2.1.1 倾斜角与斜率 同步练习（含解析）

2.1.1 倾斜角与斜率
斜率不存在的直线一定是( )
A. 过原点的直线 B. 垂直于轴的直线
C. 垂直于轴的直线 D. 垂直于坐标轴的直线
过点和点的直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
若直线的向上方向与轴的正方向成角，则的倾斜角为( )
A. B. C. 或 D. 或
已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. 或 B. C. D.
在直角坐标系中，已知点，，过的直线交轴于点，若直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，则( )
A. B. C. D.
年月日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．年公布的国旗制法说明中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点。有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近。为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，与轴所成的角，则第三颗小星的一条边所在直线的倾斜角约为( )
A. B. C. D.
已知点，若，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
下列说法中正确的是( )
A. 若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；
B. 每一条直线都对应唯一的一个倾斜角；
C. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或；
D. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．
如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
已知倾斜角为的直线经过点，，则
经过，两点的直线的方向向量为，则 ．
已知直线经过三点，，，则直线的斜率 ， ．
求图中直线，，的斜率．
已知，，三点．
若过，两点的直线的倾斜角为，求的值．
，，三点可能共线吗？若能的，求出值．
已知点，，点在线段上求直线的斜率；
求的最大值．
设，，是函数的图象上任意三个不同的点．求证：若，，三点共线，则．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
根据直线斜率与倾斜角的关系即可得到答案．
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，牢记直线的倾斜角为时，其斜率不存在，属基础题．
【解答】
解：直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，
故直线垂直于轴．
所以本题答案为．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．
设直线的倾斜角是，则，且，由此求得的值．
【解答】
解：设直线的倾斜角是，则，
直线的斜率，
所以直线的倾斜角．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
作出图形，可得出直线的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角，属于基础题．
【解答】
解：直线的位置可能有两种情形，
如图所示，故直线的倾斜角为或．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的的倾斜角和斜率，属一般题．
根据条件结合图形即可得出结果．
【解答】
解：点，，直线过且与线段相交，
则的斜率满足：或，
又，
所以或．
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的斜率公式和二倍角公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
设直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，即有，运用两点的斜率公式和二倍角公式，解方程可得的值．
【解答】
解：设直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，
即有，
由，，
即有，
解得．
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的倾斜角，属于中档题．
过作轴平行线，将减去即可．
【解答】
解：过作轴平行线，则．
由五角星的内角为，可知，
所以直线的倾斜角为，
故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线的倾斜角和斜率，属于基础题．
依题意表示出，再根据的取值范围及斜率与倾斜角的关系计算可得．
【解答】
解：因为，所以，
因为，所以，
设倾斜角为，，则，
所以；
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的倾斜角与斜率，属基础题．
对于，由直线的斜率与直线的倾斜角的关系可判定；对于，分直线的斜率存在与直线的斜率不存在两种情况讨论可判定；对于，分直线与轴垂直与直线与轴垂直讨论可判定；对于，由时直线的斜率不存在可判定．
【解答】
解：对于，由直线的斜率与直线的倾斜角的关系可得，
对于每一个，都有唯一的一个与之对应，故若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应，故A正确；
对于，若直线的斜率存在，由可得，每一条直线都对应唯一的一个倾斜角；
若直线的斜率不存在，则与之对应故每一条直线都对应唯一的一个倾斜角，故 B正确；
对于，若直线与轴垂直，则；若直线与轴垂直，则，故C正确；
对于，由直线的斜率与直线的倾斜角的关系可得，当时，直线的斜率不存在，故D错误．
故选ABC．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的倾斜角和斜率的概念，属于基础题．
根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论．
【解答】
解：如图，直线，，的斜率分别为，，，
倾斜角分别为，，，
则，，
故，且为钝角，
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查的是直线的倾斜角与斜率问题，属于基础题．
根据题干求得，进而可得结果．
【解答】
解：倾斜角为的直线经过点，，
所以，
解得：．
故答案为．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线的斜率公式和直线的方向向量，属于基础题．
根据直线的斜率公式即可求出．
【解答】
解：经过，两点的直线的方向向量为，
，解得，
故答案为．

12.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查过两点的斜率公式的掌握程度以及运用特殊与一般的思想进行运算求解的能力，属于基础题．
根据两点坐标求出直线的斜率即可，再由斜率即可求另一点的纵坐标．
【解答】
解：直线的斜率，
直线的斜率，，
故答案为；．

13.【答案】解：由已知坐标系分别得到，，，原点，
所以直线的斜率为，
直线的斜率为，
直线的斜率为．
【解析】本题考查直线的斜率公式，属于基础题根据坐标系中提供的点的坐标，利用斜率公式即可得到所求．
14.【答案】解：过，两点的直线的斜率为，
又直线的倾斜角为，所以，得．
，，
若，，三点共线，则有，即，解得，
所以，，三点能共线，且．

【解析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，以及斜率公式得，即可求得的值；
三点共线，则任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式，可求的值．
本题考查了斜率公式，考查了斜率与倾斜角的关系；判断、、三点共线的方法．
15.【答案】解：由题意知，直线的斜率；
当点在、两点之间时，
由点在线段上，
易知，即，
即
当与、重合时也满足，
因此，
亦即，且，，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
【解析】本题考查直线的斜率，运用基本不等式求最值，属于中档题．
直接由两点求斜率公式可得直线的斜率；
由题意求出的坐标满足的关系，然后用基本不等式求最值即可．
16.【答案】证明：，，是三个不同的点，
，，互不相等．
，，三点共线，
，
即，
，
整理，得，即．
，
．
【解析】本题考查由三点共线的直线的斜率之间的关系，证明等式．
由，，三点共线，得，即，化简整理得结论．
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