平面向量在四种图形中的应用
一.在圆及圆的变形中应用
1．折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，设向量，，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．14
2．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．如图，AB是圆O的一条直径，且．C，D是圆O上的任意两点，，点P在线段CD上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为1 B．最大值为2
C．最大值是8 D．最大值是
4．数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为______
.
二.在八边形中应用
5．中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形，若，则______.
6．古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我国建筑中有一定影响．如图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（ ）
A．与能构成一组基底 B．
C． D．
三.在四边形中应用
7．如图，在平行四边形中，，点E是的中点，点F满足，且，则（ ）
A．9 B． C． D．
8．在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，梯形，且，，，则_________，在线段上，则的最小值为_________.
10．如图，在正方形中，分别为边的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．4
11．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．7
12．如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角形拼在一起，则________.
四.在三角形中应用
13．如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
14．如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
15．如图，在中，已知，，，分别是边上的点，且，，其中，，且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．平面向量在四种图形中的应用
1．折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，设向量，，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．14
【答案】D
【分析】先利用题意算出，然后利用数量积的运算律对进行化简，即可求解
【详解】因为，，
所以，
因为向量，，，
所以，
即，解得
故选：D
2．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．如图，AB是圆O的一条直径，且．C，D是圆O上的任意两点，，点P在线段CD上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】如图，为圆心，连接，则
.
因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，
所以，
所以，则，即的取值范围是.
故选：A
3．正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为1 B．最大值为2
C．最大值是8 D．最大值是
【答案】ACD
【分析】如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设，,又，利用向量的坐标运算，结合三角函数的性质逐一求解即可.
【详解】如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设，
又，
则，
，即
，
解得，
因为，则，
，其中，为锐角，
当，即时，取最大值，故A正确，B错误；
，C正确；
，
其中，为锐角
当，即时，取最大值，D正确
故选：ACD.
4．数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为______
.
【答案】##
【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算用所求式子将表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.
【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，
所以
因为，所以，的最小值为.
故答案为：
5．中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形，若，则______.
【答案】##
【分析】根据题意，利用余弦定理，计算出的值，根据向量运算，把化成，计算其长度得答案.
【详解】在中，设，，
则，所以，
所以.
故答案为：
6．古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我国建筑中有一定影响．如图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（ ）
A．与能构成一组基底 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，可判断选项A；从而可得，可判断选项B；连结AC交OB于点M，可判断选项C；先判断出，结合向量的加法和数量积的运算性质可判断选项D .
【详解】连接，，由正八边形的性质可知，，，
所以，所以与是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；
又，所以，所以，B项正确；
由上过程可知，连结交于点，
在直角三角形中，为的中点，
则，
又，
所以，C项正确；
又正八边形的每一个内角为：，
延长，，相交于点，则，
所以，故，
所以，D项正确.
故选：BCD.
7．如图，在平行四边形中，，点E是的中点，点F满足，且，则（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】A
【分析】用分别表示出，结合已知，可得，然后进行数量积的运算即可得出．
【详解】因为，
所以，
即，解得，
又，
所以，
故选：A．
8．在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取中点为，结合极化恒等式以及余弦定理，即可求得结果.
【详解】根据题意，连接，取中点为，作图如下：
，
在三角形中，由余弦定理可得：，即，
则，故，
显然当且仅当时，取得最小值，
故，的最小值为.
即的最小值为.
故选：
9．如图，梯形，且，，，则_________，在线段上，则的最小值为_________.
【答案】 ## ##
【分析】利用向量线性运算可将化为，由向量数量积的运算律和定义可构造方程求得，由此可得；作，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数最小值的求法可求得结果.
【详解】，，，，
，
，又，；
作，垂足为，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，，
设，，，解得：，，
，，，
，
则当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：
（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；
（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.
10．如图，在正方形中，分别为边的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据向量线性运算法则，结合题意即可求解
【详解】因为在正方形中，分别为边的中点，
所以，
所以，所以，
故选：C
11．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．7
【答案】D
【分析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，所以，，，分别表示出，，再由向量的模长公式代入即可得出答案.
【详解】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设，，因为，，
所以，，，所以，，
，所以，
所以，
所以当，即时，的最小值为7，
故选：D．
12．如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角形拼在一起，则________.
【答案】
【分析】由图形可计算，，根据向量的加法法则可知，利用向量的数量积公式展开计算即可得到结果.
【详解】解：由图可知：， ，则，
因为，所以
故答案为：.
13．如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】由题意设，则可得，再结合可求出，再表示出，再结合已知条件可求得的值.
【详解】由题意设，
因为，所以，
所以
，
因为，
所以，解得，
所以，
因为，，，，
所以
,
故选：C.
14．如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】设，然后可得，然后根据二次函数的知识可得答案.
【详解】因为在等腰直角中，斜边，所以，
因为、，所以，
设，则，
所以当时，取得最小值，
故选：B
15．如图，在中，已知，，，分别是边上的点，且，，其中，，且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合，且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值.
【详解】解：在中，，则，
∵分别是边的点，线段的中点分别为
∴，，
∴，
∴两边平方得：
，
∵，
∴，
又∵，，
∴当时，最小值为，即的最小值为.
故选：A
