2.2.3 直线的一般式方程 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.2.3 直线的一般式方程 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 289.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-18 17:48:26 | ||
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文档简介
2.2.3 直线的一般式方程
已知直线的方程为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
已知直线，直线，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线在轴上的截距是( )
A. B. 或 C. D. 或
已知直线不经过第一象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是( )
A. B. C. D.
如果，，那么直线经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
已知直线：，：，：不能围成三角形，则实数的取值可能为( )
A. B. C. D.
已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可以是( )
A. B. C. D.
已知直线：，其中，下列说法正确的是( )
A. 当时，直线与直线垂直
B. 若直线与直线平行，则
C. 直线过定点
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等
过点的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，下列选项中的值使得满足条件的直线有条的是( )
A. B. C. D.
过点且与直线垂直的直线方程为 ．
已知直线与直线：平行，且在两坐标轴上的截距之和为，则直线的方程为 ．
已知直线，则直线过定点 ；若直线的倾斜角为，则 ．
已知直线与互相垂直，垂足为，则 ．
已知直线：，：，当时，直线，与两坐标轴围成一个四边形，当 时，四边形的面积最小，最小值为 ．
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
斜率是，且经过点；
斜率为，在轴上的截距为；
经过点，两点；
在轴，轴上的截距分别为，；
经过点，且平行于轴．
已知正六边形的边长是，以正六边形中心为原点，以对角线所在的直线为轴，如图建立平面直角坐标系．
求边所在的直线的方程；
求过点，且与边所在直线垂直的直线的方程。
设直线的方程为．
若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
是否存在实数，使直线不经过第二象限？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知过点的直线与直线垂直．
若，且点在函数的图象上，求直线的一般式方程；
若点在直线上，判断直线是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
为了绿化城市，准备在如图的矩形内规划一块地面，修建一个矩形草坪，按规划要求，草坪的两边与分别在和上，且草坪不能超过文物保护区的边界，经测量，，，以点为原点，所在的直线为轴，建立坐标系．
求直线所在的直线方程；
问应如何设计才能使草坪的占地面积最大又符合设计要求？并求出最大面积精确到
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的倾斜角，考查倾斜角与斜率之间的关系，是基础题．
化直线的一般式方程为斜截式，得到直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求解倾斜角．
【解答】
解：化为斜截式得 ，
直线的斜率为，
设直线的倾斜角为．
由，得．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线截距的定义，属于基础题．
在轴的截距即令求出的的值，在轴上的截距即令求出的值，分别求出即可．
【解答】
解：直线，
令，得到，解得，所以；
令，得到，解得，所以．
结合选项可知，B正确．
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线的平行关系，利用平行关系建立等式，考查学生的计算能力，属于基础题．
由已知，则，解出可得答案．
【解答】
解：直线，直线：，且，
，
解得或，
经验证当或时，都能使两直线平行．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线的一般式方程，属于基础题．
由两直线垂直，可设直线方程是，由该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为可求，进而可求得在轴上的截距．
【解答】
解：设直线方程是，
分别令，得，
令，得，
直线在坐标轴上的截距，
所以．
所以，
故直线在轴上的截距为或．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的一般式方程，属于基础题．
由直线不经过第一象限，得或，求解即可．
【解答】
解：直线不经过第一象限，
可得或，
解得，
则的取值范围是．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的求法，解题时要结合题设条件，合理地选用解题方法，注意公式的灵活运用，是中档题．
把坐标代入两条直线和得，，求出，再用两点式方程求过点，的直线的方程．
【解答】
解：把坐标代入两条直线和，
得，，
，
过点，的直线的方程是：，
，则，
，，
所求直线方程为：．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，属容易题．
由，，把直线化为，再得到，即可得到答案．
【解答】
解：，
直线可化为，
，
直线过一、二、三象限，
故选ABC．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两条直线平行的性质，三直线共点问题，属于中档题．
由题意可得，其中有条直线平行，或者三线经过同一个点，再根据两条直线平行的性质，三直线共点问题，求出的值．
【解答】
解：直线，，不能围成三角形，
时不符合题意，所以，
故其中有条直线平行，或者三线经过同一个点．
若其中有条直线平行，则，或，求得，或．
若三线经过同一个点，则直线和直线的交点在上，
故有，求得．
综上所述，或或．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的斜率和截距，属于中档题．
首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系即可判断．
【解答】
解：直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为．
直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为．
当时，直线与平行，故A正确；
选项B中，由直线在轴上的截距可得，，
而由直线的斜率为，可得，故B不正确；
选项C中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距，
直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C正确；
选项D中，两直线斜率，，
再由直线在轴上的截距，故D不正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
该题考查的是有关直线的问题，属于基础题．
利用两直线平行、垂直以及过定点和在两轴上的截距逐项分析，得到结果．
【解答】
解：对于项，当时，直线的方程为，显然与垂直，所以正确；
对于项，若直线与直线平行，可知，
解得或，经检验均符合题意，所以不正确；
对于项，当时，有，所以直线过定点，所以正确；
对于项，当时，直线的方程为，
在两坐标轴上的截距分别是，所以不正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线方程的综合应用和点斜式方程的表示，属于中档题．
设出直线的斜率，表示出直线与坐标轴围成的三角形面积，然后逐个验证即可．
【解答】
解：显然直线的斜率存在，设为且，则直线的方程为，
所以当时，，当时，，
所以，
若，得，整理得，
所以或者，
即或者，
由的，
得方程无解，
由的，
得方程有两个不等实数解，
所以时不满足直线有条，故A错误．
同理可得B错误，C正确，D正确．
故选CD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了两条直线垂直的判定，以及直线的一般式方程，属于基础题．
设与直线垂直的直线方程为，把点代入可得的值，从而得到所求的直线方程．
【解答】
解：设与直线垂直的直线方程为，
把点代入可得，
，
故所求的直线的方程为，
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两直线平行斜率存在，则斜率相等以及待定系数法求直线方程，属于基础题．
首先由直线平行设出的方程为，然后利用截距之和为，得到关于的方程解得．
【解答】
解：由已知直线与直线：平行，
所以设直线方程为，令得到，令得到，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为，
所以，解得，
所以直线的方程为即，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线过定点问题，直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
整理直线方程得出即可求出经过的定点，利用倾斜角，求出斜率，得出关于的方程，求解出的值．
【解答】
解：直线化为，
则
解得：，所以过定点，
因为化为，，
因为直线的倾斜角为，所以，解得：．
故答案为 ；．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两条直线垂直的判定，直线的交点等知识，属于基础题．
由互相垂直可知，，由此可把求出易知不为，再把点代入第一条直线，可把值求出，再把求出后的点代入第二条直线中，也就求出了．
【解答】
解：因为直线：与：互相垂直，
则，解之得：，
又因为两直线垂足为
则，解得：
将代入直线：，
则，
解之得：，
所以
故答案为：
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】
解：由题意知直线，恒过定点，直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为，
所以四边形的面积，
故当时，四边形的面积最小，最小值为．
故答案为；．
17.【答案】解：若直线的斜率是，且经过点，
由点斜式，则该直线的方程为，
即．
若直线斜率为，在轴上的截距为，
由斜截式，则该直线的方程为，
即．
若直线经过，两点，
由两点式，则该直线的方程为，
即．
若直线在，轴上的截距分别是，，
由截距式，则该直线的方程为，
即．
若经过点，且平行于轴，
则，即．
【解析】本题主要考查用点斜式、斜截式、两点式、截距式求直线的方程，直线的一般式方程，属于基础题．
由条件利用点斜式求直线的方程，并化为一般式；
由条件利用斜截式求直线的方程，并化为一般式；
由条件利用两点式求直线的方程，并化为一般式；
由条件利用截距式求直线的方程，并化为一般式；
由已知可得方程，并化为一般式．
18.【答案】解：由题意知，，
用两点式写出边所在的直线方程，
即，
由题意知，
，
设与边所在直线垂直的直线的方程的斜率为，
则，解得，
点，且与边所在直线垂直的直线的方程，
即．
【解析】本题考查用两点式求直线的方程的方法，斜率的确定方法，属于中档题．
求出、的坐标，用两点式写出边所在的直线方程，并化为一般式．
求出点的坐标，求出，再根据直线垂直的条件求出所求直线的斜率，利用点斜式即可求出．
19.【答案】解：直线可化为 ，
令，，
则，，所以直线恒过．
当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，即截距相等，
时满足条件，此时的方程为；
当时，直线平行于轴，在轴无截距，不合题意；
当，且时，由，即，即．
此时直线在轴、轴上的截距都为，的方程为．
综上，直线的方程为或时，在两坐标轴上的截距相等．
假设存在实数，使直线不经过第二象限，
将的方程化为，
则有
解得，
的取值范围为．
【解析】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，用待定系数法求直线的方程，以及确定直线位置的几何要素，直线过定点问题，可以用参变量分离法，还可以用特殊值代入法，属于中档题．
直线恒过，当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，即截距相等，此时，符合题意；当时，不符合题意；当，且时，由，可求得的值，综合可得直线的方程；
，由于不经过第二象限，则有或，解出即可．
20.【答案】解：点在函数的图象上，，即点，
由，得，即直线的斜率为，
又直线与直线垂直，则直线的斜率满足：，即，
所以直线的方程为，一般式方程为：．
点在直线上，
所以，即，
代入中，整理得，
由，解得，
故直线必经过定点，其坐标为．
【解析】本题考查了直线方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
点在函数的图象上，可得点，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
点在直线上，可得，即，代入中，由，即可得出．
21.【答案】解：在如图的坐标系中，，
由截距式，可得直线方程为，
即直线：．
设，因为在上，所以，
则矩形的面积为，
化简，得，，
配方，，，
易得当，时，最大，其最大值为．
即的长度为，的长度约时面积最大又符合设计要求，且最大面积为．
【解析】本题考查了函数模型的应用和直线的截距式方程，属于拔高题．
先得出，，由截距式可得直线方程；
设，则，可得矩形的面积为，由二次函数研究最值即可．
第1页，共1页
已知直线的方程为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
已知直线，直线，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线在轴上的截距是( )
A. B. 或 C. D. 或
已知直线不经过第一象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是( )
A. B. C. D.
如果，，那么直线经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
已知直线：，：，：不能围成三角形，则实数的取值可能为( )
A. B. C. D.
已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可以是( )
A. B. C. D.
已知直线：，其中，下列说法正确的是( )
A. 当时，直线与直线垂直
B. 若直线与直线平行，则
C. 直线过定点
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等
过点的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，下列选项中的值使得满足条件的直线有条的是( )
A. B. C. D.
过点且与直线垂直的直线方程为 ．
已知直线与直线：平行，且在两坐标轴上的截距之和为，则直线的方程为 ．
已知直线，则直线过定点 ；若直线的倾斜角为，则 ．
已知直线与互相垂直，垂足为，则 ．
已知直线：，：，当时，直线，与两坐标轴围成一个四边形，当 时，四边形的面积最小，最小值为 ．
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
斜率是，且经过点；
斜率为，在轴上的截距为；
经过点，两点；
在轴，轴上的截距分别为，；
经过点，且平行于轴．
已知正六边形的边长是，以正六边形中心为原点，以对角线所在的直线为轴，如图建立平面直角坐标系．
求边所在的直线的方程；
求过点，且与边所在直线垂直的直线的方程。
设直线的方程为．
若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
是否存在实数，使直线不经过第二象限？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知过点的直线与直线垂直．
若，且点在函数的图象上，求直线的一般式方程；
若点在直线上，判断直线是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
为了绿化城市，准备在如图的矩形内规划一块地面，修建一个矩形草坪，按规划要求，草坪的两边与分别在和上，且草坪不能超过文物保护区的边界，经测量，，，以点为原点，所在的直线为轴，建立坐标系．
求直线所在的直线方程；
问应如何设计才能使草坪的占地面积最大又符合设计要求？并求出最大面积精确到
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的倾斜角，考查倾斜角与斜率之间的关系，是基础题．
化直线的一般式方程为斜截式，得到直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求解倾斜角．
【解答】
解：化为斜截式得 ，
直线的斜率为，
设直线的倾斜角为．
由，得．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线截距的定义，属于基础题．
在轴的截距即令求出的的值，在轴上的截距即令求出的值，分别求出即可．
【解答】
解：直线，
令，得到，解得，所以；
令，得到，解得，所以．
结合选项可知，B正确．
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线的平行关系，利用平行关系建立等式，考查学生的计算能力，属于基础题．
由已知，则，解出可得答案．
【解答】
解：直线，直线：，且，
，
解得或，
经验证当或时，都能使两直线平行．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线的一般式方程，属于基础题．
由两直线垂直，可设直线方程是，由该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为可求，进而可求得在轴上的截距．
【解答】
解：设直线方程是，
分别令，得，
令，得，
直线在坐标轴上的截距，
所以．
所以，
故直线在轴上的截距为或．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的一般式方程，属于基础题．
由直线不经过第一象限，得或，求解即可．
【解答】
解：直线不经过第一象限，
可得或，
解得，
则的取值范围是．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的求法，解题时要结合题设条件，合理地选用解题方法，注意公式的灵活运用，是中档题．
把坐标代入两条直线和得，，求出，再用两点式方程求过点，的直线的方程．
【解答】
解：把坐标代入两条直线和，
得，，
，
过点，的直线的方程是：，
，则，
，，
所求直线方程为：．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，属容易题．
由，，把直线化为，再得到，即可得到答案．
【解答】
解：，
直线可化为，
，
直线过一、二、三象限，
故选ABC．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两条直线平行的性质，三直线共点问题，属于中档题．
由题意可得，其中有条直线平行，或者三线经过同一个点，再根据两条直线平行的性质，三直线共点问题，求出的值．
【解答】
解：直线，，不能围成三角形，
时不符合题意，所以，
故其中有条直线平行，或者三线经过同一个点．
若其中有条直线平行，则，或，求得，或．
若三线经过同一个点，则直线和直线的交点在上，
故有，求得．
综上所述，或或．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的斜率和截距，属于中档题．
首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系即可判断．
【解答】
解：直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为．
直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为．
当时，直线与平行，故A正确；
选项B中，由直线在轴上的截距可得，，
而由直线的斜率为，可得，故B不正确；
选项C中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距，
直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C正确；
选项D中，两直线斜率，，
再由直线在轴上的截距，故D不正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
该题考查的是有关直线的问题，属于基础题．
利用两直线平行、垂直以及过定点和在两轴上的截距逐项分析，得到结果．
【解答】
解：对于项，当时，直线的方程为，显然与垂直，所以正确；
对于项，若直线与直线平行，可知，
解得或，经检验均符合题意，所以不正确；
对于项，当时，有，所以直线过定点，所以正确；
对于项，当时，直线的方程为，
在两坐标轴上的截距分别是，所以不正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线方程的综合应用和点斜式方程的表示，属于中档题．
设出直线的斜率，表示出直线与坐标轴围成的三角形面积，然后逐个验证即可．
【解答】
解：显然直线的斜率存在，设为且，则直线的方程为，
所以当时，，当时，，
所以，
若，得，整理得，
所以或者，
即或者，
由的，
得方程无解，
由的，
得方程有两个不等实数解，
所以时不满足直线有条，故A错误．
同理可得B错误，C正确，D正确．
故选CD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了两条直线垂直的判定，以及直线的一般式方程，属于基础题．
设与直线垂直的直线方程为，把点代入可得的值，从而得到所求的直线方程．
【解答】
解：设与直线垂直的直线方程为，
把点代入可得，
，
故所求的直线的方程为，
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两直线平行斜率存在，则斜率相等以及待定系数法求直线方程，属于基础题．
首先由直线平行设出的方程为，然后利用截距之和为，得到关于的方程解得．
【解答】
解：由已知直线与直线：平行，
所以设直线方程为，令得到，令得到，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为，
所以，解得，
所以直线的方程为即，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线过定点问题，直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
整理直线方程得出即可求出经过的定点，利用倾斜角，求出斜率，得出关于的方程，求解出的值．
【解答】
解：直线化为，
则
解得：，所以过定点，
因为化为，，
因为直线的倾斜角为，所以，解得：．
故答案为 ；．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两条直线垂直的判定，直线的交点等知识，属于基础题．
由互相垂直可知，，由此可把求出易知不为，再把点代入第一条直线，可把值求出，再把求出后的点代入第二条直线中，也就求出了．
【解答】
解：因为直线：与：互相垂直，
则，解之得：，
又因为两直线垂足为
则，解得：
将代入直线：，
则，
解之得：，
所以
故答案为：
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】
解：由题意知直线，恒过定点，直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为，
所以四边形的面积，
故当时，四边形的面积最小，最小值为．
故答案为；．
17.【答案】解：若直线的斜率是，且经过点，
由点斜式，则该直线的方程为，
即．
若直线斜率为，在轴上的截距为，
由斜截式，则该直线的方程为，
即．
若直线经过，两点，
由两点式，则该直线的方程为，
即．
若直线在，轴上的截距分别是，，
由截距式，则该直线的方程为，
即．
若经过点，且平行于轴，
则，即．
【解析】本题主要考查用点斜式、斜截式、两点式、截距式求直线的方程，直线的一般式方程，属于基础题．
由条件利用点斜式求直线的方程，并化为一般式；
由条件利用斜截式求直线的方程，并化为一般式；
由条件利用两点式求直线的方程，并化为一般式；
由条件利用截距式求直线的方程，并化为一般式；
由已知可得方程，并化为一般式．
18.【答案】解：由题意知，，
用两点式写出边所在的直线方程，
即，
由题意知，
，
设与边所在直线垂直的直线的方程的斜率为，
则，解得，
点，且与边所在直线垂直的直线的方程，
即．
【解析】本题考查用两点式求直线的方程的方法，斜率的确定方法，属于中档题．
求出、的坐标，用两点式写出边所在的直线方程，并化为一般式．
求出点的坐标，求出，再根据直线垂直的条件求出所求直线的斜率，利用点斜式即可求出．
19.【答案】解：直线可化为 ，
令，，
则，，所以直线恒过．
当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，即截距相等，
时满足条件，此时的方程为；
当时，直线平行于轴，在轴无截距，不合题意；
当，且时，由，即，即．
此时直线在轴、轴上的截距都为，的方程为．
综上，直线的方程为或时，在两坐标轴上的截距相等．
假设存在实数，使直线不经过第二象限，
将的方程化为，
则有
解得，
的取值范围为．
【解析】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，用待定系数法求直线的方程，以及确定直线位置的几何要素，直线过定点问题，可以用参变量分离法，还可以用特殊值代入法，属于中档题．
直线恒过，当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，即截距相等，此时，符合题意；当时，不符合题意；当，且时，由，可求得的值，综合可得直线的方程；
，由于不经过第二象限，则有或，解出即可．
20.【答案】解：点在函数的图象上，，即点，
由，得，即直线的斜率为，
又直线与直线垂直，则直线的斜率满足：，即，
所以直线的方程为，一般式方程为：．
点在直线上，
所以，即，
代入中，整理得，
由，解得，
故直线必经过定点，其坐标为．
【解析】本题考查了直线方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
点在函数的图象上，可得点，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
点在直线上，可得，即，代入中，由，即可得出．
21.【答案】解：在如图的坐标系中，，
由截距式，可得直线方程为，
即直线：．
设，因为在上，所以，
则矩形的面积为，
化简，得，，
配方，，，
易得当，时，最大，其最大值为．
即的长度为，的长度约时面积最大又符合设计要求，且最大面积为．
【解析】本题考查了函数模型的应用和直线的截距式方程，属于拔高题．
先得出，，由截距式可得直线方程；
设，则，可得矩形的面积为，由二次函数研究最值即可．
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