1.1.2 空间向量的数量积运算 同步练习（含解析）

1.1.2 空间向量的数量积运算
已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
已知空间向量、满足，，，则在上的投影向量( )
A. B. C. D.
三棱锥中，，，，则等于( )
A. B. C. D.
在棱长为的正四面体中，，分别是，的中点，则( )
A. B. C. D.
下列式子对于空间向量也正确的是( )
A. B.
C. D.
如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为( )
A. B. C. D.
如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
已知正四面体中，，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
已知空间向量，满足，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
已知长方体，下列向量的数量积一定不为的是( )
A.
B.
C.
D.
设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有( )
A. B.
C. D.
如图，平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则等于
正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是 ．
如图，四面体的每条棱长都等于，点，分别为棱，的中点，则 ，与所成的角为 ．
如图，正方体的棱长为，设，，，求：
；
；
．
如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点．求：
；
；
；
；
；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项．
【解答】
解：设与的夹角为由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的投影向量的概念及求法，考查空间向量数量积的运算，属中档题．
由两边平方，结合空间向量的模的平方等于空间向量的平方，即可得到，再由空间向量的投影向量的概念求得在上的投影向量．
【解答】
解：由，
且，
可知．
则在上的投影向量为，
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的数量积，属于基础题．
用表示出，进行求解即可．
【解答】
解：，
．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的线性运算与数量积的运算法则，属于中档题．
根据题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用与表示出向量与，利用数量积的运算法则求解即可求．
【解答】
解：如图所示，
棱长为的正四面体中，
因为分别是的中点，易得，
所以
，
故选．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
由空间向量的数量积的定义，进行判断即可．
【解答】
解：由题意，可知：，故D正确，
可知：、、都不正确；
故选D．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的应用，属于基础题．
用空间向量解答，由展开可得答案．
【解答】
解：；
；
即
；
，
．
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量的数量积运算求空间向量所成的角，属于基础题．
由，，得到，即可求解．
【解答】
解：，，
，
设，则，
所以，
所以，
于是得到与所成角的大小为．
故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用空间向量数量积运算求向量夹角，属于中档题．
设正四面体的棱长为，利用空间向量加减运算以及模长计算得，，利用向量夹角求出，得到与夹角的余弦值．
【解答】
解：设正四面体的棱长为，，，两两夹角为，
因为正四面体中，，
所以，等式平方求出，
同理求出，
则，
，
设与的夹角为，
则，
即与所成角的余弦值为，
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的投影向量及数量积的运算，属中档题．
由空间向量数量积的运算得，从而求出在上的投影向量．
【解答】
解：因为向量，满足，，且，
所以，可得，
所以，在上的投影向量为，
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积．
根据题意，结合长方体的性质，利用空间向量的数量积运算逐项求解即可．
【解答】
解：选项A，当四边形为正方形时，可得，
而，可得，此时有；
选项B，当四边形为正方形时，可得，
又，，可得平面，
故有，此时有；
选项C，由长方体的性质可得平面，
可得，此时必有；
选项D，由长方体的性质可得平面，
可得，为直角三角形，为直角，
故BC与不可能垂直，即．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的模以及数量积的运算，属于中档题．
由空间向量模的定义以及数量积的运算可直接得到答案．
【解答】
解：设向量，的夹角为，
对于，，正确；
对于，，显然不成立，故错误；
对于，，故错误；
对于，，正确，
故选AD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的加减运算及空间向量的数量积运算及其应用
利用平行六面体的几何特征，结合空间向量的加法运算得，再利用空间向量的数量积，结合题目条件得，再利用空间向量的模，计算得结论．
【解答】
解：如图：
平行六面体中，
向量、、两两的夹角均为，
且，，，
，
，
．
故答案为．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的数量积的运算，属于基础题．
设，其中，展开运算即可．
【解答】
解：依题意，设，其中，
，
因此的取值范围是．
故答案为．

14.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查向量的模，向量的数量积及异面直线所成角，考查了运算求解能力，属于中档题．
由题意，利用计算即可，从而根据，即可求出与所成的角．
【解答】
解：，
，
故，
故．
又因为，
故
，
因为，，
所以，．
故答案：；．

15.【答案】解：．
．
【解析】本题主要考查空间向量的线性运算以及数量积运算，属基础题．
先计算，再根据垂直得到数量积为；
先利用分配律展开，再利用垂直得到数量积为；
先分别计算，再利用数量积定义表达式可得最后结果．
16.【答案】解：
；
；
；
；
；
．
【解析】本题考查空间向量的数量积，属于基础题．
可由题意得各条棱长之间的夹角为，然后根据数量积公式进行计算即可．
由题可知且，且，
在正四面体中，，则，故只需求即可，
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