2.3.2 两点间的距离公式 同步练习（含解析）

2.3.2 两点间的距离公式
过点，的直线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
若点与，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
两直线和分别过定点，，则的值为( )
A. B. C. D.
已知过点的直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于，两点，当最小时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
的最小值为( )
A. B. C. D.
已知点，点在直线上运动．当最小时，点的坐标是( )
A. B. C. D.
在直线上求一点，使点到的距离为，则点坐标是( )
A. B. C. 或 D. 或
若点，且三点共线，则点的坐标为( )
A. B. C. 或 D. 不存在
数学中，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点与点的距离结合上述观点，可得的最小值为( )
A. B. C. D.
已知等腰直角三角形的直角顶点为若点，则点的坐标可能是( )
A. B. C. D.
直线过点，倾斜角是，且与直线交于，则的长为 ．
已知坐标平面内两点和，那么这两点之间距离的最小值是
在轴上找一点，使与间的距离为，则点的坐标为 ．
已知点与点间的距离为，则的值为 ．
在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 ．
若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值是 ．
已知直线：恒过定点．
求点的坐标；
若点与点关于轴成轴对称，点是直线：上一动点，试求的最小值．
已知点．
在轴上求一点，使得
一条光线从点射入，经过轴上点反射后，反射线通过点，求点的坐标．
设，为平面直角坐标系上的两点，其中均为整数若，则称点为点的“相关点”点是坐标原点的“相关点”，点是点的“相关点”，点是点的“相关点”，，以此类推，点是点的“相关点”．
注：点，间的距离
直接写出点与点间的距离所有可能值；
求点与点间的距离最大值；
求点与点间的距离最小值；
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两点确定直线的斜率以及两点间的距离公式，属于基础题．
由直线的斜率求，然后由两点间距离公式求．
【解答】
解：过点，的直线的斜率，
解得，
．
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两点间的距离公式，属基础题．
根据两点间的距离公式，把点与坐标代入计算即可．
【解答】
解：由两点间的距离公式可得线段的长度为：
．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线过定点问题，以及两点之间距离公式，属于基础题．
根据直线方程，求出定点坐标，利用两点之间的距离公式求解距离即可．
【解答】
解：直线过定点，
直线可化简为，
，解得：
所以点坐标为，
所以，
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线的点斜式方程，以及基本不等式的应用．
设直线的点斜式方程，求出，两点的坐标，代入的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件．最后写出所求直线即可．
【解答】
解：设直线：，分别令，，
得，
则，
当且仅当，即时，取最小值，
又，
，
这时的方程为．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两点的距离公式，函数的最值问题，考查转化求解问题，属于中档题．
将的最小值转化为点，与点，的距离之和，然后进行求解即可得．
【解答】
解：
，
表示平面上点，与点，的距离之和，
所以的最小值是，
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两点间距离公式的应用，以及二次函数求最值，属于基础题．
设出点的坐标，利用两点间距离公式，写出的表达式，利用二次函数的性质可以求出最小时，点的坐标．
【解答】
解：因为点在直线上运动，
所以设点的坐标为，
由两点间距离公式可知：，
显然时， 有最小值，最小值为，此时点的坐标是，
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点间距离公式，属于中档题．
设点，则，根据求出的值，然后求出的值．
【解答】
解：设点，由在直线上，则，
由得，
整理得，解得或，
当时，；当时，，
或．
故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线方程以及两点间的距离公式，属于基础题．
首先求出直线的方程，设的坐标，然后根据两点间的距离公式将表示出来，从而求出的坐标．
【解答】
解：所在的直线为，化简得，
设则
解方程得或，对应的值为或，
故选C．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键，属于中档题．
化简得，表示平面上点与点，的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．
【解答】
解：
，
表示平面上点与点，的距离和，
连接，与轴交于，
，
的最小值为，
故选B．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两点间的距离公式，属于基础题．
由题意可得，解出，的值即可求出答案．
【解答】
解：设点坐标为，
根据题意知
解得或．
点的坐标可能是或．
故选AC．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两直线的交点，以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．
根据条件写出直线，进而求得的坐标，结合两点间的距离公式即可得出答案．
【解答】
解：直线过点，倾斜角是，
直线的方程为，
化简得，，
由得，
故，
由两点间距离公式可得
．
故答案为．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两点间的距离公式，属于基础题．
先根据两点间的距离公式，计算点与点间的距离，再利用二次函数的性质求出其最小值即可．
【解答】
解：在坐标平面内两点，，
，
当时，取等号．
故答案是：．

13.【答案】 或
【解析】
【分析】
本题考查两点间的距离公式，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
设出点坐标，利用两点间的距离公式即可求解．
【解答】
解：设，则有，
得或，
故点的坐标为或．
故答案为 或．

14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题主要考查两点间的距离公式，深刻掌握知识点是解题的关键，属基础题．
直接根据两点间的距离公式求解即可．
【解答】
解：由，
又由，
即，求得或，
故答案为或．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查新定义，利用新定义求出最值问题，考查计算能力，对新定义的理解和灵活运用是解好本题的关键，属于中档题．
作轴于，利用得到，由折线距离定义得，即可得解．
【解答】
解：如图所示：
直线与两轴的交点分别为，
设为直线上任意一点，作轴于，
，
于是有，
所以，
即当与重合时，．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两条直线的交点、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
联立，解得交点，代入可得：，再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出．
【解答】
解：联立，解得，．
把点代入，可得，．
点到原点的距离，
当且仅当，时取等号，
点到原点的距离的最小值为．
故答案为．

17.【答案】解：直线：，
整理可得：．
联立，解得，．
可得定点．
点与点关于轴成轴对称，故点的坐标为，
点是直线：上一动点，设，
，当时，的最小值为．
【解析】本题考查了二次函数的单调性、直线系的应用、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
直线：整理可得：联立，解得定点坐标．
由点与点关于轴成轴对称，故点的坐标为，由点是直线：上一动点，设，可得，利用二次函数的单调性即可得出．
18.【答案】解：设，
则有，
，
由，可得，
解得，从而得．
设，
由已知得：，
将代入，
解得：，
．

【解析】本题考查了直线的倾斜角与斜率和两点间的距离公式．
设，由，可得，解出，即可得出结果；
设，由已知得：，将代入，解出，即可得出结果．
19.【答案】解：因为，由题意可知点的坐标满足，
所以时，；时，；时，；时，．
所以点与点间的距离为或．
由可知相关点之间距离为或，
所以点与点之间距离最大，则取，且点、点、点和点位于同一条直线上，此时．
因为“相关点”是相互的，即点为点的“相关点”，则点也为点的“相关点”．
当时，点与点之间的最小距离为，点与点之间的距离不能为．
由可知点与点之间的距离最小值为，
取点的坐标为，
因为的坐标只能取整数，所以尝试取、、的坐标寻找最小值，
接下来取
即可得出点与点间的最小距离为．
【解析】本题考查两点间距离公式，属于拔高题．
列出点的所有可能坐标，即可得出距离；
根据中可能的距离，点、点、点和点位于同一条直线上，点与点间的距离取得最大值，从而得出点与点间的最大距离；
由“相关点”定义可知，“相关点”具有相互性，则可取点的坐标为，再根据相关点都是整数坐标和中的距离，尝试取、和的坐标寻找最小值即可．
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