................................ 10分
FG m 0 2 4 2 0 ............................................................................................................................. 11分
所以直线 FG与平面 BCD相交..................................................................................................................... 12分
数学试题 第 6页（共 6页）
