【中国好题源】2013-2014学年高中数学人教版必修二：第四章 圆与方程 教材原题+高考题+模拟题（含答案详解）

必修2好题源第四章圆与方程
一、求圆的方程
【教材原题】1.课本122页例题3
例3　已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
解:　因为A(1,1)，B(2，－2)，所以线段AB的中点D的坐标为 (，－)，直线AB的斜率kAB＝＝－3，因此线段AB的垂直平分线l′的方程是y＋＝(x－)，即x－3y－3＝0.圆心C的坐标是方程组的解．解此方程组，得
所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆心为C的圆的半径长r＝|AC|＝＝5.
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
【教材原题】2.课本122页例题4
例4：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.
解：设所求的圆的方程为：
∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：；得圆心坐标为（4，-3）.
或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3) .
【高考题或模拟题】
(2012·枣庄高一检测)求圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线y＝－x＋1相切于点(2，－1)的圆的方程，并判断点O(0,0)，A(1,2－)与圆的位置关系．
[分析] 先求出圆的方程，再判断点与圆的位置关系．
【解析】　因为圆心在直线2x＋y＝0上，故设圆心为(a，－2a)，又圆与y＝－x＋1相切点(2，－1)，所以＝，解得a＝1.
所以圆心为C(1，－2)，半径r＝＝.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
∵|OC|＝>＝r，
∴点O在圆C外；|AC|＝＝＝r，
∴点A在圆上．
(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
【解析】(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0) ， (3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，
解得t＝1.则圆C的半径为＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.
从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.　　①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.　　②
由①，②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.
对比分析：
1.考查知识点：课本题1与2012枣庄高一检测考查几何性质法求圆的标准方程；课本题2与2011课标全国卷考查定系数法求圆的方程；2011课标全国卷同时考查利用“设而不求”的方法技巧解决直线与圆的问题; 2012枣庄高一检测同时考查了点与圆的位置关系.
2．考查的方式：课本题1、2012枣庄高一检测、课本题2、2011课标全国卷都是解答题.
3．命题的思路：课本题1、2012枣庄高一检测、课本题2、2011课标全国卷通过求圆的方程考查学生对圆的标准方程与一般方程的掌握情况，以及学生对用代数方法处理几何问题的思想的应用程度.
4．进一步挖掘的价值：从近几年高考看，圆的方程的求法(代数法与几何法 )每年均有涉及，是高考的必考点，命题形式主要有两大类，一是以选择题、填空题的形式考查圆的定义及标准方程的求法，另一类是与直线、向量、圆锥曲线综合命题，注重数形结合思想及圆的几何性质的考查，在求解与圆有关的解答题时，应注意解题的规范化．
二、直线与圆的位置关系
【教材原题】课本127页例题2
已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
解：将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25，
所以，圆心的坐标是(0，－2)，半径r＝5.
如图，因为直线被圆截得弦长为4，
所以，弦心距为＝，
由题意知，直线斜率存在，故设过点M的直线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.
由弦心距为，得＝，
解得k＝－，或k＝2.
所以，所求直线方程有两条，它们的方程分别为x＋2y＋9＝0，或2x－y＋3＝0.
【高考题或模拟题】
(2012·福建卷)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于(　　)
A．2　　　　　　　　 B．2
C. D．1
【解析】B　∵圆心到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝1，半径r＝2，
∴弦长|AB|＝2＝2＝2.
【答案】B　
（2013高考安徽文数6）直线被圆
截得的弦长为（　　）
A．1 B．2
C．4 D．
【分析】求出圆的圆心坐标、半径，利用点的直线距离，求弦心距，利用弦心距、半径、半弦构成的直角三角形求弦长.
【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.故选Ｃ.
（2013高考陕西文数8）已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【分析】本题中有两个参数a,b，利用点M在圆上判断两参数关系，利用圆心到直线距离与半径关系，判断直线与圆的关系.
【答案】B
【解析】点M(a,b)在圆圆的半径为1，, ，故直线与圆相交.所以选B.
(2013天津卷文数5) 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）
A． B．1
C．2 D．
【分析】本题是知直线与圆相切求参数问题.首先判断点P在圆上，切线只有一条，利用切线与直线垂直，同时也与圆心C与切点连线CP垂直，转化为CP与直线平行，利用二直线平行求参数；或者设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径，求参数.
【解析】法一：点P(2,2) 坐标代入圆方程成立，所以点P在圆上，过P的切线只有一条，圆心与点P的连线和切线垂直，而切线又与与直线垂直，所以直线CP与直线平行，，即,选C.
法二：点P(2,2) 坐标代入圆方程成立，所以点P在圆上，过P的切线只有一条，设切线斜率为，则切线方程为，即，圆心到切线的距离，即，解得.因为切线与直线垂直，所以， 即,选C.
对比分析：
1.考查知识点：课本题、2012·福建卷、2013高考安徽文数6、2013高考陕西文数8、2013天津卷文数5共同考查的知识点是直线与圆的位置关系；课本题考查由过定点的直线被圆解得的弦长求直线方程；2012·福建卷、2013高考安徽文数6考查的直线与圆相交求弦长问题.
2013高考陕西文数8考查的是根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2013天津卷文数5由直线与圆相切求参数问题.
2．考查的方式：课本题是解答题；2012·福建卷、2013高考安徽文数6、2013高考陕西文数8、2013天津卷文数5都是选择题.
3．命题的思路：课本题、2012·福建卷、2013高考安徽文数6、2013高考陕西文数8、2013天津卷文数5通过考查直线与圆的位置关系考查学生对解析几何初步知识的掌握情况；考查学生用直线和圆的方程解决一些简单的问题的能力和数形结合的能力.
4．进一步挖掘的价值：从近几年高考看，直线与圆的位置关系是常考内容，单独常考题有运用代数法或几何法判断直线与圆的位置关系、求弦长、求交点坐标、求弦中点轨迹、知弦长求参数等，有时也与其它知识结合考查.即有选择、填空题，又有解答题，常常出现一些创新形式的问题，在近几年的高考备考中要给予重视.
三、圆与圆的位置关系
【教材原题】1.课本129页例题3
例3　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．
解：方法一：圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组
①－②，得x＋2y－1＝0，即y＝，将y＝代入①，并整理，得x2－2x－3＝0.由Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，所以，x2－2x－3＝0有两个不相等的实数根x1，x2，把x1，x2分别代入方程x＋2y－1＝0，
得到y1，y2.因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，即圆C1与圆C2相交．
方法二：把圆C1的方程化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25.圆C1的圆心是点(－1，－4)，半径长r1＝5.把圆C2的方程化成标准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝10.圆C2的圆心是点(2,2)，半径长r2＝.圆C1与圆C2连心线的长为＝3，圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋，两半径长之差r1－r2＝5－.而5－＜3＜5＋，即r1－r2＜3＜r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交．
【教材原题】2.课本132页习题4.2A组4
求圆心在直线x－y－4＝0上，并且过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0.
圆心为，由题意得－＋－4＝0，
∴圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.
【高考题或模拟题】
(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2) 2＋(y－1) 2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－2（2013高考重庆理数7）已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题给条件判断出两圆内含，数形结合，作圆关于x轴的对称圆，把求的最小值问题转化为、M、P、、共线问题，即为最小值.
【解析】由题圆圆心（2,3）半径与圆圆心（3,4）半径，，知圆与圆内含，如图，作圆关于x轴的对称圆：，
则,由图可知当、M、P、、在同一直线上时，取最小值，即为,故选A.
(2012·威海模拟)如果圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，0)∪(0,2) B．(－2，2)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,1)
【解析】问题转化为“圆x2＋y2＝4与圆(x－a)2＋(y－1)2＝1相交时，求实数a的取值范围”，由R－r＜|OC|＜R＋r，得1＜＜3.∴0＜|a|＜2.故a的取值范围是： (－2，0)∪(0,2)．
对比分析：
1.考查知识点：课本129页例题3、课本132页习题4.2A组4、2012山东高考、2013高考重庆理数7、2012威海模拟共同考查的知识点是圆与圆的位置关系；课本129页例题3、2012山东高考考查已知两圆的方程判断两圆的位置关系；课本132页习题4.2A组4考查的是求过两圆交点的圆的方程；2013高考重庆理数7考查与两圆位置有关的最值问题，考查转化与划归思想；2012威海模拟考查两圆相交求参数问题.
2．考查的方式：课本129页例题3、课本132页习题4.2A组4是解答题；2012山东高考、2013高考重庆理数7、2012威海模拟是选择题.
3．命题的思路：课本129页例题3、课本132页习题4.2A组4、2012山东高考、2013高考重庆理数7、2012威海模拟通过圆与圆的位置关系考查学生对圆与圆的位置关系的掌握情况，考查学生转化与划归能力、数形结合能力、计算能力.
4．进一步挖掘的价值：通过对近几年高考试题的分析可以得出，高考要求能够运用代数法或几何法判断圆与圆的位置关系，可以借助方程的判别式来研究位置关系，也可以利用两圆心距离与半径的关系来判断，即有选择、填空题，又有解答题，常常出现一些创新形式的问题，在近几年的高考备考中要给予重视.
四、与圆有关的最值
【教材原题】课本132页练习3题
某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
【解析】　建立如图所示的坐标系．依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0)．
设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
于是有
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m,3＜3.1，
所以该船可以从桥下穿过．
【高考题或模拟题】
(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
【答案】　
【解析】　圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值为.
(2012·天津卷)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
【答案】3
【解析】由直线与圆相交所得弦长为2，
知圆心到直线的距离为，即＝，
所以m2＋n2＝≥2|mn|，所以|mn|≤，
又A，B，
所以△AOB的面积为≥3，最小值为3.
（2013高考重庆文数4）设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A.6 B.4 C.3 D.2
【分析】的最小值即是圆上点与直线上点距离最小，可以转化为圆心到直线距离减去半径.
【答案】B
【解析】的最小值为圆心到直线距离减去半径.因为圆的圆心为C，
半径为2，圆心C到直线的距离为，所以的最小值为6-2=4，故选B.
(2013·青岛模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)、B(1,0)，点P是圆上的动点，则d＝|PA|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．
【分析】设出点的坐标，建立函数关系式，再利用圆的几何性质求最值．
【答案】　74　34
【解析】　设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，
设u＝，则由题意知u的最大值为6，u的最小值为4，
故d的最大值为74，最小值为34.
(2013·成都质检)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】　B
【解析】　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1,3)半径r＝，由题意知AC⊥BD，且AC＝2，|BD|＝2＝2，所以四边形ABCD的面积为
S＝|AC|·|BD|＝×2×2＝10.
对比分析：
1.考查知识点：课本132页练习3题、2012江苏卷、2012天津卷、2013高考重庆文数4、2013青岛模拟、2013成都质检共同考查的知识点是与圆有关的最值问题；课本132页练习3题直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题；2012江苏卷、2012天津卷、2013高考重庆文数4利用直线与圆的方程解决最值问题；2013青岛模拟考查圆外一点与圆上一点的距离的最值问题、2013成都质检考查过圆内一点的弦的最值问题.
2．考查的方式：课本132页练习3题是解答题；2013高考重庆文数4、2013成都质检是选择题；2012江苏卷、2013青岛模拟、2012天津卷是填空题.
3．命题的思路：课本132页练习3题、2012江苏卷、2012天津卷、2013高考重庆文数4、2013青岛模拟、2013成都质检通过考查与圆有关的最值问题，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力、将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题的能力.
4．进一步挖掘的价值：从近几年高考试题可以看出，高考要求能够运用代数法或几何法解决与直线、圆有关的最值问题，即有选择、填空题，又有解答题，注意转化与化归的思想方法的应用.