2.3.3 点到直线的距离公式 同步练习（含解析）

2.3.3 点到直线的距离公式
已知点，到经过点的直线的距离相等，则的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 以上都不对
已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是( )
A. B. C. D.
正方形的中心为点，边所在的直线方程是，则边所在的直线的方程为( )
A. B. C. D.
已知点，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
点到直线的距离为，则等于( )
A. 或 B. C. D.
设，，若直线：与轴相交于点，与轴相交于点，且坐标原点到直线的距离为，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
已知，，为直角三角形中的三边长，为斜边长，若点在直线：上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
若动点，分别在直线：，：上移动，则的中点到原点的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
已知直线，则下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角是
B. 若直线则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行的直线方程是
过两直线和的交点，并与原点的距离等于的直线共有 条
点在直线上，则的最小值是 ．
已知，满足，求的最小值 ．
已知点在直线上运动，则的最小值是 ．
已知直线和直线的交点为．
Ⅰ求过点且与直线平行的直线方程；
Ⅱ若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程．
在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，
，．
求边上的高所在的直线方程；
求的面积．
已知直线的方程为．
证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；
当时，求点到直线的距离；
若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值．
已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．
求点到线段：的距离；
求点到线段：的距离；
若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为多少？
求到两条线段、距离相等的点的集合，其中，，，，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离公式，考查直线方程的求解，属于基础题．
当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率垂存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得，求得的值即可求直线的方程．
【解答】
解：当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；
当直线的斜率垂存在时，设直线的斜率为，
则直线为，即，
由到直线的距离等于到直线的距离得：，
化简得：或无解，解得，
所以直线的方程为，
综上，直线的方程为或．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线方程的综合应用，两点间的最小距离，点到直线的距离，属于基础题．
由题意求出点，
解法一：利用两点间的距离公式列式求解即可．
解法二：的最小值即点到直线的距离，运用点到直线的距离公式求解．
【解答】
解：直线，即，过定点．
方法一：点在直线上，所以，
所以，
故当时，取得最小值，
故选B．
方法二：的最小值即点到直线的距离，即，
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了点到直线的距离，属于基础题．
通过正方形对边平行，中心点到各边的距离相等，列出方程，即可求解．
【解答】
解：点到直线的距离
设与边平行的边所在直线的方程是，
则点到直线的距离，
解得舍去或，
所以边所在直线的方程是．
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，属于基础题．
先求的长度，然后求到直线的距离，问题即可求解．
【解答】
解：，
直线的方程为，
则到直线的距离为，
的面积为，
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查点到直线的距离公式，是基础题．
直接利用点到直线的距离公式列式，即可求得的值．
【解答】
解：点到直线的距离为，
，
解得或．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离公式和利用基本不等式求最值，属于基础题．
首先利用点到直线的距离求出，的关系，代入面积公式利用基本不等式求最值．
【解答】
解：由坐标原点到直线的距离为，可得，
化简可得，
易知，
令中，可得，令，可得，
故的面积，
当且仅当时，取等号，
故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查最值的求法，注意运用点到直线的距离公式，同时考查勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
运用直角三角形的勾股定理，又表示原点到的距离的平方，原点到直线的距离平方即为所求最小值，运用点到直线的距离，即可得到所求值．
【解答】
解：，，为直角三角形中的三边长，为斜边长，
可得，
点在直线：上，
又表示原点到的距离的平方，
原点到直线的距离即为所求最小值，
可得最小值为．
则的最小值为．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
先求得中点所在的直线方程为，则的中点到原点的距离的最小值是原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求得结果．
【解答】
解：由于点，分别在两条平行直线：，：上移动，
故的中点所在的直线方程为，则的中点到原点的距离的最小值是原点到直线的距离，
等于，
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离公式，属于中档题．
根据题意，可得直线与直线相互垂直，直线与直线的交点在以为直径的圆上，进行求解即可．
【解答】
解：由题意，时，直线与直线相互垂直，
当时，直线：与直线：的斜率乘积为，
此时直线与直线也相互垂直，
综上：直线与直线相互垂直；
可知：直线与直线分别经过定点：，，
直线与直线的交点在以为直径的圆上，并且，
可得与直线垂直，
易得点到直线的距离的最大值为点到直线的距离，
又点到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为，
故选B．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的方程，两直线垂直关系的判定，点到直线的距离公式等知识，属于基础题．
根据直线的斜率与倾斜角判断，根据点到直线的距离公式判断，根据两平行直线的方程之间的关系判断．
【解答】
解：对于，直线的斜率为，倾斜角为，A错误，
对于，直线的斜率为的斜率为，两直线不垂直，B错误，
对于，点到直线的距离为，C正确，
对于，设与直线平行的直线方程为，
因为它过，所以
所以过与直线平行的直线方程是，D 正确，
故选CD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离公式和直线的交点坐标，涉及分类讨论思想．
解方程组可得直线交点，由点到直线的距离公式可得满足题意的直线斜率，验证无斜率直线，综合可得．
【解答】
解：联立，得，
即两直线和的交点为，
当直线无斜率时，方程为，到原点的距离等于，不合题意；
当直线斜率存在时设方程为，即，
由题意和点到直线的距离公式可得，
解得，
故满足题意的直线共有条．
故答案为．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离，属于基础题．
根据点到直线的距离公式直接求解即可．
【解答】
解：可以看作点到点的距离的平方，
所以的最小值是原点到直线的距离的平方，
即，
故答案为：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了两点间的距离，点到直线的距离公式，考查了转化与化归的思想，属于中档题．
由于表示点与直线上的点的距离的平方，可知的最小值为点到直线距离的平方，由点到直线的距离公式可得结果．
【解答】
解：由于表示点与直线上的点的距离的平方，
可知的最小值为点到直线距离的平方，
所以最小值为．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了点到直线距离的应用，属于中档题．
将问题转化为点到直线距离，然后求解即可．
【解答】
解：令，则表示点到点的距离，
由题意可知，当点在直线上运动时，
的最小值为点到直线的距离，
即，
的最小值是，
故答案为．

15.【答案】解：联立
解得可知交点，
设与直线平行的直线方程为，
把交点代入可得，
，
所求的直线方程为．
设与直线垂直的直线方程为，
到的距离为，
解得或，
直线的方程为：或．
【解析】本题考查直线的一般式方程、点斜式方程、直线的平行与垂直的判定、点到直线的距离公式，属于基础题．
联立两直线方程，求出交点的坐标，设与直线平行的直线方程为，将点代入求出，则可得答案；
设与直线垂直的直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，则可得答案．
16.【答案】解：直线的斜率，则边上高所在直线的斜率，
所以边上的高所在的直线方程为，即．
的方程为，即，
则点到直线的距离，
，
所以．

【解析】本题考查直线方程的点斜式，一般式，两直线垂直，点到直线的距离，三角形面积，属于中档题．
求得，则边上高所在直线的斜率，由点斜式求直线方程，化为一般式；
求得点到直线的距离，两点间距离得，即可求面积．
17.【答案】证明：直线方程为，
可化为，对任意都成立，
所以
解得
所以直线恒过定点；
解：时，直线方程为，
点到直线的距离；
解：若直线分别与轴，轴的负半轴交于，两点，
设直线方程为，，
则，，
，
当且仅当时取等号，面积的最小值为．
此时直线的方程．

【解析】本题考查直线系过定点，点到直线的距离公式，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想，属于拔高题．
直线系求出直线恒过定点，即可；
由得出直线方程，利用点到直线的距离公式求出即可．
若直线分别与轴，轴的负半轴交于，两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．
18.【答案】解：设线段：上点，
则
当时，；
设线段：上点，
则
当时，；
如图，是边长为的正三角形，
由题意，点集所表示的图形面积为
由，，
得，，，
，，，
；
，，
，，
，
．
【解析】本题给出点到线段的距离的定义，求实际问题中的距离并讨论相应的曲线方程．着重考查了点到直线的距离公式、二次函数的性质和曲线与方程的化简等知识，属于拔高题．
根据的定义，结合两点间的距离公式和二次函数的性质，即可算出的值．
，即在曲线上时线段长度的最小值不超过，利用距离公式即可化简出所求图形的边界曲线方程，
结合矩形面积与圆面积公式可得该图形的面积；
根据所给的三个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间垂直关系，得到要求的结果．
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