2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练习（含解析）

2.5.2 圆与圆的位置关系
两圆和的位置关系是( )
A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交
在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，则两圆的公切线的条数是( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
已知大圆与小圆相交于，两点，且两圆都与两坐标轴相切，则( )
A. B. C. D.
已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
两圆与的公共弦长的最大值是( )
A. B. C. D.
已知集合，，若只有两个子集，则正数的取值集合为．( )
A. B.
C. D.
在平面直角坐标系中，已知点，点是圆：上任一点，点为的中点，若点满足，则线段的长度可能为( )
A. B. C. D.
古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是( )
A. 的方程为
B. 在上存在点，使得
C. 在上存在点，使在直线上
D. 在上存在点，使得
圆与圆的公共弦长为 ．
已知，分别为圆：与圆：上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ．
圆与圆交于两点，则过两点的直线方程为 ，、两点间的距离为 ．
圆与圆的位置关系是 ，公切线条数为 ．
已知圆经过点和，且圆心在直线上．
求圆的方程；
判断圆与圆：的位置关系．
已知圆：．
过点作圆的切线，求的方程；
若圆：与圆相交于，两点，求．
已知圆和圆相交于两点．求公共弦的垂直平分线方程．
求的面积。
在平面直角坐标系中，已知圆与圆关于直线对称．
求直线的方程；
设圆与圆交于点、，点为圆上的动点，求面积的最大值．
已知圆与圆相交于两点．
求公共弦的长；
求圆心在直线上，且过两点的圆的方程；
求经过两点且面积最小的圆的方程．
如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，．
若直线平行于，与圆相交于，两点，，求直线的方程；
在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，属于基础题．
由已知中两圆的方程：和，先求出圆心坐标及半径，进而求出圆心距，比较与及的大小，即可得到两个圆之间的位置关系．
【解答】
解：圆表示以点为圆心，以为半径的圆；
圆表示以点为圆心，以为半径的圆；
，
，
圆和圆相交
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两圆公切线条数的判断，圆与圆的位置关系，属于基础题．
根据已知，分析两个圆的位置关系，可得答案．
【解答】
解：圆的圆心坐标为，半径为，
圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心距为：，
故两圆相交，
故两圆的公切线的条数是条，
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题．
由两圆的交点特征设圆心为，其方程为，代入点求得值，得圆的方程，由两点间距离求圆心距．
【解答】
解：由题知，大圆与小圆都在第一象限，
设与两坐标轴都相切的圆的圆心为，
其方程为，
将点或代入，解得或，
所以：，：，
可得，，
所以．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查圆和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的应用，考查求直线上的动点与两定点距离差的最值问题，属于中档题．
分别求出圆，圆的圆心和半径，由于求解．
【解答】
解：圆：的圆心为，半径等于，
：的圆心，半径等于，
则
又
．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，属中档题．
将两圆分别化成标准方程，得到它们的半径，可得公共弦恰好为小圆的直径时，公共弦长达到最大值．
【解答】
解：圆化成标准形式，得，
该圆表示以为圆心，半径为的圆；
同理圆表示以为圆心，半径为的圆．
两圆相交于、两点，当线段恰好为圆的直径时，
公共弦长达到最大值，即得两圆公共弦长的最大值为圆的直径．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查交集及其运算，属于中档题．
由题中已知集合，可知集合表示以原点为圆心、为半径的上半圆，表示以点为圆心、为半径的圆，分析两圆的位置关系，即可求解．
【解答】
解：因为有两个子集，所以中只有一个元素．
集合表示以原点为圆心、为半径的上半圆，表示以点为圆心、为半径的圆，
故半圆与圆只有一个交点，
所以半圆与圆外切或圆与圆的另一个交点在下半圆上，
当圆与半圆外切时半径，
当圆恰好经过点时，；
当圆恰好经过点时，；
由图形可知：或．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆与圆的位置关系及判定，圆有关的轨迹问题，属于中档题．
首先求出的轨迹方程，再设点求其轨迹方程，再利用两圆的位置关系判断即可．
【解答】
解：设，
点为的中点，点，
，代入圆，
可得：，
整理得点的轨迹方程为：，
设，则，
，
则易知当两圆心和共线时的长度取得最大值和最小值，
，
故选BC．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的运用，考查点及直线与圆的位置关系，考查化简运算能力和推理能力，属于拔高题．
设，运用两点的距离公式，整理可得曲线的轨迹方程，可判断；由点与圆上一点的距离的最值，可判断；判断直线与圆的位置关系即可判断；设，运用两点的距离公式，化简整理可得的轨迹方程，联立曲线的方程，解方程可判断．
【解答】
解：设，由，，，
可得，
两边平方整理可得，
即，
故曲线的方程为，故A正确；
曲线的方程表示圆心为，半径为的圆，
所以，
所以圆上的点到点的距离最小值为，
最大值为，
所以圆上的点到点的距离范围为，
而，故B错误；
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以在上不存在点，使在直线上，故C错误；
设由，
可得
整理可得，联立，
解得，，故D正确．
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两圆相交弦的问题，属于基础题．
两方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理即可求出公共弦长．
【解答】
解：因为圆与圆．
两圆方程相减得，
即，
因为圆半径为，圆心
原点到此直线距离为，
所以所求公共弦长为．
故答案为．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆有关的最值问题，属于基础题．
求出圆：关于轴对称的圆为圆：，则的最小值为，根据两点间的距离公式可求．
【解答】
解：如图所示，
因为圆：关于轴对称的圆为圆：，
则的最小值为．
故答案为．

11.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系和两圆相交弦有关的综合问题 ，属于中档题．
将两圆方程相减，即可得直线的方程，利用点到弦的距离，结合勾股定理即可求出弦长．
【解答】
解：将两圆的方程相减得，
即直线的方程为．
由题知圆，
故圆心，半径，
因为圆心到直线的距离为，
故 ．
故答案为， ．

12.【答案】相交

【解析】
【分析】
本题主要考查圆的公共切线的条数，考查两圆位置关系，圆的一般方程，两点间的距离公式，求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系是解决本题的关键．属于中档题．
将圆的一般方化为标准方程，先判断两个圆的位置关系，进而可得两圆的公切线条数．
【解答】
解：因为圆化为，
它的圆心坐标为，半径为；
圆化为，
它的圆心坐标为，半径为；
因为，
所以两个圆相交， 所以两个圆的公切线有条．
故答案为相交；．

13.【答案】解：设圆的一般方程为，
则圆心为，
圆心在直线：，
圆经过点和，
解得
故圆的一般方程为；
圆的标准方程为，半径，
圆的标准方程为，半径，
，
故两圆相交．
【解析】本题主要考查圆的方程的求解，圆与圆位置关系，属于基础题．
根据条件设圆的一般方程，把经过的点，代入，以及圆心代入直线方程，可得结果；
根据，结合圆和圆的位置关系即可判断．
14.【答案】解：圆方程可化为，则圆心，半径为，
由，可得点在圆外，
当过点的直线斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
的方程为，即，
当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切，
的方程为或．
圆与方程相减得直线方程为，
则圆心到直线的距离，
．
【解析】本题考查直线与圆的方程，涉及切线方程，点到直线距离等知识点，属于基础题．
根据条件可判断出在圆外，当斜率存在时，设切线为，利用圆心到切线距离为半径解得，另考虑过点的斜率不存在的直线；
两圆方程相减先求出的方程：，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出公共弦的一半，进而求出．
15.【答案】解：由题可知：公共弦的垂直平分线为直线，
，
所求直线的方程为：；
又两圆方程相减得，即 ，此即为直线的方程，
到直线的距离，又圆的半径 ，
，
．

【解析】本题考查圆与圆位置关系的应用，考查了点到直线的距离公式，考查数学转化思想方法，是基础题．
根据圆的几何性质，求得圆心坐标，则经过两圆圆心的直线即为所求．
先求直线的方程，再求圆心到直线的距离，然后根据圆的几何性质求出的长度，再利用面积公式直接求出三角形面积．
16.【答案】解：把圆的方程化为，
所以圆心，半径为．
因为，
所以的中点为，．
由已知条件得，直线经过点，且斜率，
所以直线的方程为，即．
由得：直线的方程为，
圆心到直线的距离为．
由条件可得圆的半径与圆的半径相等，都是，
所以弦长．
要使的面积最大，则须．
此时点到的距离为，
此时的面积为．
所以面积的最大值为．

【解析】本题考查了关于点或直线对称的圆的方程，点到直线的距离公式，三角形面积公式和圆的弦有关的综合问题，属于中档题．
利用关于直线对称的圆的方程中，这条直线就是两圆圆心的垂直平分线计算得结论
利用点到直线的距离公式和圆的弦有关的综合问题得弦，再利用三角形面积公式，结合圆的弦有关的综合问题得，最后计算得结论．
17.【答案】解：由两圆方程相减即得，此为公共弦所在的直线方程．
圆心，半径，
到直线的距离为，
公共弦长；
法一：由
得或
不妨令，，
中点为，中垂线的斜率为，
中垂线的方程为，即，
由，得
圆心为，半径，
所求圆的方程为；
法二：圆的圆心不在上，
符合题意的圆不是圆，
设所求的圆的方程为
，
即，
圆心为，在上，
，
，
所求圆的方程为；
法一过、且面积最小的圆就是以为直径的圆，
由得中点即圆心为，半径为，
所求圆的方程为．
法二过、且面积最小的圆就是以为直径的圆，
由得圆心在上，
，
，
所求圆的方程为，即．
【解析】本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题．
先求公共弦所在的直线方程，再求出到直线的距离，即可求公共弦的长；
法一先求出、坐标，中垂线的方程，联立求出圆心坐标即可；
法二因为圆的圆心不在上，所以符合题意的圆不是圆，利用圆系方程求解；
法一过、且面积最小的圆就是以为直径的圆，求出圆心和半径即可．
法二利用圆系方程可得圆心在上，求解即可．
18.【答案】解：圆的标准方程为，
所以圆心，半径为．
因为，，，
所以直线的斜率为，
设直线的方程为，
则圆心到直线的距离为．
因为，而，
所以，解得或，
故直线的方程为或．
假设圆上存在点，设，则，
，
即，
即
因为
所以圆与圆相交，所以点的个数为．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，属于拔高题．
圆的标准方程为，所以圆心，半径为因为，，，所以直线的斜率为，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，由及即可求的值，故直线的方程可求；
假设圆上存在点，设，则，，即，即，因为圆与圆相交，故求出点的个数为．
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