第一章 空间向量与立体几何-(强化练习)（含解析）

第一章空间向量与立体几何
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知为坐标原点，向量，点，若点在直线上，且，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则( )
A. B.
C. D.
如图，正方体的棱长为，对角线和相交于点，则( )
A. B.
C. D.
如图所示，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
如图，正方体的棱长为，点，分别在直线，上，是线段的一个三等分点靠近点若，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
如下图，在正方体中，为棱的中点，设与平面的交点为，则( )
A. 三点，，共线，且
B. 三点，，不共线，且
C. 三点，，共线，且
D. 三点，，不共线，且
在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为
C. 点的轨迹是正方形 D. 点轨迹的长度为
在棱长为的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，经过三点的截面的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列命题是真命题的有( )
A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 平面，的法向量分别为，，则
D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点．下列选项中正确的有( )
A. B.
C. 直线与所成的角的余弦值 D. 平面与平面不垂直
如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
已知图中，，，，是正方形各边的中点，分别沿着，，，把，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图所示的多面体，则( )
A. 是正三角形
B. 平面平面
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 当时，多面体的体积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知点，，的坐标分别是，，，点的坐标为，若，，则点的坐标为 ．
空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的一个法向量为 ，直线与平面所成角的正弦值为 ．
如图，棱长为的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是 ．
在四棱锥中，四边形为正方形，，，平面平面，，点为上的动点，平面与平面所成的二面角为为锐角，则当取最小值时，三棱锥的体积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知空间中三点，，，设，
若，且，求向量；
已知向量与互相垂直，求的值；
求的面积．
本小题分
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
，与平面所成的角为，．
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点．

在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出在上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．
若__________，求二面角的余弦值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
本小题分
在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，．
求与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在一点，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．
本小题分
如图，平行四边形中，为的中点，，连接，将沿折起，得到四棱锥，如图，点在线段上，若平面．
求证：；
若二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值．
本小题分
如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点分别是的中点，是线段上的点．
求证：平面平面；
当时，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
本小题分
如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且．
当时，求异面直线与所成角的大小；
设平面与平面所成二面角的大小为，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的基本定理的应用以及利用空间向量解决垂直问题，属于中档题．
利用点在直线上，可得的坐标为，然后利用，即可求解的坐标．
【解答】
解：点在直线上，
，
且，
，
，
故点的坐标为，
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的加减运算及数乘运算、考查空间向量的基本定理及应用，属于中档题
根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解．
【解答】
解：因为，可得，
根据空间向量的运算法则，可得
又由，，，
所以．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
以，，为一组基底，利用空间向量的数量积运算逐项验证即可．
本题主要考查空间向量基本定理及线性运算，属于中档题．
【解答】
解：以，，为一组基底，则
选项A：，故错误；
选项B：，故错误；
选项C：，故正确；
选项D：，故错误；
故选：

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，考查学生的计算能力，属于拔高题．
先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可．
【解答】
解：如图，
设，，，棱长均为，
则，，，
，，
，
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系的应用，点与点的距离的求解，属于中档题．
以点为原点，为轴，为轴，为轴建系，可得，，，然后再进行后面的求解即可得．
【解答】
解：以点为原点，为轴，为轴，为轴建系，
可设，，
所以，
所以可得，
所以点，
所以
，
因为，，
所以，
所以的取值范围为，
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的基本概念，考查了空间向量的坐标运算，属于拔高题．
根据题意，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，求出点的坐标，证明，即得，，三点共线，
【解答】
解：以正方体的顶点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为，
则，，，，
设点，
，，
又与共线，，
，
即
解得：
点，
，
又，
，
，，三点共线，且．
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量利用空间向量判定线线的垂直，立体几何综合题探索性问题、轨迹问题等，属于较难题
以点为坐标原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，设，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：在正方体中，
以点为坐标原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为，，分别为，的中点，
则，
所以，
设，
则，
因为，
所以，即，
当时，，
当时，，
取，
连接，，，，
则，
所以四边形为矩形，
则，即，
又，平面，
所以平面，
又，
所以为的中点，
则平面，
所以为使，必有点在正方体的表面上运动，
所以点的轨迹为四边形，
因此点不可能是棱的中点，故A错误；
又，
所以，
则点的轨迹不是正方形，且矩形的周长为，故C错误，D正确；
因为点为中点，
则点为矩形的对角线交点，
所以点到点和点的距离相等，且最大，
所以线段的最大值为，故B错误．
故选D．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查立体几何中的截面问题，属于拔高题
解题时先根据二面角余弦值计算出的位置，然后根据面面平行性质画出截面，再分割截面求解面积即可．
【解答】
解：以为原点，，，，为，，轴建立空间直角坐标系
则有，
设平面的法向量为，则有
取，可得，易知平面的一个法向量为
所以有，
解得：，所以为靠近的四等分点，根据面面平行性质可作出截面如下
连接，过作交与，连接
过作交于，连接，则五边形为所求截面如图所示
图
画出截面图图
因为为为靠近的四等分点，，所以，，
，，所以，即与在同一水平面上，
，因为，易知为中点，
连接，将其分割为一个等腰三角形和一个等腰梯形
图二
在三角形中，，
在等腰梯形中，
其面积为
综上可得截面面积为
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用平面的法向量判断线面关系、面面关系，属于中档题．
根据直线、的方向向量与垂直，得出；根据直线的方向向量与平面的法向量垂直，不能得出；根据平面、的法向量与不共线，不能得出；求出向量与的坐标表示，再利用平面的法向量，列出方程组求出的值．
【解答】
解：对于，，，
，
，
直线与垂直，A正确；
对于，，，
，
，
或，B错误；
对于，，，
不共线，所以与不平行，故C错误；
对于，点，，，
，向量是平面的法向量，
，即，则，D正确．
故选AD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的线性运算，空间向量数量积及应用，考查推理判断能力，属于拔高题．
借助向量的线性运算，数量积，逐个判断即可．
【解答】
解：中，
，故A正确；
设，
则，
，
．
中，
．
故，故B错误；
中，由，
，
，
，故C正确；
中，取的中点，连接，则，
，，
且
，又，，平面，
平面，
平面，
平面平面
故D错误，
故选AC．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面垂直的判定，异面直线所成角，线面角等，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于拔高题．
在选项A中，推导出，，从而直线平面；在选项B中，由平面，得到到平面的距离为定值，再由的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值；在选项C中，可得异面直线与所成角的取值范围是在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．
【解答】
解：在选项A中，
，，，
且，平面
平面，平面，
，
同理，，
，且 ， 平面，
直线平面，故A正确
在选项B中，
，平面，平面，
平面，点在线段上运动，
到平面的距离为定值，又的面积是定值，
三棱锥的体积为定值，故B正确
在选项C中，
，异面直线与所成角为直线与直线的夹角．
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为．
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，，则，，
，．
由选项正确：可知是平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确．
故选ABD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查几何体的体积、线面垂直的性质、异面直线所成角，属于拔高题．
对于，利用折叠之后图形变换即可判断，对于和，利用空间直角坐标系，求得平面法向量，即可得到答案，对于，根据空间几何体的体积公式可得答案．
【解答】
解：因为，在平面的射影分别为，中点，
所以在图中，，由图可知，，故A正确；
对于和，可建立如图空间直角坐标系，
设，
则有 ，，，，，
可知，，，
设平面的法向量，
则，即
令，则，，，
同理可得，平面的一个法向量，
平面的一个法向量，，
所以平面和平面不相互垂直，所以B错误；
记直线与平面所成角为，
，
所以，故C正确；
对于，当时，下底面面积为，上底面面积为，高为，
所以所求多面体的体积为，故D错误．
故选AC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的坐标运算，向量垂直的关系，考查学生计算能力，属于中档题．
利用已知条件，设，求出，利用，，数量积为，建立方程，求解即可得到点的坐标．
【解答】
解：，，，，
，，．
，，
，
，
点的坐标为．
故答案为．

14.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了空间平面、线的法向量、方向向量，线面角，属于中档题．
在直线上任取两点，得出直线的方向向量，根据平面的方程得出平面的法向量，根据求出法向量与方向向量的夹角得出线面角的大小．
【解答】
解：平面的方程为，平面的法向量可取
平面的法向量为，平面的法向量为，
设两平面的交线的方向向量为，
由取，
则直线与平面所成角的大小为，
．
故答案为；

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到平面的距离，利用空间向量解答相关问题时，正确建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．
以为原点建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用点面距离公式建立方程，得到、、的关系，进而得到点到平面的距离．
【解答】
解：如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则点到平面的距离，
点到平面的距离，
由可得，，
所以点到平面的距离．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二面角，面面垂直以及锥体体积，空间向量法的应用，属于拔高题．
以建立空间直角坐标系，利用法向量结合平面与平面所成的二面角为，即可求解的最大值此时最小，进而即可求解此时三棱锥的体积．
【解答】
解：平面平面，，
平面平面，平面，则平面，
平面，所以，又，
所以以建立如图空间直角坐标系，
设，
所以，
因为，，又，且、均在平面内，所以平面，
所以易得 是平面的一个法向量，
而 ，
设平面的法向量为，
所以，取，则，
所以，
当取最小值时，最大，
又，
故时，最大，
所以三棱锥的体积，
故答案为．

17.【答案】解：，由于，
设，
故，
解得，
故为或；
，
，
由于与垂直，，
则；
依题意，，，
故由余弦定理得，，
所以，
故三角形面积为．
【解析】本题考查空间向量的平行，垂直及坐标运算，空间向量的数量积和夹角，三角形的面积公式等，属中档题．
推导出的坐标，，利用求得，能求出结果；
求出，的坐标，利用数量积运算列式求；
求出，的坐标，求得数量积和模，利用数量积运算求得，进而得，然后利用三角形面积公式计算．
18.【答案】解：在线段上存在中点，使得平面，
证明如下：设的中点为，连接，
则，
又，
所以
故四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面．
选择
由题意可知，、、彼此两两垂直，
故以、、分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即
令，可得，
平面的法向量为，
设二面角的平面角为，且为锐角，
则，
即二面角的余弦值为
选择：
因为平面，取中点，连结，取的中点，连接，，
则，且，
所以平面，
则与平面所成的角为，故，
在直角三角形中，，
又因为，故，
所以，所以，，彼此两两垂直，
故以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，
因为，
所以，，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即
令，可得，
平面的法向量为，
设二面角的平面角为，为锐角，
则，
即二面角的余弦值为．
选择
因为平面，平面，所以，
取中点，连接，
因为底面是菱形，，所以是正三角形，
又是的中点，所以，
所以、、彼此两两垂直，
故以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，
因为，
所以，，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即
令，求得，
平面的法向量为，
设二面角的平面角为，为锐角，
则，
即二面角的余弦值为．
【解析】本题考查线面平行的判定，考查利用空间向量求面面的夹角的余弦值，属于中档题．
在线段上存在中点，设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，即可得，由线面平行的判定定理可得平面，即可得结论；
选择以、、分别为，，轴建立空间直角坐标系，可得，，设平面的法向量为，求得，平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，计算可得二面角的余弦值；
选择：取中点，连接，取的中点，连接，，则，且，可得与平面所成的角为，以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，可得，平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，计算可得二面角的余弦值；
选择取中点，连接，可得、、彼此两两垂直，以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，求得，平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，计算可得二面角的余弦值．
19.【答案】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
所以，可得．
令，则，所以．
设与平面所成角为，则
，
所以与平面所成角的正弦值是
依题意，可设，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则．
令，则
所以．
因为平面平面，
所以，
解得，
则．
所以．
【解析】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，考查了利用空间向量求线面角，面面垂直的判定．
建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，即可得到答案．
求出平面的一个法向量为，根据两平面垂直的等价条件是其法向量垂直即可求解．
20.【答案】证明：连接交于，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，所以，
又因为，且，所以，
所以，故；
解：取的中点，连接，过作交于，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，
所以，，所以就是二面角的平面角，
所以，又因为，
所以为等边三角形，所以．
又，，，所以平面，
因为，所以平面，
所以，，两两互相垂直，以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，．
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，得，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，得，
设平面与平面夹角为，为锐角，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】本题考查线面平行的性质定理，向量法求二面角的余弦值，二面角的平面角等，属于中档题．
连接交于，连接，根据平面，证明，根据平行线分线段成比例定理，求出即可；
取的中点，连接，过作交于，得到就是二面角的平面角，以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，用向量法求出即可．
21.【答案】证明：因为为菱形，且，所以为等边三角形，
又为的中点，所以，
因为，所以，
又平面，平面，
所以，因为，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
解：以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，
所以，
故，设，，
所以，
因为，
所以，解得，
所以，
又，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，故，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
化简得：，则
故存在点满足题意，此时．
【解析】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，再解决有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于拔高题．
利用等边三角形的性质可得，再利用线面垂直的性质定理可证明，由线面垂直的判定定理可证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可；
建立合适的空间直角坐标系，设，设，，求出点的坐标，然后再求出直线的方向向量和平面的法向量，由向量的夹角公式列出等式，求出的值，即可得到答案．
22.【答案】解：在中，，，，则，
所以，即．
因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
当时，，所以．
所以，，
所以，
所以，
即异面直线与所成角的大小为
平面的一个法向量，
设，
由，
得即，
所以，．
设平面的法向量，
因为，即
取，则，，
所以平面的一个法向量，
因为，所以．
因为，所以
【解析】本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是拔高题．
由余弦定理求出，由勾股定理求出，由四边形为矩形，得，从而平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小．
求出平面的一个法向量和平面的法向量，利用向量法能求出的取值范围．
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