6.1 平面向量的概念 同步练习（含解析）

6.1 平面向量的概念
如图所示，、是线段的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量有多少个( )
A. B. C. D.
给出下列四个命题：
若，则；
若，，，是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件；
若，，则；
的充要条件是且其中正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
下图中与向量相等的向量是( )
A. B. C. D.
下列向量中，不是单位向量的是( )
A.
B. ，
C. ，
D. ，
下列叙述中错误的是( )
A. 若，则
B. 已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
C. 若，，则
D. 对任一非零向量，是一个单位向量
给出下列四个条件中能使成立的条件是( )
A. B.
C. 与方向相反 D. 或
下面几个命题：
若，则；
若，则；
若，则；
若向量满足，则．
其中正确命题的是
如图所示，已知四边形是矩形，为对角线与的交点，设点集，向量的集合，且，不相等，则集合有 个元素．
如图，分别用向量表示地至，两地的位移，并根据图中的比例尺，求出地至，两地的实际距离精确到．
在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：
，点在点正南方向；
，点在点北偏西方向；
，点在点南偏西方向．
下列各组中的两个量是不是向量？如果是向量，说明它们是不是平行向量．
两个平面图形各自的面积
停放在广场上的两辆小汽车各自受到的重力
小船驶向河对岸的速度与水流速度．
浮在水面的物体受到的重力与浮力．
一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进，，按此方法继续操作下去．
作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为？
按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的概念及几何表示、单位、零、共线、相反、相等向量的概念，属于基础题．
根据概念直接写出符合条件的向量，即可求出结果．
【解答】
解：设的长度为，
个单位长度的向量有，，，，，，个，
个单位长度的向量有，，，，个，
个单位长度的向量有， ，个，
因此，共个，
但其中，，，，
因此互不相等的向量最多只有个．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量相等和向量的模，属于中档题．
对于，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知正确；对于，根据向量相等的概念分析可知正确；对于，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知不正确．
【解答】
解：对于，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故错误；
对于，因为，，，是不共线的四点，且等价于且，即等价于四边形为平行四边形，故正确；
对于，若，，则；显然正确，故正确；
对于，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”不是“”的充要条件，故不正确，
故选：

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相等向量的概念，相等向量需要长度相等且方向相同，属于基础题．
【解答】
解：由相等向量的概念可知：
与向量相等的向量是，
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了单位向量的概念，以及向量的模的计算，着重考查了推理与论证能力，属于拔高题．
熟记单位向量的概念，熟练利用向量的模的计算公式求解．
【解答】
解：由题意，根据向量的模的计算公式，可得：
对于中，向量，
则，所以向量为单位向量；
对于中，向量，
则，
所以向量不是单位向量；
对于中，向量，则，
所以向量为单位向量；
对于中，向量，
则，所以向量为单位向量，
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的基本性质和共线向量，属于基础题．
根据向量的基本性质和共线向量进行判断即可
【解答】
解：，向量无法比较大小，故A错误；
，共线向量的方向相同或相反，故B正确；
，若是零向量，则不成立，故C错误；
，对任一非零向量，是一个与方向相同且模长为的单位向量，故D正确．
故选AC．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的模．
根据共线向量的概念一一判断即可．
【解答】
解：因为与为相等向量，所以，即能够使成立；
由于并没有确定与的方向，即不能够使成立；
因为与方向相反时，，即能够使成立；
因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立
故使成立的条件是．
故选ACD．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量相等和共线，属于中档题．
对于，由相等向量的定义判断即可；对于，若，则可得，而不是向量为零；对于，当两向量的模相等时，不一定有两个向量相等；对于，当两共线向量的模相等时，则这两向量相等或是相反向量．
【解答】
解：对于，由相等向量的定义可知，时，则有，所以正确；
对于，当时，则有，所以错误；
对于，当时，与的方向不一定相同，所以错误；
对于，当向量满足时，
有或，所以错误．
故答案为：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查向量与集合的综合，属于较难题．
通过向量的表示得集合的元素，注意排除向量相等的情况．
【解答】
解：点集，向量的集合且，不重合，
，
但是其中，，，，，，，，
故中元素有个，
故答案为．

9.【答案】解：表示地至地的位移，且
表示地至地的位移，且．
【解析】本题主要考查了一个简单的实际应用问题，要求用向量表示位移，目的在于巩固向量概念及其几何意义，属于基础题．
由图量出长度，再根据比例尺求出长度．
10.【答案】解：根据题意，在如图所示的坐标纸中，画出对应的向量如下：

【解析】本题考查了在如图所示的坐标纸中，画出对应向量的应用问题，是基础题．
根据题意，在图中的坐标纸中，画出对应的向量即可．
11.【答案】解：由于面积是数，只有大小，故不是向量．
由于重力既有大小又由方向，故是向量．又重力所在直线与底面都垂直，故两辆小汽车各自受到的重力是平行向量；
由于速度既有大小又由方向，故是向量，但是小船驶向河对岸的速度与水流速度的方向既不相同也不相反，所以不是平行向量；
由于重力与浮力既有大小又有方向，所以是向量；由于重力与浮力的方向相反，所以重力与浮力是平行向量．

【解析】解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，解题时要特别注意零向量的特殊性．
先根据所给的量是否具有大小和方向进行判断是否为向量；若是向量，再根据平行向量的定义进行判断．
12.【答案】解：记出发点．
当时，如图，赛车行进路线构成一个正八边形，最少操作次可使赛车的位移为，赛车所行路程是．
当时，如图，赛车行进路线构成一个正三角形，最少操作次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为；
当时，如图，赛车行进路程构成一个正方形，最少操作次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为；
当时，如图，赛车行进路线构成一个正六边形，最少操作次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为．


【解析】位移为表明赛车最后回到了出发点，作图时要弄清题意；
讨论不同的的值求解即可．
本题考查了数学阅读能力，考查了分类讨论思想，属于较难题．
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