第一章 空间向量与立体几何 同步练习（含解析）

第一章空间向量与立体几何
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
已知向量，，且与互相垂直，则的值是( )
A. B. C. D.
平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是
A. B.
C. D.
已知为坐标原点，，，，点是上一点，则当取得最小值时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
在棱长为的正方体中，为的中点，为的三等分点靠近点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
如图，矩形、矩形、正方形两两垂直，且，若线段上存在点，使得，则边长度的最小值为( )
A. B. C. D.
已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则( )
A. B. C. D.
已知四边形和均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成的角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则( )
A. 点的坐标为
B. 点关于点对称的点为
C. 点关于直线对称的点为
D. 点关于平面对称的点为
设，，是空间一个基底，则( )
A. 若，，则
B. 则，，两两共面，但，，不可能共面
C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D. 则，，一定能构成空间的一个基底
已知空间四点，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 点到直线的距离为 D. ，，，四点共面
如图，在直三棱柱中，，，点，分别是线段，上的动点不含端点，且则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 该三棱柱的外接球的表面积为
C. 异面直线与所成角的正切值为
D. 二面角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知，，三点的坐标分别是，，，，则点的坐标是 ．
已知平行六面体中，，，．为的中点，则长度为 ．
已知为坐标原点，，，，若点在直线上运动，则的最小值为 ．
如图，在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角为 ；二面角的余弦值是
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知空间中三点，，，设．
求向量与夹角的余弦值；
若与互相垂直，求实数的值．
本小题分
如图，平行六面体中，与相交于，设、、，
用、、表示；
若、、三向量是两两成角的单位向量，求．
本小题分
如图，在三棱柱中，，，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求直线到平面的距离；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
本小题分
在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为中点．
求直线与所成角的余弦值；
若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值．
本小题分
如图甲，已知在长方形中，，，为的中点．将沿折起，如图乙，使得平面平面．
求证：平面；
若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的基本定理的应用，三角形法则以及平行四边形法则的应用，是基础题．
利用空间向量，结合空间向量的基本定理推出结果即可．
【解答】
解：
底面是平行四边形可知：，所以A正确；
，所以不正确；
，所以C正确；
，所以D正确；
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积及运算律，考查向量垂直的判断与证明，考查简单的运算能力，属于基础题．
由向量垂直的坐标运算直接计算求解即可得到答案．
【解答】
解：依题意，得，，
由，得，
所以，解得，
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的加减运算及数乘运算 ，属于基础题．
由题意可得，化简得到结果．
【解答】
解：由题意可得
，
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的最值、空间向量的加减运算及数乘、空间向量的数量积运算．
根据题意，设，求出的坐标，表示出，结合二次函数最值的求解，即可求出结果．
【解答】
解：点是上的一点，
设，
，，，
，
，
则，
当时，取得最小值为，
此时点的坐标为．
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间直角坐标系，空间向量的正交分解及坐标表示，空间中的距离的应用，属于基础题．
根据已知建立空间直角坐标系，利用空间中的距离的计算，求出点到平面的距离．
【解答】
解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，，，
设平面的法向量，
则
令，则，，
，
点到平面的距离．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，线段最小值的求法，属于拔高题．
建立坐标系，设，，根据列方程得出关于的函数，根据的范围求出的最小值，从而得出的最小值．
【解答】
解：平面平面，平面平面，，平面，
平面，
又，
所以建立以，，为坐标轴的空间坐标系，如图所示：
设，，则，即．
又，，
，，
，
显然且，
，
，
，
当时，取得最小值，
的最小值为．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间向量数量积的应用，属于中档题．
过点，分别向作垂线，垂足分别为，，由，平方后结合长度和垂直关系可得解．
【解答】
解：过点，分别向作垂线，垂足分别为，，
则可得，，，，．
因为平面与平面垂直，且两平面的交线为，
所以与平面垂直，则与垂直，
由于，
所以
，
所以．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求异面直线所成的角，属于中档题．
建立空间直角坐标系求解．
【解答】
解：以为原点为轴，为轴，在平面内作的垂线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，因为四边形和均为正方形，
二面角的大小为，所以，
所以，，，
所以，，
故，
所以直线与所成的角的正弦值为．
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间点的对称性、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用空间点的对称性即可得出．
【解答】
解：由图形及其已知可得：点的坐标为，
点关于点对称的点为，
点关于直线对称的点为，
点关于平面对称的点为，
因此BC正确．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间向量的基本定理及应用，考查运算求解能力，是基础题．
利用，，是空间一个基底的性质直接求解．
【解答】
解：由，，是空间一个基底，知：
在中，若，，则与不平行，但夹角不一定为，故A错误；
在中，，，两两共面，因为三个向量是基底，必须是不共面的向量，
所以，，不可能共面，故B正确；
在中，对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故C正确；
在中，假设共面，设，
化简得：，即：，所以共面与已知矛盾．
，，一定能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积与模的运算，空间向量的数量积等运算，属于基础题．
得出，即可分析，选项，运用等积法可分析选项，运用空间向量的共面定理可分析选项．
【解答】
解：由题意，，，
，故A正确；
，故B正确；
，，
由等面积法可得点到直线的距离为，故C正确；
假设，，，四点共面，则存在实数，满足，即
而该方程组无解，故，，，四点不共面，故D错误；
故选ABC．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定、球的表面积、异面直线所成角，利用空间向量求二面角，属于较难题．
根据题意得到，利用平行的判定选项；确定三棱柱外接球的直径，再计算球的的表面积即可判定选项；确定异面直线与所成角为，再计算正切值即可判定选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值即可．
【解答】
解：在直三棱柱中，四边形是矩形，
因为，所以，
因为不在平面内，平面，
所以平面，项正确；
因为，所以，
因为，所以，
所以，
连接，，设其交点为，连接，，，，
由直棱柱的性质知平行四边形是矩形，
，
又平面，平面，
则平面平面，
又平面平面，，
则平面，
又平面，则，
则是直角三角形，又为的中点，则，
同理，在直角三角形中，，
综上所述，，
则为直三棱柱外接球的球心，
则是三棱柱外接球的直径，
所以三棱柱外接球的表面积为，所以项错误；
因为，所以异面直线与所成角为．
在中，，，
所以，所以项错误；
二面角即二面角，
以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图，则，
，，，
设平面的法向量，
，即
令可得；
设平面的一个法向量为，
则，即
令可得，
故二面角的余弦值为，所以项正确．
故选AD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算的相关知识，属于基础题．
设，根据题干条件，求出，，，进而可得结果．
【解答】
解：，设，
则，
，，，
．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积运算及其应用，属于中档题．
由题意得，，根据向量模的计算公式即可求解．
【解答】
解：因为，
所以，由条件得：
，
所以，即长度为．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的数量积和坐标运算，是中档题．
先由题意，设，，再由题中数据，得到，，，推出
，，根据向量数量积的坐标运算，即可求出结果
【解答】
解：因为点在直线上运动，可设，，
因为，
所以，即
又，，
所以，，
因此，，
所以
，
所以当时，取最小值为．
故答案为．

16.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查异面直线所成的角及二面角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于较难题．
根据题意建立空间直角坐标系，借助于空间向量夹角公式可得．
【解答】
解：直三棱柱中，，
，，，
如图以为坐标原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
，
异面直线与所成角为；
设平面的法向量为
则即
令，则，，，
显然平面的一个法向量为，
，
因为二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值是．
故答案为．

17.【答案】解：，，
所以，
，
．
所以，
则与的夹角的余弦值为；
，
因为与互相垂直，
所以，
解得．

【解析】此题考查空间向量的坐标运算和向量的夹角公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
利用向量的坐标运算，和向量的夹角公式计算即可；
利用与互相垂直，可得，即可解得的值．
18.【答案】解：，
，，
．
．
【解析】本题主要考查空间向量的加、减运算、空间向量的数量积和空间向量的模，属于基础题．
根据空间向量的运算法则直接计算即可．
由，由空间向量的数量积展开计算即可．
19.【答案】证明：Ⅰ在三棱柱中，，，又，，平面，
平面，又平面，，
，，
，，，
又，，平面，平面．
Ⅱ解：由Ⅰ知，直线，，两两互相垂直，
以为原点，分别以、、所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的法向量，
则，所以，
取，则，
又，设直线与平面所成角为，
则．
直线平面所成角的正弦值．
【解析】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
Ⅰ推导出平面，，，由此能证明平面．
Ⅱ以为原点，分别以、、所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线平面所成角的正弦值．
20.【答案】解：以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，．
，，
，，．
，
，
平面，平面，
平面，
点到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，
则
取，则，，
，
又，
点到平面的距离为．
设平面的法向量为，
则
，得
取，则，
，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【解析】本题主要考查的是利用向量求空间中的距离、线面平行的判定以及二面角，属于中档题．
首先以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系写出各个点坐标．
先证得平面，得到点到平面的距离即为直线到平面的距离，再计算得到平面的法向量，利用向量法可求得点到平面的距离．
首先求出平面的法向量，由得到平面的法向量，利用向量法即可计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21.【答案】解：如图，连接，，为的中点，．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
，，则．
，，，，
是的中点，，
，．
设直线与所成角为，
则，
即直线与所成角的余弦值为；
，，
设，则，．
，，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
．
．
【解析】本题考查利用空间向量求空间角，考查运算求解能力，是中档题．
由题意画出图形，连接，由已知可得，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到，，设直线与所成角为，由两向量所成角的余弦值，可得直线与所成角的余弦值；
由，得，设，由向量等式求得，进一步求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得，再由同角三角函数基本关系式求解．
22.【答案】证明：，
，
，，
，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，，
且，平面，
平面．
解：因为平面平面
是的中点，
，
取的中点，连接，
则平面，
取的中点，连接，则，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ，
设，
因为平面的 一个法向量，

设平面的一个法向量为，
则
可得
再由，
则 ，
舍，
所以为的靠近点的五等分点
【解析】本题考查面面垂直的性质和线面垂直的性质，考查二面角和空间向量的应用，正确运用面面垂直的性质，属于拔高题．
先证明，再利用平面平面，证明平面，从而可得，又，即可得到平面；
建立直角坐标系，设，求出平面、平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角的余弦值为，即可得出结论．
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