2.4.2 圆的一般方程 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.4.2 圆的一般方程 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 268.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-18 17:52:01 | ||
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文档简介
2.4.2 圆的一般方程
若方程表示圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
若圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
经过点和，且圆心在轴上的圆的一般方程为( )
A. B.
C. D.
圆关于直线对称，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
一束光线从点发出，经轴反射到圆上的最短路程是( )
A. B. C. D.
已知圆：，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
若、满足，则的最小值是( )
A. B. C. D. 无法确定
阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
表示的曲线为( )
A. 两个半圆 B. 一个圆 C. 半个圆 D. 两个圆
已知方程，若方程表示圆，则的值可能为( )
A. B. C. D.
已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是( )
A. 圆的圆心为 B. 圆的半径为
C. 圆被轴截得的弦长为 D. 圆被轴截得的弦长为
关于，的方程，下列说法正确的为( )
A. 若方程表示圆，则实数的取值范围为
B. 若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上
C. 若方程不表示任何图形，则
D. 若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧，则
在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足其中是正数，且，则的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆下列结论正确的是( )
A. 阿波罗尼斯圆的圆心恒在轴上
B. 始终在阿波罗尼斯圆内
C. 当时，阿波罗尼斯圆的圆心在点的左边
D. 当时，点在阿波罗尼斯圆外，点在圆内
已知方程表示圆，则实数的取值范围是 ．
在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为 ．
阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆，若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则动点的轨迹所围成的图形的面积为 ；最大值是 ．
已知方程表示圆，则圆心坐标为 ；实数的取值范围是 ．
已知，，方程为的曲线关于直线对称，则的最小值为 ．
由曲线围成的图形面积为 ．
已知，方程表示圆，则圆心坐标为 ，半径为 ．
已知实数、满足．
求的最大值和最小值
求的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．
先化为圆的标准方程形式，再判断．
【解答】
解：由，
得，
因为该方程表示圆，所以，即．
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程与圆的标准方程，属于基础题．
把圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径，根据题意列关于的不等式组，求出的范围即可．
【解答】
解：把圆的一般方程化为标准方程得，
所以圆心坐标为，半径为，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为，
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程的求解，属于基础题．
由题意，设出圆的方程，将和代入，结合圆心在轴上，即可得解．
【解答】
解：根据题意，设所求圆的方程为，
和，且圆心在轴上，则有
解可得：，则圆的一般方程为，
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系及二次函数的性质的应用，属于基础题．
根据题意得到，的关系式，进而转化为二次函数求最值问题可解．
【解答】
解：圆关于直线对称，
则圆心在直线上，求得，
则，
故的取值范围是．
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程、两点间的距离公式及和圆有关的最值问题，属于中档题．
圆的标准方程为，点关于轴的对称点，可得最短距离为．
【解答】
解：圆的标准方程为，圆心为，半径，
点关于轴的对称点为，
最短距离为，
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆有关的最值，考查圆的一般方程与标准方程，注意将圆的一般方程变形为标准方程，属于拔高题．
根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，分析其圆心、半径，可得当圆的面积最小时，必有，此时，即可得此时面积最小时圆的方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆：，
变形可得，
其圆心为，半径为，
则，
当圆的面积最小时，必有，此时，
圆的方程为，
圆心到原点距离为，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程与圆的标准方程，以及与圆有关的最值问题，属于中档题．
把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，设圆上一点，原点坐标为，则表示，当，，三点共线且位于第二象限时得到最小值，即为的最小值．
【解答】
解：把圆的方程化为标准方程得：，
设圆心为点，则圆心坐标为，圆的半径，
设圆上一动点，原点坐标为，
所以表示的是动点到原点距离的平方，即．
如图所示，是圆与直线在第二象限上的交点，
，等号成立条件是与重合，
所以当运动到点时，最小，
，，
所以，
则的最小值为，
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于中档题．
先设出三个点的坐标，然后化简得到一个圆的标准方程，然后利用函数手段即可．
【解答】
解：设，，
则，化简得，
如图，可得，
，
当时，有最小值为．
故选A．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题的考点是曲线与方程，主要考查了曲线与方程的关系，属于拔高题．
方程两边平方后可整理出方程，由于，从而可推断出方程表示的曲线为两个相离的半圆．
【解答】
解：由题意，首先，平方整理得，
若，则是以为圆心，以为半径的右半圆，
若，则是以为圆心，以为半径的左半圆，
总之，方程表示的曲线是以为圆心，以为半径的右半圆与以为圆心，以为半径的左半圆合起来的图形，
故选A．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆的一般方程，考查了方程表示圆满足的条件，属于基础题．
根据圆的一般方程可求出的取值范围，即可求解．
【解答】
解：因为方程表示圆，
所以，
解得，
所以满足条件的只有与．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程，圆的标准方程，属于基础题．
将圆的一般方程化为标准方程求出圆的圆心与半径，求出弦长．
【解答】
解：圆的一般方程为，配方得．
所以圆的圆心为，半径为，故选项A错误，B正确．
令，解得或，所以圆被轴截得的弦长为，故D对，
令，解得或，所以圆被轴截得的弦长为，故C错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二元二次方程表示圆的条件，属于中档题．
将各个选项进行逐一分析求解即可．
【解答】
解：，的方程可化为．
若方程表示圆，，
即或，故A错误；
若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上，故B正确；
若方程不表示任何图形，，则，故C错误；
若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧，
则且圆点在圆的内部，
或，且，
故，故D正确．
故选BD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程的求法及点与圆的位置关系的判断，考查运算求解能力，属于较难题．
以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，，根据定义求得圆的方程并化为标准方程，得到圆心坐标与半径，然后分别判断．
【解答】
解：对于、依题意可得，只有建立适当的平面直角坐标系后，才能确定阿波罗尼斯圆的的圆心是否在轴上，故A错误．
若以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，其中为正数．
因为动点满足其中是正数，且，
所以，化简得，
即，
所以该圆的圆心的坐标为，半径．
对于、因为，
所以当时，，即，
因此圆心在点的左边，所以C正确；
对于、当时，因为，
，
所以点在圆外，点在圆内，故D正确，不正确．
故选CD．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆的一般方程，属于基础题．
表示圆的条件是，构造不等式可得的范围．
【解答】
解：方程表示圆，
则，化简得
解得：．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆的一般方程，属于基础题．
设圆的方程为，代入三点可得圆的方程．
【解答】
解：设圆的方程为，
因为圆过三点，
所以得
所以圆的方程为．
故答案为：
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的应用，是中档题．
以经过，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设，利用推出，由，得出最大即可．
【解答】
解：以经过，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系则：
，，设，
，
，
两边平方并整理得：，
动点的轨迹所围成的图形的面积为．
，
如图当位于点时，最大，
最大值为，
故最大值是．
故答案为；．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．
把圆的方程化为标准形式，可得结论．
【解答】
解：方程，即，由，
求得．
它表示圆时，则圆心坐标为，半径为，
故答案为：；．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，基本不等式，属于中档题．
化简曲线方程可得此曲线表示以为圆心，半径等于的圆．由题意可得圆心在直线上，可得再根据，利用基本不等式求得的最小值．
【解答】
解：曲线方程即，
表示以为圆心，半径等于的圆．
方程为的曲线关于直线对称，
圆心在直线上，
，．
，
当且仅当 时，即，时，取等号，
故的最小值为，
故答案为：．
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆的方程与应用问题，也考查了数形结合的应用问题，属于中档题．
根据题意作出图形，结合图形知曲线所围成的图形是一个正方形与四个半圆组成，由此求得面积．
【解答】
解：由题意，知曲线可化为．
当，时，方程化为，
根据图象的对称性，作出曲线的图形如图所示．
此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成，
所围成的图形面积是．
故答案为：
20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程及标准方程，属于基础题．
由已知可得，解得或，把代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把代入原方程，由，说明方程不表示圆，则答案可求．
【解答】
解： 方程表示圆，
，解得或，
当时，方程化为，
配方得，所得圆的圆心坐标为，半径为；
当时，方程化为，
此时，方程不表示圆，
故答案为．
21.【答案】解：将方程化为标准方程为，
此方程表示以为圆心，为半径的圆．
表示圆上的点与定点连线的斜率，
所以令，即．
当直线与已知圆相切时如图，取得最值，
所以，解得或．
因此的最小值是，最大值为．
，它表示圆上的点与定点的距离．
因为定点到已知圆的圆心距离为，
所以的最大值为，最小值为．
【解析】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想．
整理方程可知，方程表示以为圆心，为半径的圆，表示圆上的点与定点连线的斜率，进而根据圆心到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
表示圆上的点与定点的距离，求出定点到已知圆的圆心距离，可得最大值和最小值．
第1页，共1页
若方程表示圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
若圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
经过点和，且圆心在轴上的圆的一般方程为( )
A. B.
C. D.
圆关于直线对称，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
一束光线从点发出，经轴反射到圆上的最短路程是( )
A. B. C. D.
已知圆：，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
若、满足，则的最小值是( )
A. B. C. D. 无法确定
阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
表示的曲线为( )
A. 两个半圆 B. 一个圆 C. 半个圆 D. 两个圆
已知方程，若方程表示圆，则的值可能为( )
A. B. C. D.
已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是( )
A. 圆的圆心为 B. 圆的半径为
C. 圆被轴截得的弦长为 D. 圆被轴截得的弦长为
关于，的方程，下列说法正确的为( )
A. 若方程表示圆，则实数的取值范围为
B. 若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上
C. 若方程不表示任何图形，则
D. 若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧，则
在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足其中是正数，且，则的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆下列结论正确的是( )
A. 阿波罗尼斯圆的圆心恒在轴上
B. 始终在阿波罗尼斯圆内
C. 当时，阿波罗尼斯圆的圆心在点的左边
D. 当时，点在阿波罗尼斯圆外，点在圆内
已知方程表示圆，则实数的取值范围是 ．
在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为 ．
阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆，若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则动点的轨迹所围成的图形的面积为 ；最大值是 ．
已知方程表示圆，则圆心坐标为 ；实数的取值范围是 ．
已知，，方程为的曲线关于直线对称，则的最小值为 ．
由曲线围成的图形面积为 ．
已知，方程表示圆，则圆心坐标为 ，半径为 ．
已知实数、满足．
求的最大值和最小值
求的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．
先化为圆的标准方程形式，再判断．
【解答】
解：由，
得，
因为该方程表示圆，所以，即．
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程与圆的标准方程，属于基础题．
把圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径，根据题意列关于的不等式组，求出的范围即可．
【解答】
解：把圆的一般方程化为标准方程得，
所以圆心坐标为，半径为，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为，
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程的求解，属于基础题．
由题意，设出圆的方程，将和代入，结合圆心在轴上，即可得解．
【解答】
解：根据题意，设所求圆的方程为，
和，且圆心在轴上，则有
解可得：，则圆的一般方程为，
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系及二次函数的性质的应用，属于基础题．
根据题意得到，的关系式，进而转化为二次函数求最值问题可解．
【解答】
解：圆关于直线对称，
则圆心在直线上，求得，
则，
故的取值范围是．
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程、两点间的距离公式及和圆有关的最值问题，属于中档题．
圆的标准方程为，点关于轴的对称点，可得最短距离为．
【解答】
解：圆的标准方程为，圆心为，半径，
点关于轴的对称点为，
最短距离为，
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆有关的最值，考查圆的一般方程与标准方程，注意将圆的一般方程变形为标准方程，属于拔高题．
根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，分析其圆心、半径，可得当圆的面积最小时，必有，此时，即可得此时面积最小时圆的方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆：，
变形可得，
其圆心为，半径为，
则，
当圆的面积最小时，必有，此时，
圆的方程为，
圆心到原点距离为，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程与圆的标准方程，以及与圆有关的最值问题，属于中档题．
把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，设圆上一点，原点坐标为，则表示，当，，三点共线且位于第二象限时得到最小值，即为的最小值．
【解答】
解：把圆的方程化为标准方程得：，
设圆心为点，则圆心坐标为，圆的半径，
设圆上一动点，原点坐标为，
所以表示的是动点到原点距离的平方，即．
如图所示，是圆与直线在第二象限上的交点，
，等号成立条件是与重合，
所以当运动到点时，最小，
，，
所以，
则的最小值为，
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于中档题．
先设出三个点的坐标，然后化简得到一个圆的标准方程，然后利用函数手段即可．
【解答】
解：设，，
则，化简得，
如图，可得，
，
当时，有最小值为．
故选A．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题的考点是曲线与方程，主要考查了曲线与方程的关系，属于拔高题．
方程两边平方后可整理出方程，由于，从而可推断出方程表示的曲线为两个相离的半圆．
【解答】
解：由题意，首先，平方整理得，
若，则是以为圆心，以为半径的右半圆，
若，则是以为圆心，以为半径的左半圆，
总之，方程表示的曲线是以为圆心，以为半径的右半圆与以为圆心，以为半径的左半圆合起来的图形，
故选A．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆的一般方程，考查了方程表示圆满足的条件，属于基础题．
根据圆的一般方程可求出的取值范围，即可求解．
【解答】
解：因为方程表示圆，
所以，
解得，
所以满足条件的只有与．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程，圆的标准方程，属于基础题．
将圆的一般方程化为标准方程求出圆的圆心与半径，求出弦长．
【解答】
解：圆的一般方程为，配方得．
所以圆的圆心为，半径为，故选项A错误，B正确．
令，解得或，所以圆被轴截得的弦长为，故D对，
令，解得或，所以圆被轴截得的弦长为，故C错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二元二次方程表示圆的条件，属于中档题．
将各个选项进行逐一分析求解即可．
【解答】
解：，的方程可化为．
若方程表示圆，，
即或，故A错误；
若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上，故B正确；
若方程不表示任何图形，，则，故C错误；
若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧，
则且圆点在圆的内部，
或，且，
故，故D正确．
故选BD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程的求法及点与圆的位置关系的判断，考查运算求解能力，属于较难题．
以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，，根据定义求得圆的方程并化为标准方程，得到圆心坐标与半径，然后分别判断．
【解答】
解：对于、依题意可得，只有建立适当的平面直角坐标系后，才能确定阿波罗尼斯圆的的圆心是否在轴上，故A错误．
若以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，其中为正数．
因为动点满足其中是正数，且，
所以，化简得，
即，
所以该圆的圆心的坐标为，半径．
对于、因为，
所以当时，，即，
因此圆心在点的左边，所以C正确；
对于、当时，因为，
，
所以点在圆外，点在圆内，故D正确，不正确．
故选CD．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆的一般方程，属于基础题．
表示圆的条件是，构造不等式可得的范围．
【解答】
解：方程表示圆，
则，化简得
解得：．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆的一般方程，属于基础题．
设圆的方程为，代入三点可得圆的方程．
【解答】
解：设圆的方程为，
因为圆过三点，
所以得
所以圆的方程为．
故答案为：
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的应用，是中档题．
以经过，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设，利用推出，由，得出最大即可．
【解答】
解：以经过，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系则：
，，设，
，
，
两边平方并整理得：，
动点的轨迹所围成的图形的面积为．
，
如图当位于点时，最大，
最大值为，
故最大值是．
故答案为；．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．
把圆的方程化为标准形式，可得结论．
【解答】
解：方程，即，由，
求得．
它表示圆时，则圆心坐标为，半径为，
故答案为：；．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，基本不等式，属于中档题．
化简曲线方程可得此曲线表示以为圆心，半径等于的圆．由题意可得圆心在直线上，可得再根据，利用基本不等式求得的最小值．
【解答】
解：曲线方程即，
表示以为圆心，半径等于的圆．
方程为的曲线关于直线对称，
圆心在直线上，
，．
，
当且仅当 时，即，时，取等号，
故的最小值为，
故答案为：．
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆的方程与应用问题，也考查了数形结合的应用问题，属于中档题．
根据题意作出图形，结合图形知曲线所围成的图形是一个正方形与四个半圆组成，由此求得面积．
【解答】
解：由题意，知曲线可化为．
当，时，方程化为，
根据图象的对称性，作出曲线的图形如图所示．
此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成，
所围成的图形面积是．
故答案为：
20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程及标准方程，属于基础题．
由已知可得，解得或，把代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把代入原方程，由，说明方程不表示圆，则答案可求．
【解答】
解： 方程表示圆，
，解得或，
当时，方程化为，
配方得，所得圆的圆心坐标为，半径为；
当时，方程化为，
此时，方程不表示圆，
故答案为．
21.【答案】解：将方程化为标准方程为，
此方程表示以为圆心，为半径的圆．
表示圆上的点与定点连线的斜率，
所以令，即．
当直线与已知圆相切时如图，取得最值，
所以，解得或．
因此的最小值是，最大值为．
，它表示圆上的点与定点的距离．
因为定点到已知圆的圆心距离为，
所以的最大值为，最小值为．
【解析】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想．
整理方程可知，方程表示以为圆心，为半径的圆，表示圆上的点与定点连线的斜率，进而根据圆心到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
表示圆上的点与定点的距离，求出定点到已知圆的圆心距离，可得最大值和最小值．
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