2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 同步练习（含解析）

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
已知直线过，，且，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
直线的斜率是，直线经过点，，，则的值为( )
A. B. C. D.
已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断
已知，，，若平面内一点满足，且，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
已知两点，直线过点，且交轴于点，是坐标原点，且，，，四点共圆，那么的值是( )
A. B. C. D.
过点，的直线与直线平行，又直线的斜率为，则与满足( )
A. B. C. D.
直线的倾斜角为，点在直线上，直线绕点按逆时针方向旋转后到达直线的位置，此时直线与平行，且是线段的垂直平分线，其中，，则等于( )
A. B. C. D.
下列命题中，正确的是( )
A. 若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行
B. 若两直线平行，则它们的斜率相等
C. 若两直线的斜率之积为，则它们垂直
D. 若两直线垂直，则它们的斜率之积为
已知，，，，且直线与平行，则的值为( )
A. B. C. D.
直线过点和，直线绕点顺时针旋转得直线，那么的斜率是 ．
已知直线的倾斜角为，点，在直线上，若，则的值是 ．
已知直线的倾斜角为，，则的斜率 ，的倾斜角 ．
已知，，，求一点，使四边形为直角梯形按逆时针方向排列则点坐标为 ．
已知直线经过点，，直线经过点，．
当时，试判断直线与的位置关系
若，试求实数的值．
在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中试判断四边形的形状．
如图，在平行四边形中，已知点．
求所在直线的斜率．
过点作于点，求所在直线的斜率．
已知，，．
求点的坐标，满足，．
若点在轴上，且，求直线的倾斜角．
已知直线，，的斜率分别为，，，其中，且，是方程的两根．
试判断，的位置关系
求的值．
已知矩形的周长为，分别是边上的点，且若，求这个矩形的面积．建立关于矩形的坐标系，合理利用线线垂直，求解长，宽
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的斜率，考查两条直线垂直关系的运用，比较基础．
求出直线的斜率，利用直线，求出直线的斜率．
【解答】
解：，，
，
直线，
直线的斜率为．
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线相互平行与斜率的关系，属于基础题．
根据题意，可得：直线的斜率，即可得解．
【解答】
解：由题意，直线的斜率是，，
所以直线的斜率，
解得，
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两条直线垂直的判定，属于基础题．
由，所以，即可得出三角形的形状．
【解答】
解：由题意得，，
，
，
为直角三角形，
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两条直线平行的判定、两条直线垂直的判定、直线的斜率公式．
设，由题意得出，，即可求出结果．
【解答】
解：设，
由，且，知，，
则
解得，即．
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了垂直的两直线的斜率关系和过两点的直线的斜率公式，属于基础题．
解题的关键是理解四点共圆的性质，由，根据，求出的值．
【解答】
解：因为、、、四点共圆，
所以，
所以，
所以，
解得，
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线的斜率，两条直线平行的判定，属于基础题．
根据题意，可得，计算得结论．
【解答】
解：依题意，直线与平行，且直线的斜率为，
故，
所以．
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两直线平行、垂直的性质，斜率公式的应用．
由直线的倾斜角和逆时针旋转后到达直线的位置，可知直线的斜率，对直线的斜率是否存在分类讨论，结合，即可解得的值．
【解答】
解：直线的倾斜角为，点在直线上，直线绕点按逆时针方向旋转后到达直线的位置，
直线的倾斜角为，
则直线的斜率，
当时，直线的斜率不存在，此时的斜率为，不满足；
当时，由，，则直线的斜率，
线段的垂直平分线的斜率为，
直线与平行，
，即，
解得．
故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题的真假判断，直线平行、垂直与斜率的关系，属于中档题．
根据题意，逐项判断即可．
【解答】
解：对于，两条不重合的直线斜率相等，则两条直线平行，故选项A正确；
对于，如果两条直线都垂直轴，这两条直线也平行，但这两条直线的斜率都不存在，故选项B错误；
对于，两直线的斜率之积为，则这两条直线一定垂直，故选项C正确；
对于，如果一条直线斜率为，一条直线垂直轴，则这两条直线垂直，故选项D错误．
故选AC．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的斜率公式，两条直线平行的条件，属于基础题．
分斜率存在和不存在两种情况，当斜率不存在时两直线是平行的，由此即可求出值；当斜率存在时，因为两直线平行，则两直线的斜率相等，由此即可列出的方程，从而求出的值．
【解答】
解：当与的斜率均不存在时，，此时，经检验，满足题意；
当与的斜率均存在时，因为，
所以，
所以，解得，
经检验，满足题意；
综上，的值为或，
故选BC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题是一道关于直线的题目，掌握直线倾斜角与斜率的关系以及两直线垂直时斜率的关系是解题的关键，属于基础题．
由题意可知直线与直线 垂直，根据斜率的乘积为求解．
【解答】
解：直线的斜率，
直线的倾斜角．
又因为直线与垂直，
，
得．
故答案为．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线斜率公式，考查直线平行的判断，属于基础题．
利用斜率公式及斜率相等列方程求解即可．
【解答】
解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又，则，解得．
故答案为．

12.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查两条直线垂直的判断，考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
由，得直线的斜率，即可求的倾斜角．
【解答】
解：直线的倾斜角为，
则直线的斜率为，
因为，
所以直线的斜率，
因为，
则倾斜角．
故答案为，．

13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查直线的斜率，两直线垂直的判定．
设所求点的坐标为，分别求出和的斜率，可证明与不垂直，然后分为且，且，两种情况讨论即可．
【解答】
解：设所求点的坐标为．
由，，
得，
与不垂直．
若，，
，直线的斜率不存在，即，
又，，
即，此时与不平行．
所求点的坐标为．
若，，
，，
，
解得，此时与不平行．
所求点的坐标为
综上，可知使四边形为直角梯形的点的坐标为或

14.【答案】解：当时，，，，直线的斜率为，直线的斜率为，
故，
又，，从而．
，即的斜率存在，
若，
当时，，则，，直线的斜率存在，不符合题意，舍去
当时，，故，解得或．
综上，实数的值为或．

【解析】本题考查斜率公式以及两直线位置关系的判断，属基础题．
利用斜率公式，求得直线与的斜率，进而判断位置关系．
由的斜率存在，且，分情况讨论可求出的值．
15.【答案】解：由斜率公式，得，
，
，
．
，，
，，
四边形为平行四边形．
又，
，
四边形为矩形．

【解析】本题主要考查直线的斜率公式及直线平行垂直的判断方法，属于一般题．
利用直线平行与垂直的条件及斜率公式可得，，又，即可得出结论．
16.【答案】解：由，，得，
即所在直线的斜率为．
，．
，，
即．
即所在直线的斜率为．

【解析】此题考查学生会根据两点的坐标求出过两点直线方程的斜率，掌握两直线平行时斜率所满足的条件，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道中档题．
根据原点坐标和已知的点坐标，利用直线的斜率，求出直线的斜率；
根据平行四边形的两条对边平行得到平行于，又垂直与，所以垂直与，由求出的直线的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为，求出所在直线的斜率．
17.【答案】解：设，
由已知得，又，可得 即，
由已知得，又，可得，即，
联立求解得，，
．
设，
，
又，，
解得，
，又，
轴，
故直线的倾斜角为．
【解析】本题主要考查了过两点的斜率公式以及两条直线平行、垂直与斜率的关系，熟练掌握斜率公式是解题的关键．
设，根据得出，然后由得出，解方程组即可求出的坐标．
设由得出，解方程求出的坐标，然后即可得出结果．
18.【答案】解：，是方程的两根，
解方程得或，
，．
又，．
即，的位置关系为．
，
．
由知，或．
或．

【解析】本题考查两条直线平行与斜率的关系，属于中档题．
根据，是方程的两根，可证得，又因为，所以．
根据，可得，结合第问可得答案．
19.【答案】 解：以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立直角坐标系，
设，，
则，由，
得
解得，，
矩形的面积．

【解析】本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于基础题以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立直角坐标系，写出各点坐标，由两条直线垂直，解方程即可．
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