2.2.2 直线的两点式方程 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.2.2 直线的两点式方程 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 227.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-18 17:48:03 | ||
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文档简介
2.2.2 直线的两点式方程
过点，的直线方程为( )
A. B. C. D.
在轴和轴上的截距分别为和的直线方程是( )
A. B. C. D.
已知直线的两点式方程为，则的斜率为( )
A. B. C. D.
下列结论正确的是( )
A. 经过点的直线都可以用方程表示．
B. 经过定点的直线都可以用方程表示．
C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示．
D. 不经过原点的直线都可以用方程表示．
直线过第一、三、四象限，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于( )
A. B. C. D.
已知直线过点，且在两坐标轴上的截距的乘积是，则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
过点作直线，若经过点和，且，，则可作出的的条数为( )
A. B. C. D.
过点作直线与两坐标轴相交所得三角形面积为，直线有( )
A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条
若直线的斜率为，它在轴上、轴上的截距分别等于，，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是( )
A. B.
C. D.
直线过，两点，点在上，则的值为 ．
过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ．
经过点，且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程为 ．
已知直线经过点，且与，轴分别交于，两点，当为的中点时，直线的方程为 ．
直线经过点，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程
已知两点，，动点在线段上运动，则的最大值为 ．
根据下列条件．分别写出直线的方程：
过点，斜率为；
过点，与轴垂直；
斜率为，在轴上的截距为；
斜率为，在轴上的截距为；
过点，；
过点，．
已知的三个顶点为，，．
分别求边和所在直线的方程
分别求边上中线、高所在的直线、边的垂直平分线所在直线的方程；
已知直线．
如果直线的斜率为，求实数的值．
如果直线与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线的方程．
一根铁棒在时长，在时长已知长度而与温度的关系可以用直线方程来表示，试用两点式表示这个方程；并根据方程，求铁棒在时的长度．
已知直线过点，且与轴、轴的正方向分别交于，两点，分别求满足下列条件的直线方程：
时，求直线的方程．
当的面积最小时，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的两点式方程，属基础题．先写出直线的两点式方程，再化为一般式方程即可．
【解答】
解：由题意可得直线的两点式方程为：，
化为一般式方程可得：．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程，属于基础题．
根据直线截距式方程即可求得结果．
【解答】
解：题意知，
代入直线的截距式方程可得：．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线斜率，解题关键在于掌握直线的两点式方程，属于基础题．
根据题意，由直线的两点式方程，化为斜截式方程，可求出直线斜率．
【解答】
解：由直线的两点式方程为可得出：
．
所以直线的斜率为．
故选A．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查直线的点斜式、斜截式及截距式方程所满足的条件，会利用两点坐标过两点直线的两点式方程，属于中档题．
A、、选项中都是有条件限制才能写出直线方程的，条件是斜率存在或与坐标轴的截距存在，选项中的方程不受限制只需两点坐标即可，得到正确答案．
【解答】
解：选项中过的方程为直线的点斜式方程，当直线与轴平行即斜率不存在时，例如，就不能写成此形式，此选项错；
选项中过点的直线方程为直线的斜截式方程，当直线与轴平行时即斜率不存在时，例如，就不能写成此形式，此选项错；
选项中过两点的方程为直线的两点式方程，不存在条件的限制，所以此选项正确；
选项中当直线与坐标轴平行时例如，与轴没有交点且不过原点，但是不能直线的截距式，此选项错．
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程，属于基础题．
根据直线过第一、三、四象限，直接得出答案．
【解答】
解：若直线过第一、三、四象限，则．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是直线的两点式方程，属于基础题．
先用直线的两点式方程求出直线方程，再利用在轴上的截距求出的值，即可得出答案．
【解答】
解：由直线在轴上的截距是知，
故直线的方程为，
当时，则，
解得：．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程，属于中档题．
设出直线截距式方程，代入数据求解，最后转化为斜截式即可．
【解答】
解：设直线的方程，则
解得或
直线的方程为或，
即或．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线方程，不定方程正整数解问题，属于中档题．
利用直线截距式设出直线方程，代入点，转化为不定方程的正整数解问题，求解即可．
【解答】
解：设直线方程为，则有，
整理得，，，
是的约数，或，
或，
综上或，
即符合题意的直线有两条，
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线的截距式方程，涉及二元一次方程解的个数问题，属于拔高题．
根据题意设方程，已知直线过点，可得，根据直线与坐标轴围成的三角形面积为，可知，分和两种情况讨论，构造二次方程，利用判断方程的解的个数，即可得出结论．
【解答】
解：根据题意设方程，已知直线过点，可得，
根据直线与坐标轴围成的三角形面积为，可知，
当时，，
即、为方程的解，
，方程有两个不同的解，
当时，，
即、为方程的解，
，方程有两个不同的解，
综上，、共有四组解，则满足条件的直线方程有四个，
故选D．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线的截距式方程和一般式方程，属基础题．
利用直线的截距式写出方程，求出斜率，可得结论．
【解答】
解：因为直线在轴，轴上的截距分别为，，
所以直线的方程为，
因为直线过点，，因此直线的斜率为，
又因为直线的斜率为，所以，
因此直线的方程为，即．
故选D．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的方程，直线的图像分析属于中档题．
方法一：根据，同号，排除选项C，，假定排除选项B即可；
方法二：将直线，的方程化为截距式求解即可．
【解答】
解： 方法一 ：直线的斜率，直线的斜率，
可知，同号，故排除选项C，
只有当时，才和平行，
假定，则和在坐标轴上截距的绝对值相等，
而选项不满足，排除选项B．
故选A．
方法二：将直线，的方程化为截距式为，，
则在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数
在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，
结合四个选项中的图象，知只有满足题意．
故选A．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线方程的两点式，考查点在线上的问题，属于基础题．
先利用两点式求出直线方程，再将点代入直线方程即可得到的值．
【解答】
解：由两点式可得直线的方程为：，
即，即．
把点代入直线的方程，
得．
故答案为：．
13.【答案】，或
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的方程，属于基础题．
当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案．
【解答】
解：当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即．
当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得，
故直线的方程为，
故答案为，或．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了直线的截距式方程，属于基础题．
引入两个截距，用截距式写出方程，代入点得到一个关于两个截距的方程，再用截距表示出与坐标轴所围成的三角形的面积，令其为，即可得答案．
【解答】
解：设所求直线方程为，由已知可得
解得或所以所求直线方程为或．
故答案为或．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程，属于基础题．
由题意设出，两点，结合为中点，列方程组即可求得，坐标，即可求出直线的方程．
【解答】
解：设，，
由为的中点，得，解得，
则，，
由直线方程的截距式，得直线的方程为，即．
故答案为．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了直线的截距式，属于中档题．
由于直线经过，它与两坐标轴围成等腰直角三角形，可设直线方程为或，把点代入解出即可．
【解答】
解：直线经过点且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，
则在坐标轴上的截距相同或者相反，
可设直线方程为或，
把点代入可得：，，
解得或．
因此直线的方程为或．
故答案为或．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程，基本不等式，属于中档题．
解出线段所在直线的方程，由于出现了和为定值的情形，故可以用基本不等式求最值．
【解答】
解：所在直线方程为，
，
，
当且仅当，即，时取等号．
则的最大值等于
故答案为．
18.【答案】解：过点，斜率为的直线方程为：，即；
过点，与轴垂直的直线方程为：；
斜率为，在轴上的截距为的直线方程为：；
斜率为，在轴上的截距为的直线方程为：，即；
过点，的直线的为：，即；
过点，的直线为：，即．
【解析】本题主要考查了直线方程的点斜式、斜截式以及两点式，属于基础题．
利用直线方程的点斜式求直线方程；
利用垂直于轴的直线方程特征，直接写出直线方程；
利用直线方程的斜截式求直线方程；
利用直线方程的点斜式求直线方程；
直接用两点式求直线方程．
19.【答案】解：边所在直线的方程为，
即
所在直线的方程，
即
线段的中点为， ，
所以边上的中线所在直线的方程为 ，
即
边上的高所在的直线的方程为 ，
即
边的垂直平分线所在直线的方程为，
即．
【解析】本题考查直线方程的综合应用，属于中档题．
利用直线的两点式方程得出的直线方程，利用截距式得出所在的直线方程；
求出的中点，利用直线的两点式方程得出边上中线所在的直线方程，得出的斜率求出边高线的斜率，利用点斜式方程得出高所在的直线方程与垂直平分线所在的直线方程．
20.【答案】解：直线的方程可化为，
，解得．
直线与两坐标轴的交点为，
据题意，知，即，
直线与两坐标轴围成的三角形面积为
，
，
时，取到最大值，
故所求直线的方程为，即．
【解析】本题考查了直线的截距式方程，属于中档题．
将直线化成斜截式即可求解；
求出直线与两坐标轴的交点坐标即可求解．
21.【答案】解：由题意可知，直线过两点，，
由直线方程两点式得直线方程为：，
整理得，
取得，，
所以铁棒在时的长度．
【解析】本题考查了直线两点式方程的实际应用，属于中档题．
由题意利用两点式方程求出直线方程，把代入求出的值，即可求出铁棒在时的长度．
22.【答案】解：作，则．
由三角形相似，，可求得，，
方程为，即；
根据题意，设直线的方程为，
由题意，知，，
过点，，解得，
的面积，
化简，得
，解得或舍去．
的最小值为，
将代入式，得，解得，
．
直线的方程为．
【解析】本题考查直线的截距式方程，涉及函数值域的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于拔高题．
作，由三角形相似，求得、两点坐标，即可得到直线的方程；
设直线的方程为，由过点，求得，之间的关系，代入的面积公式，利用二次函数的性质即可求出当的面积最小时，直线的方程．
第1页，共1页
过点，的直线方程为( )
A. B. C. D.
在轴和轴上的截距分别为和的直线方程是( )
A. B. C. D.
已知直线的两点式方程为，则的斜率为( )
A. B. C. D.
下列结论正确的是( )
A. 经过点的直线都可以用方程表示．
B. 经过定点的直线都可以用方程表示．
C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示．
D. 不经过原点的直线都可以用方程表示．
直线过第一、三、四象限，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于( )
A. B. C. D.
已知直线过点，且在两坐标轴上的截距的乘积是，则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
过点作直线，若经过点和，且，，则可作出的的条数为( )
A. B. C. D.
过点作直线与两坐标轴相交所得三角形面积为，直线有( )
A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条
若直线的斜率为，它在轴上、轴上的截距分别等于，，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是( )
A. B.
C. D.
直线过，两点，点在上，则的值为 ．
过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ．
经过点，且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程为 ．
已知直线经过点，且与，轴分别交于，两点，当为的中点时，直线的方程为 ．
直线经过点，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程
已知两点，，动点在线段上运动，则的最大值为 ．
根据下列条件．分别写出直线的方程：
过点，斜率为；
过点，与轴垂直；
斜率为，在轴上的截距为；
斜率为，在轴上的截距为；
过点，；
过点，．
已知的三个顶点为，，．
分别求边和所在直线的方程
分别求边上中线、高所在的直线、边的垂直平分线所在直线的方程；
已知直线．
如果直线的斜率为，求实数的值．
如果直线与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线的方程．
一根铁棒在时长，在时长已知长度而与温度的关系可以用直线方程来表示，试用两点式表示这个方程；并根据方程，求铁棒在时的长度．
已知直线过点，且与轴、轴的正方向分别交于，两点，分别求满足下列条件的直线方程：
时，求直线的方程．
当的面积最小时，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的两点式方程，属基础题．先写出直线的两点式方程，再化为一般式方程即可．
【解答】
解：由题意可得直线的两点式方程为：，
化为一般式方程可得：．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程，属于基础题．
根据直线截距式方程即可求得结果．
【解答】
解：题意知，
代入直线的截距式方程可得：．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线斜率，解题关键在于掌握直线的两点式方程，属于基础题．
根据题意，由直线的两点式方程，化为斜截式方程，可求出直线斜率．
【解答】
解：由直线的两点式方程为可得出：
．
所以直线的斜率为．
故选A．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查直线的点斜式、斜截式及截距式方程所满足的条件，会利用两点坐标过两点直线的两点式方程，属于中档题．
A、、选项中都是有条件限制才能写出直线方程的，条件是斜率存在或与坐标轴的截距存在，选项中的方程不受限制只需两点坐标即可，得到正确答案．
【解答】
解：选项中过的方程为直线的点斜式方程，当直线与轴平行即斜率不存在时，例如，就不能写成此形式，此选项错；
选项中过点的直线方程为直线的斜截式方程，当直线与轴平行时即斜率不存在时，例如，就不能写成此形式，此选项错；
选项中过两点的方程为直线的两点式方程，不存在条件的限制，所以此选项正确；
选项中当直线与坐标轴平行时例如，与轴没有交点且不过原点，但是不能直线的截距式，此选项错．
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程，属于基础题．
根据直线过第一、三、四象限，直接得出答案．
【解答】
解：若直线过第一、三、四象限，则．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是直线的两点式方程，属于基础题．
先用直线的两点式方程求出直线方程，再利用在轴上的截距求出的值，即可得出答案．
【解答】
解：由直线在轴上的截距是知，
故直线的方程为，
当时，则，
解得：．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程，属于中档题．
设出直线截距式方程，代入数据求解，最后转化为斜截式即可．
【解答】
解：设直线的方程，则
解得或
直线的方程为或，
即或．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线方程，不定方程正整数解问题，属于中档题．
利用直线截距式设出直线方程，代入点，转化为不定方程的正整数解问题，求解即可．
【解答】
解：设直线方程为，则有，
整理得，，，
是的约数，或，
或，
综上或，
即符合题意的直线有两条，
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线的截距式方程，涉及二元一次方程解的个数问题，属于拔高题．
根据题意设方程，已知直线过点，可得，根据直线与坐标轴围成的三角形面积为，可知，分和两种情况讨论，构造二次方程，利用判断方程的解的个数，即可得出结论．
【解答】
解：根据题意设方程，已知直线过点，可得，
根据直线与坐标轴围成的三角形面积为，可知，
当时，，
即、为方程的解，
，方程有两个不同的解，
当时，，
即、为方程的解，
，方程有两个不同的解，
综上，、共有四组解，则满足条件的直线方程有四个，
故选D．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线的截距式方程和一般式方程，属基础题．
利用直线的截距式写出方程，求出斜率，可得结论．
【解答】
解：因为直线在轴，轴上的截距分别为，，
所以直线的方程为，
因为直线过点，，因此直线的斜率为，
又因为直线的斜率为，所以，
因此直线的方程为，即．
故选D．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的方程，直线的图像分析属于中档题．
方法一：根据，同号，排除选项C，，假定排除选项B即可；
方法二：将直线，的方程化为截距式求解即可．
【解答】
解： 方法一 ：直线的斜率，直线的斜率，
可知，同号，故排除选项C，
只有当时，才和平行，
假定，则和在坐标轴上截距的绝对值相等，
而选项不满足，排除选项B．
故选A．
方法二：将直线，的方程化为截距式为，，
则在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数
在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，
结合四个选项中的图象，知只有满足题意．
故选A．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线方程的两点式，考查点在线上的问题，属于基础题．
先利用两点式求出直线方程，再将点代入直线方程即可得到的值．
【解答】
解：由两点式可得直线的方程为：，
即，即．
把点代入直线的方程，
得．
故答案为：．
13.【答案】，或
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的方程，属于基础题．
当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案．
【解答】
解：当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即．
当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得，
故直线的方程为，
故答案为，或．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了直线的截距式方程，属于基础题．
引入两个截距，用截距式写出方程，代入点得到一个关于两个截距的方程，再用截距表示出与坐标轴所围成的三角形的面积，令其为，即可得答案．
【解答】
解：设所求直线方程为，由已知可得
解得或所以所求直线方程为或．
故答案为或．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程，属于基础题．
由题意设出，两点，结合为中点，列方程组即可求得，坐标，即可求出直线的方程．
【解答】
解：设，，
由为的中点，得，解得，
则，，
由直线方程的截距式，得直线的方程为，即．
故答案为．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了直线的截距式，属于中档题．
由于直线经过，它与两坐标轴围成等腰直角三角形，可设直线方程为或，把点代入解出即可．
【解答】
解：直线经过点且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，
则在坐标轴上的截距相同或者相反，
可设直线方程为或，
把点代入可得：，，
解得或．
因此直线的方程为或．
故答案为或．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的截距式方程，基本不等式，属于中档题．
解出线段所在直线的方程，由于出现了和为定值的情形，故可以用基本不等式求最值．
【解答】
解：所在直线方程为，
，
，
当且仅当，即，时取等号．
则的最大值等于
故答案为．
18.【答案】解：过点，斜率为的直线方程为：，即；
过点，与轴垂直的直线方程为：；
斜率为，在轴上的截距为的直线方程为：；
斜率为，在轴上的截距为的直线方程为：，即；
过点，的直线的为：，即；
过点，的直线为：，即．
【解析】本题主要考查了直线方程的点斜式、斜截式以及两点式，属于基础题．
利用直线方程的点斜式求直线方程；
利用垂直于轴的直线方程特征，直接写出直线方程；
利用直线方程的斜截式求直线方程；
利用直线方程的点斜式求直线方程；
直接用两点式求直线方程．
19.【答案】解：边所在直线的方程为，
即
所在直线的方程，
即
线段的中点为， ，
所以边上的中线所在直线的方程为 ，
即
边上的高所在的直线的方程为 ，
即
边的垂直平分线所在直线的方程为，
即．
【解析】本题考查直线方程的综合应用，属于中档题．
利用直线的两点式方程得出的直线方程，利用截距式得出所在的直线方程；
求出的中点，利用直线的两点式方程得出边上中线所在的直线方程，得出的斜率求出边高线的斜率，利用点斜式方程得出高所在的直线方程与垂直平分线所在的直线方程．
20.【答案】解：直线的方程可化为，
，解得．
直线与两坐标轴的交点为，
据题意，知，即，
直线与两坐标轴围成的三角形面积为
，
，
时，取到最大值，
故所求直线的方程为，即．
【解析】本题考查了直线的截距式方程，属于中档题．
将直线化成斜截式即可求解；
求出直线与两坐标轴的交点坐标即可求解．
21.【答案】解：由题意可知，直线过两点，，
由直线方程两点式得直线方程为：，
整理得，
取得，，
所以铁棒在时的长度．
【解析】本题考查了直线两点式方程的实际应用，属于中档题．
由题意利用两点式方程求出直线方程，把代入求出的值，即可求出铁棒在时的长度．
22.【答案】解：作，则．
由三角形相似，，可求得，，
方程为，即；
根据题意，设直线的方程为，
由题意，知，，
过点，，解得，
的面积，
化简，得
，解得或舍去．
的最小值为，
将代入式，得，解得，
．
直线的方程为．
【解析】本题考查直线的截距式方程，涉及函数值域的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于拔高题．
作，由三角形相似，求得、两点坐标，即可得到直线的方程；
设直线的方程为，由过点，求得，之间的关系，代入的面积公式，利用二次函数的性质即可求出当的面积最小时，直线的方程．
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