2.4.1 圆的标准方程 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.4.1 圆的标准方程 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 303.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-18 17:51:42 | ||
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文档简介
2.4.1 圆的标准方程
一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
以圆心，且过点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
已知点，，则以线段为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
过点作圆的两条切线，切点分别为、，为坐标原点，则的外接圆方程是( )
A. B.
C. D.
在矩形中，，动点满足，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知三条直线：，：，：，下列选项正确的是( )
A. 三条直线可以围成等腰直角三角形
B. 三条直线围成三角形的外接圆的方程是
C. 三条直线的交点中，坐标为的点是其中两点的中点
D. 三条直线围成的三角形的高所在的直线方程是：
过点总可以向圆作两条切线，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )
A. B.
C. D.
已知圆和直线及轴都相切，且过点，则该圆的方程是( )
A. B.
C. D.
已知的三个顶点坐标分别为，，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )
A. B. C. D.
在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足其中是正数，且，则的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆下列结论正确的是( )
A. 阿波罗尼斯圆的圆心恒在轴上
B. 始终在阿波罗尼斯圆内
C. 当时，阿波罗尼斯圆的圆心在点的左边
D. 当时，点在阿波罗尼斯圆外，点在圆内
三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
已知的方程为，则其圆心坐标为 ，半径为 ．
点关于直线对称的点的坐标是 ，以圆心，半径为的圆标准方程为 ．
以点为圆心，并且与轴相切的圆的方程是 ．
若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．
已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的方程为 ．
在平面直角坐标系中，若圆的圆心在第一象限，圆与轴相交于、两点，且与直线相切，则圆的标准方程为 ．
已知圆的方程为，直线的方程为，过圆上一点的切线与直线交于点，则的外接圆的标准方程为 ．
已知圆：和点，若定点和常数满足，对圆上任意一点，都有，则 ．
四、解答题（本大题共1小题，共12.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点若、两点分别为该市路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和．
建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程
为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址注：地址视为一个点，设为点在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路即圆弧上任意一点到游乐场的距离不小于 ，求游乐场距点距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，属于基础题．
根据圆的标准方程逐个求出圆心坐标即可求出结果．
【解答】
解：对于，圆心坐标为，故不符合题意；
对于，圆心坐标为，不符合题意；
对于，圆心坐标为，且过点符合题意；
对于，圆心坐标为，不符合题意；
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，求圆的方程，是基础题．
圆心到直线的距离即为半径，求出半径即可求得圆的方程．
【解答】
解：由题意可知，圆心到直线的距离即为半径
，
所求圆的方程为．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，考查学生计算能力，属于基础题．
由中点坐标公式，确定圆的圆心，利用两点间的距离公式，确定半径，从而可得圆的方程．
【解答】
解：圆心坐标为，，，
所以以线段为直径的圆的方程为．
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程的求法，把求外接圆方程转化为求四边形的外接圆方程，体现了转化的数学思想，属于中档题．
由题意知，，四边形的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是，外接圆就是四边形的外接圆．
【解答】
解：由题意知，，，
四边形有一组对角都等于，
四边形的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是，
的中点为，，
四边形的外接圆的方程为 ，
外接圆的方程为．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的线性运算、圆的标准方程、三角函数的最值，考查推理能力与计算能力，属于较难题．
以点为坐标原点，直线，分别为轴和轴建立直角坐标系，由得，令，，由，得．
【解答】
解：以点为坐标原点，直线，分别为轴和轴建立直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，
因为，所以，
即，
整理得，
令，，
因为，
所以，
于是，即，
所以．
即的最大值为．
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的交点坐标以及外接圆的方程，属于中档题．
画出直线方程，根据交点坐标逐个判断即可．
【解答】
解：由，解得
由，解得
由，解得
三条直线两两交点坐标为，，，如图，
的中点坐标为，
则，，
故CD，
所以外接圆的圆心为点，半径为，
故外接圆的方程是，B正确；
三条直线的交点中，坐标为的点是其中两点的中点，C正确；
由中点为外接圆圆心，可知，
易知，故三条直线不能围成等腰直角三角形，A错误；
三条直线围成的三角形的高所在的直线方程是：，故D错误．
故选BC．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了点与圆的位置关系，圆的一般方程，属于中档题．
把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于，列出关于的不等式，求出的范围，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，得到一个关于的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数的取值范围．
【解答】
解：把圆的方程化为标准方程得：，
所以，解得：，
又点应在已知圆的外部，
得：，即，
解得：或，
则实数的取值范围是
故的可能取值为，．
故选BC．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程的求法，属于中档题．
分情况讨论，利用圆的标准方程直接求解．
【解答】
解：对于直线，令，得，令，得，
直线与两轴交点坐标为和，
以为圆心过的圆的半径为，
以为圆心过的圆方程为；
以为圆心过的圆的半径为，
以为圆心过的圆方程为，
故所求圆的方程为：
或
故选AD．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的切线和点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，设该圆的方程为，根据题意建立关于，的方程组，解方程即可得，，进而求出该圆的方程．
【解答】
解：设该圆的方程为，
由题意可得
解得或
所以圆的方程是或，
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的方程，两点间距离公式、点到直线的距离和圆的标准方程，是较难题．
求出原点到直线、、的距离，以及，，，结合题意，可得圆与三角形公共点为或，从而得解．
【解答】
解：如图，
，，，
则直线方程为，直线的方程为．
原点到直线的距离为，到直线的距离为．
过点 ， 的直线方程为 ，
即 ，
点 到直线 的距离 ，
又 ，，，
由图可知，以原点为圆心的圆若与 有唯一的公共点，
则公共点为或，
所以圆的半径为或 ．
故所求圆的方程为 或 ．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程的求法及点与圆的位置关系的判断，考查运算求解能力，属于较难题．
以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，，根据定义求得圆的方程并化为标准方程，得到圆心坐标与半径，然后分别判断．
【解答】
解：对于、依题意可得，只有建立适当的平面直角坐标系后，才能确定阿波罗尼斯圆的的圆心是否在轴上，故A错误．
若以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，其中为正数．
因为动点满足其中是正数，且，
所以，化简得，
即，
所以该圆的圆心的坐标为，半径．
对于、因为，
所以当时，，即，
因此圆心在点的左边，所以C正确；
对于、当时，因为，
，
所以点在圆外，点在圆内，故D正确，不正确．
故选CD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，属于基础题．
利用圆的标准方程直接求解．
【解答】
解：因为的方程为
故圆心坐标为，半径为
故答案为
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点关于直线的对称点的求法，考查圆的标准方程，是基础题．
由图可得点关于直线对称的点的坐标，进而可得圆的标准方程．
【解答】
解：如图，
点关于直线对称的点的坐标是，
以为圆心，半径为的圆标准方程为，
故答案为：；．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题给出圆满足的条件，求圆的方程，着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
根据圆与轴相切，圆的半径等于点到轴的距离，求出半径，即可求出圆的标准方程．
【解答】
解：设圆的方程为，
圆与轴相切，半径等于圆心到轴的距离，即，
因此，圆的方程为，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
要求圆的面积最大即要圆的半径的平方最大，所以根据平方的最小值为即时得到半径的平方最大，所以把代入圆心坐标中即可得到此时的圆心坐标．
本题以二次函数的最值问题为背景考查学生掌握圆的标准方程并会根据圆的标准方程找出圆心和半径，是一道基础题．
【解答】
解：圆的方程为．
，，此时．
圆心为．
故答案为：，．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查求圆的方程，属于中档题．
方法一：首先求出直线与圆的交点为，，得到弦的垂直平分线方程为进一步与直线联立得到圆的圆心，求出半径，得到所求．
方法二：设所求圆的方程为，求出圆心，代入直线方程，求解出的值，得到圆的方程．
【解答】
解：方法一 联立方程
解得交点坐标为，．
弦的垂直平分线方程为即．
由解得
弦的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为，
半径，
故所求圆的方程为．
方法二 设所求圆的方程为，
即，
圆心为，
圆心在直线上，
，
．
圆的方程为，
即．
故答案为．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求圆的标准方程，属于中档题．
圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，进而即可得结果．
【解答】
解：设圆的标准方程为，，
由题意得
解得，
所以圆的标准方程为，
故答案为．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与圆有关的轨迹方程，属于中档题．
关键在于根据得到的外接圆是以线段为直径的圆，分别求其圆心和半径即可．
【解答】
解：已知圆的方程为的标准方程是，
则圆心，半径为．
可知过圆上一点的切线方程为．
联立可得，即．
由可知点在以线段为直径的圆除去、两点上，
则的外接圆是以线段为直径的圆，
其圆心坐标是，半径为，
故的外接圆的标准方程为．
故答案为．
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程的应用，涉及两点间距离的计算，属于拔高题．
根据题意，设，由，变形可得，进而变形可得，分析可得，解可得的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，设，
若，变形可得，
即，
又由，则变形可得：，
则有，
解可得负值舍去，；
故答案为：．
20.【答案】解：以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系，
则，，设圆弧所在圆的方程为，
则，解得
故公交线路所在圆弧的方程为．
因为游乐场距点的距离为，所以，
设为公交线路上任意一点，则，
且对公交线路上任意点均成立，
整理得，对任意的恒成立．
令，因为，所以函数在上单调递减，
所以，解得或，
又，故，即游乐场距点距离的最大值为．
【解析】本题主要考查圆的方程、一元二次不等式在实际问题中的应用，考查考生的建模、解模能力及运用数学知识解决实际问题的能力．
因为直线、互相垂直，所以可以以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系，求出、两点的坐标，利用待定系数法求圆的方程，注意、的取值范围
由游乐场距点的距离可得点的坐标，设出公交线路上动点的坐标，将已知条件转化为不等式恒成立问题，利用动点在圆上即点的坐标满足圆的方程进行消元，进而转化为求最值问题，通过解一元二次不等式并结合条件求出的最大值．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
以圆心，且过点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
已知点，，则以线段为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
过点作圆的两条切线，切点分别为、，为坐标原点，则的外接圆方程是( )
A. B.
C. D.
在矩形中，，动点满足，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知三条直线：，：，：，下列选项正确的是( )
A. 三条直线可以围成等腰直角三角形
B. 三条直线围成三角形的外接圆的方程是
C. 三条直线的交点中，坐标为的点是其中两点的中点
D. 三条直线围成的三角形的高所在的直线方程是：
过点总可以向圆作两条切线，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )
A. B.
C. D.
已知圆和直线及轴都相切，且过点，则该圆的方程是( )
A. B.
C. D.
已知的三个顶点坐标分别为，，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )
A. B. C. D.
在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足其中是正数，且，则的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆下列结论正确的是( )
A. 阿波罗尼斯圆的圆心恒在轴上
B. 始终在阿波罗尼斯圆内
C. 当时，阿波罗尼斯圆的圆心在点的左边
D. 当时，点在阿波罗尼斯圆外，点在圆内
三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
已知的方程为，则其圆心坐标为 ，半径为 ．
点关于直线对称的点的坐标是 ，以圆心，半径为的圆标准方程为 ．
以点为圆心，并且与轴相切的圆的方程是 ．
若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．
已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的方程为 ．
在平面直角坐标系中，若圆的圆心在第一象限，圆与轴相交于、两点，且与直线相切，则圆的标准方程为 ．
已知圆的方程为，直线的方程为，过圆上一点的切线与直线交于点，则的外接圆的标准方程为 ．
已知圆：和点，若定点和常数满足，对圆上任意一点，都有，则 ．
四、解答题（本大题共1小题，共12.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点若、两点分别为该市路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和．
建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程
为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址注：地址视为一个点，设为点在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路即圆弧上任意一点到游乐场的距离不小于 ，求游乐场距点距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，属于基础题．
根据圆的标准方程逐个求出圆心坐标即可求出结果．
【解答】
解：对于，圆心坐标为，故不符合题意；
对于，圆心坐标为，不符合题意；
对于，圆心坐标为，且过点符合题意；
对于，圆心坐标为，不符合题意；
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，求圆的方程，是基础题．
圆心到直线的距离即为半径，求出半径即可求得圆的方程．
【解答】
解：由题意可知，圆心到直线的距离即为半径
，
所求圆的方程为．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，考查学生计算能力，属于基础题．
由中点坐标公式，确定圆的圆心，利用两点间的距离公式，确定半径，从而可得圆的方程．
【解答】
解：圆心坐标为，，，
所以以线段为直径的圆的方程为．
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程的求法，把求外接圆方程转化为求四边形的外接圆方程，体现了转化的数学思想，属于中档题．
由题意知，，四边形的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是，外接圆就是四边形的外接圆．
【解答】
解：由题意知，，，
四边形有一组对角都等于，
四边形的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是，
的中点为，，
四边形的外接圆的方程为 ，
外接圆的方程为．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的线性运算、圆的标准方程、三角函数的最值，考查推理能力与计算能力，属于较难题．
以点为坐标原点，直线，分别为轴和轴建立直角坐标系，由得，令，，由，得．
【解答】
解：以点为坐标原点，直线，分别为轴和轴建立直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，
因为，所以，
即，
整理得，
令，，
因为，
所以，
于是，即，
所以．
即的最大值为．
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的交点坐标以及外接圆的方程，属于中档题．
画出直线方程，根据交点坐标逐个判断即可．
【解答】
解：由，解得
由，解得
由，解得
三条直线两两交点坐标为，，，如图，
的中点坐标为，
则，，
故CD，
所以外接圆的圆心为点，半径为，
故外接圆的方程是，B正确；
三条直线的交点中，坐标为的点是其中两点的中点，C正确；
由中点为外接圆圆心，可知，
易知，故三条直线不能围成等腰直角三角形，A错误；
三条直线围成的三角形的高所在的直线方程是：，故D错误．
故选BC．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了点与圆的位置关系，圆的一般方程，属于中档题．
把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于，列出关于的不等式，求出的范围，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，得到一个关于的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数的取值范围．
【解答】
解：把圆的方程化为标准方程得：，
所以，解得：，
又点应在已知圆的外部，
得：，即，
解得：或，
则实数的取值范围是
故的可能取值为，．
故选BC．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程的求法，属于中档题．
分情况讨论，利用圆的标准方程直接求解．
【解答】
解：对于直线，令，得，令，得，
直线与两轴交点坐标为和，
以为圆心过的圆的半径为，
以为圆心过的圆方程为；
以为圆心过的圆的半径为，
以为圆心过的圆方程为，
故所求圆的方程为：
或
故选AD．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的切线和点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，设该圆的方程为，根据题意建立关于，的方程组，解方程即可得，，进而求出该圆的方程．
【解答】
解：设该圆的方程为，
由题意可得
解得或
所以圆的方程是或，
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的方程，两点间距离公式、点到直线的距离和圆的标准方程，是较难题．
求出原点到直线、、的距离，以及，，，结合题意，可得圆与三角形公共点为或，从而得解．
【解答】
解：如图，
，，，
则直线方程为，直线的方程为．
原点到直线的距离为，到直线的距离为．
过点 ， 的直线方程为 ，
即 ，
点 到直线 的距离 ，
又 ，，，
由图可知，以原点为圆心的圆若与 有唯一的公共点，
则公共点为或，
所以圆的半径为或 ．
故所求圆的方程为 或 ．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程的求法及点与圆的位置关系的判断，考查运算求解能力，属于较难题．
以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，，根据定义求得圆的方程并化为标准方程，得到圆心坐标与半径，然后分别判断．
【解答】
解：对于、依题意可得，只有建立适当的平面直角坐标系后，才能确定阿波罗尼斯圆的的圆心是否在轴上，故A错误．
若以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，其中为正数．
因为动点满足其中是正数，且，
所以，化简得，
即，
所以该圆的圆心的坐标为，半径．
对于、因为，
所以当时，，即，
因此圆心在点的左边，所以C正确；
对于、当时，因为，
，
所以点在圆外，点在圆内，故D正确，不正确．
故选CD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，属于基础题．
利用圆的标准方程直接求解．
【解答】
解：因为的方程为
故圆心坐标为，半径为
故答案为
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点关于直线的对称点的求法，考查圆的标准方程，是基础题．
由图可得点关于直线对称的点的坐标，进而可得圆的标准方程．
【解答】
解：如图，
点关于直线对称的点的坐标是，
以为圆心，半径为的圆标准方程为，
故答案为：；．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题给出圆满足的条件，求圆的方程，着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
根据圆与轴相切，圆的半径等于点到轴的距离，求出半径，即可求出圆的标准方程．
【解答】
解：设圆的方程为，
圆与轴相切，半径等于圆心到轴的距离，即，
因此，圆的方程为，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
要求圆的面积最大即要圆的半径的平方最大，所以根据平方的最小值为即时得到半径的平方最大，所以把代入圆心坐标中即可得到此时的圆心坐标．
本题以二次函数的最值问题为背景考查学生掌握圆的标准方程并会根据圆的标准方程找出圆心和半径，是一道基础题．
【解答】
解：圆的方程为．
，，此时．
圆心为．
故答案为：，．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查求圆的方程，属于中档题．
方法一：首先求出直线与圆的交点为，，得到弦的垂直平分线方程为进一步与直线联立得到圆的圆心，求出半径，得到所求．
方法二：设所求圆的方程为，求出圆心，代入直线方程，求解出的值，得到圆的方程．
【解答】
解：方法一 联立方程
解得交点坐标为，．
弦的垂直平分线方程为即．
由解得
弦的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为，
半径，
故所求圆的方程为．
方法二 设所求圆的方程为，
即，
圆心为，
圆心在直线上，
，
．
圆的方程为，
即．
故答案为．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求圆的标准方程，属于中档题．
圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，进而即可得结果．
【解答】
解：设圆的标准方程为，，
由题意得
解得，
所以圆的标准方程为，
故答案为．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与圆有关的轨迹方程，属于中档题．
关键在于根据得到的外接圆是以线段为直径的圆，分别求其圆心和半径即可．
【解答】
解：已知圆的方程为的标准方程是，
则圆心，半径为．
可知过圆上一点的切线方程为．
联立可得，即．
由可知点在以线段为直径的圆除去、两点上，
则的外接圆是以线段为直径的圆，
其圆心坐标是，半径为，
故的外接圆的标准方程为．
故答案为．
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程的应用，涉及两点间距离的计算，属于拔高题．
根据题意，设，由，变形可得，进而变形可得，分析可得，解可得的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，设，
若，变形可得，
即，
又由，则变形可得：，
则有，
解可得负值舍去，；
故答案为：．
20.【答案】解：以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系，
则，，设圆弧所在圆的方程为，
则，解得
故公交线路所在圆弧的方程为．
因为游乐场距点的距离为，所以，
设为公交线路上任意一点，则，
且对公交线路上任意点均成立，
整理得，对任意的恒成立．
令，因为，所以函数在上单调递减，
所以，解得或，
又，故，即游乐场距点距离的最大值为．
【解析】本题主要考查圆的方程、一元二次不等式在实际问题中的应用，考查考生的建模、解模能力及运用数学知识解决实际问题的能力．
因为直线、互相垂直，所以可以以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系，求出、两点的坐标，利用待定系数法求圆的方程，注意、的取值范围
由游乐场距点的距离可得点的坐标，设出公交线路上动点的坐标，将已知条件转化为不等式恒成立问题，利用动点在圆上即点的坐标满足圆的方程进行消元，进而转化为求最值问题，通过解一元二次不等式并结合条件求出的最大值．
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