【中国好题源】2013-2014学年高中数学人教版必修二：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 教材原题+高考题+模拟题（含答案详解）

必修2好题源第二章点、直线、平面之间的位置关系
一、空间点、直线、平面之间的位置关系
1.空间中的直线与直线的位置关系
【教材原题】课本47页例题3
例3　如右图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.
(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．
【高考题或模拟题】
(2012·四川高考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
【答案】　90°
【解析】如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN.
所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角．连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，则A1K＝＝，MK＝DN＝＝，A1M＝＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.
(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．
【解析】　连接DF，则AE∥DF，
∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．
设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，
∴cos∠D1FD＝＝.
【答案】　
对比分析：
1.考查知识点：课本题、2012四川高考、2012大纲全国卷共同考查的知识点是空间中的直线与直线的位置关系；课本题考查异面直线的判定、异面直线所成角、线线平行与线线垂直的判断与应用；2012四川高考、2012大纲全国卷考查异面直线所成角的判断与求解．
2．考查的方式：课本题是解答题；2012四川高考、2012大纲全国卷是填空题．
3．命题的思路：课本题、2012四川高考、2012大纲全国卷共同通过考查空间中的直线与直线的位置关系，考查学空间想象能力，考查学生对线线角的掌握程度．
4．进一步挖掘的价值：高考对空间中的直线与直线的位置关系的考查，主要考查线线平行判定与性质、线线垂直的判断与性质、异面直线所成的角，多方在几何体中考查，考查的方式多为选择题、填空题，有时也在大题中与其它知识结合考查．
2.空间中点、直线与平面之间的位置关系
【教材原题】课本49页例题4
例4　下列命题中正确的个数是 (　　)
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】如右图借助长方体模型来看命题是否正确．命题①不正确，相交时也符合；
命题②不正确，如右图中，A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；
命题③不正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；
命题④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点．
【高考题或模拟题】
(2011·浙江卷)若直线l不平行于平面α，且lα，则(　　)
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
【答案】B　
【解析】B　由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．
(2012·四川高考)下列命题正确的是(　　)
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【答案】　C
【解析】　如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．
(2013·郑州模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3，则l1⊥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3，则l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面
【解析】排除法，如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，
AB⊥AD，CD⊥AD，但有AB∥CD，因此A不正确；
又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；
又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．
【答案】　B
对比分析：
1.考查知识点：课本题、2011浙江卷、2012四川高考、2013郑州模拟共同考查的知识点是空间中点、直线与平面之间的位置关系；课本题考查空间中直线与平面的位置关系；2011浙江卷考查平面外直线与平面内直线之间的位置关系；2013郑州模拟考查线与线位置关系．
2．考查的方式：课本题、2011浙江卷、2012四川高考、2013郑州模拟都是选择题．
3．命题的思路：课本题、2011浙江卷、2012四川高考、2013郑州模拟通过考查空间中点、直线与平面之间的位置关系，考查学空间想象能力，考查学生认识空间点、线、面的位置关系的能力，考查学生准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的能力．
4．进一步挖掘的价值：空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.
二、直线、平面平行的判断及其性质
1、直线与平面平行的判定与性质
【教材原题】课本59页习例题3
例3如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.
(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？
解：(1)如图，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F.连接BE，CF.则EF、BE、CF就是应画的线．
(2)因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.
由(1)知，EF∥B′C′，所以EF∥BC，
因此.
BE、CF显然都与平面AC相交．
小结：平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任意一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．
【高考题或模拟题】
(2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)
【分析】　(1)法一：证明MN∥AC′；法二：取A′B′的中点P，证平面MPN∥平面A′ACC′.(2)转化法：根据S△A′MC＝S△BMC得VN—A′MC＝VN—A′BC，从而VA′—MNC＝VA′—NBC.
【解析】　(1)法一：连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC—A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′的中点．
又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.
又MN平面A′ACC′，AC′平面A′ACC′，
所以MN∥平面A′ACC′.
法二：取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图，因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，
所以MP∥AA′，PN∥A′C′.
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.
又MP∩NP＝P，
所以平面MPN∥平面A′ACC′.
而MN平面MPN，
所以MN∥平面A′ACC′.
(2)连接BN，由题意知，A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，
所以A′N⊥平面B′BCC′，即A′N⊥平面NBC，
故VA′—MNC＝VN—A′MC＝S△A′MC×h，
又S△A′MC＝S△A′BC，所以VA′—MNC＝VN—A′MC＝VN—A′BC＝VA′—NBC＝××S△NBC×A′N，
因为∠BAC＝90°，BA＝AC＝，所以BC＝B′C′＝2，
S△NBC＝BC×BB′＝×2×1＝1，A′N＝B′C′＝1，
所以VA′—MNC＝VN—A′MC＝××S△NBC×A′N＝.
(2011·北京卷)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG为矩形．
证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE∥PC.
又因为DE平面BCP，PC平面BCP
所以DE∥平面BCP.
(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.
所以四边形DEFG为平行四边形．
又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形．
(2013·福州模拟)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
【解析】由于在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.
又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，
∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.
【答案】
对比分析：
1.考查知识点：课本题、2012辽宁高考、2011北京卷、2013福州模拟共同考查的知识点是直线与平面平行的判定与性质；课本题考查线面平行的判断在实际问题中的应用；2012辽宁高考考查线面平行的判定与性质以及几何体的体积，同时考查转化与划归思想；2011北京卷考查线面平行、线线平行与线线垂直的判断；2013福州模拟考查线面平行的性质应用．
2．考查的方式：课本题、2012辽宁高考、2011北京卷是解答题；2013福州模拟是填空题．
3．命题的思路：课本题、2012辽宁高考、2011北京卷、2013福州模拟通过考查直线与平面平行的判定与性质，考查学生证明问题能力、转化与划归能力、数形结合能力，同时考查学生对判断或证明线面平行的常用方法的掌握情况．
4．进一步挖掘的价值：高考对空间中的平行的考查．多数仍以解答题形式出现，还会以常见的空间几何体为载体．主要考查线面平行判定与性质．
2.平面与平面平行的判定与性质
【教材原题】课本57页例题2
例2　已知正方体ABCD—A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
证明：因为ABCD—A1B1C1D1为正方体，
所以D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1.
又AB∥A1B1，AB＝A1B1，
所以D1C1∥AB，D1C1＝AB，
所以D1C1BA是平行四边形，所以D1A∥C1B，
又D1A平面C1BD，C1B平面C1BD，
由直线与平面平行的判定定理，可知D1A∥平面C1BD，
同理D1B1∥平面C1BD，
又D1A∩D1B1＝D1，所以，平面AB1D1∥平面C1BD.
小结：证明两个平面平行的一般步骤为：第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用判定定理得出结论．
【高考题或模拟题】
(2012·山东高考)如图7－4－8，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
【解析】　(1)如图(1)，取BD的中点O，连接CO，EO.
(1)由于CB＝CD，所以CO⊥BD.
又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC平面EOC，
所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO.
又O为BD的中点，
所以BE＝DE.
(2)如图(2)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.
(2)
因为M是AE的中点，所以MN∥BE.
又MN平面BEC，BE平面BEC，
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形，
所以∠BDN＝30°.
又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.
所以DN∥BC.
又DN平面BEC，BC平面BEC，
所以DN∥平面BEC
又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.
又DM平面DMN，所以DM∥平面BEC.
对比分析：
1.考查知识点：课本题、2012山东高考共同考查的知识点是平面与平面平行的判定；2012山东高考同时考查面面平行的性质、线线垂直、线面垂直的判断与性质．
2．考查的方式：课本题、2012山东高考都是是解答题．
3．命题的思路：课本题、2012山东高考共同通过对平面与平面平行的判定与性质的考查，考查学生证明问题能力、转化与划归能力、数形结合能力，同时考查学生对平面与平面平行的判定与性质的掌握情况．
4．进一步挖掘的价值：从近两年高考看，直线与平面，平面与平面平行是高考考查的热点．题型全面，试题难度中等，考查线线、线面、面面平行的相互转化，并且考查空间想象能力以及逻辑思维能力．
三、直线、平面垂直的判定及其性质
1、直线与平面垂直的判定与性质
【教材原题】课本79页复习参考题B组1题
如图，边长为2的正方形ABCD中，
（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合与，求证：.
(2)当时，求三棱锥体积.
（1 ）证明：由正方形ABCD 知，∠DCF= ∠DAE=,
则 ， ，且，
所以D⊥平面EF.
又EF平面EF，
所以D⊥EF．
（2）解：由F=E=，EF=及勾股定理，得E⊥F,所以,所以.
【高考题或模拟题】
(2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．
(1)证明：PH⊥平面ABCD；
(2)若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；
(3)证明：EF⊥平面PAB.
【分析】 (1)证PH⊥AB，PH⊥AD.
(2)连接BH，取BH的中点G，证明EG⊥平面ABCD，且EG＝PH.
(3)取PA的中点M，连接MD，ME，证明MD⊥平面PAB，MD∥EF.
【证明】　(1)因为AB⊥平面PAD，PH平面PAD，
所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.
因为PH平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD平面ABCD，
所以PH⊥平面ABCD.
(2)如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.
因为E是PB的中点，所以EG∥PH，
且EG＝PH＝.
因为PH⊥平面ABCD，
所以EG⊥平面ABCD.
因为AB⊥平面PAD，AD平面PAD，所以AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形，
所以VE－BCF＝S△BCF·EG＝··FC·AD·EG＝.
(3)取PA中点M，连接MD，ME.
因为E是PB的中点，所以ME平行且等于AB.
又因为DF平行且等于AB，所以ME平行且等于DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.
因为PD＝AD，所以MD⊥PA.
因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.
因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.
(2013·高考全国大纲卷理)如图，四棱锥 都是等边三角形.
（1）证明：
（2）求二面角
【解析】（1）取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作，垂足为O.连接OA，OB，OD,OE．
由和都是等边三角形知PA=PB=PD，
所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，
故OEBD，从而PBOE．
因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OECD，因此PBCD．
（2）解法一：由（1）知CDPB，CDPO，PBPC=P，
故CD平面PBD．
又PD平面PBD，所以CDPD，
取PD的中点F，PC的中点G，连FG，
则FG//CD，FGPD．
连结AF，由为等边三角形可得AFPD．
所以AFG为二面角A—PD—C的平面角．
连结AG，EG，则EG//PB．
又PBAE，所以EGAE．
设AB=2，则AE=，EG=PB=1．
故AG==3．
在APG中，FG=CD=，AF=，AG=3，
所以．
因此二面角A—PD—C的大小为—．
对比分析：
1.考查知识点：课本题、2012广东高考、2013高考全国大纲卷理共同考查的知识点是直线与平面垂直的判定与性质；课本题、2012广东高考考查线面垂直的判断与性质及三棱锥的体积求法；2013高考全国大纲卷理考查线面垂直的性质和二面角的求解方法．
2．考查的方式：课本题、2012广东高考、2013高考全国大纲卷理都是是解答题．
3．命题的思路：课本题、2012广东高考、2013高考全国大纲卷理通过考查直线与平面垂直的判定与性质，考查学生对直线和平面垂直的常用方法的掌握情况，考查学生转化与划归能力、空间想象能力和推理论证能力，同时考查学生对线面、面面关系的综合应用情况．
4．进一步挖掘的价值：通过近两年的高考试题看，线线、线面、面面垂直的判定与性质的应用是考查的热点，主要考查空间想象能力和推理论证能力，以及转化与划归能力．题型主要以解答题的形式考查，规范解答至关重要．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
2.面面垂直的判定与性质
【教材原题】课本69页例题3
例3　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明　设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC.
因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线．所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC.
【高考题或模拟题】
(2012·浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【答案】B
【解析】　设α∩β＝a，若直线l∥a，且lα，lβ，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．
(2012年高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
[证明]　(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又AD平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD平面ADE，A1F平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
(2012·课标全国卷)如图7－5－3，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
【分析】　(1)证明DC1⊥平面BDC.
(2)先求四棱锥B—DACC1的体积，再求三棱柱ABC—A1B1C1的体积．
【解析】(1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.
又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1.
由题意得
V1＝××1×1＝.
又三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1.
故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
对比分析：
1.考查知识点：课本题、2012浙江高考、2012年高考江苏卷、2012课标全国卷共同考查的知识点是面面垂直的判定与性质；2012浙江高考同时考查面面平行、面面垂直、线面垂直的判断与性质；2012年高考江苏卷同时考查平面与平面平行的判定与性质；2012课标全国卷同时考查几何体的体积．
2．考查的方式：课本题、2012年高考江苏卷、2012课标全国卷都是是解答题；2012浙江高考是选择题．
3．命题的思路：课本题、2012山东高考共同通过对面面垂直的判定与性质的考查，考查学生转化与划归能力、空间想象能力和推理论证能力，同时考查学生对线面、面面关系的综合应用情况．
4．进一步挖掘的价值：通过近两年的高考试题看，线线、线面、面面垂直的判定与性质的应用是考查的热点，主要考查空间想象能力和推理论证能力，以及转化与划归能力．题型主要以解答题的形式考查，规范解答至关重要．