1.2空间向量基本定理 同步练习（含解析）

1.2空间向量基本定理
在四面体中，点为棱的中点设，，，那么向量用基底可表示为( )
A. B. C. D.
在正方体中，若点是侧面的中心，且，则，，的值分别为( )
A. B. C. D.
如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为( )
A. B. C. D.
空间四边形中，，，则，的值为( )
A. B. C. D.
三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
以下命题中不正确的个数为( )“”是“，共线”的充要条件；
若，则存在唯一的实数，使得；
若，，则；
若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；
．
A. B. C. D.
如图，已知三棱锥，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则( )
A. B.
C. D.
已知非零向量不共线，如果，则，，，四点( )
A. 一定共线 B. 恰是空间四边形的四个顶点
C. 一定共面 D. 一定不共面
如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，，，则下列选项正确的为( )
A. B.
C. D.
设，，是空间一个基底，则( )
A. 若，，则
B. 则，，两两共面，但，，不可能共面
C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D. 则，，一定能构成空间的一个基底
已知空间向量都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是( )
A. 向量的模是
B. 可以构成空间的一个基底
C. 向量和夹角的余弦值为
D. 向量与共线
在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则 用，，表示．
已知为空间的一个基底，若，，，，且，则，，分别为 ．
如图所示，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，若，则 ；则的长为
已知空间四边形中，，若，且，则 ．
在平行六面体中，若，则 ．
如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．
证明：、、、四点共面．
若，求．
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，是的中点，
设．
试用表示出向量；
求的长．
如图所示，三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，．
试用，，表示向量；
若，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
运用空间向量的线性运算求解即可．
【解答】
解：为的中点，
，，

故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的基本定理，属于基础题．
根据题意，可得，即可得解．
【解答】
解：由于
，
所以，，，
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的加法，三角形法则，属基础题题．
利用空间向量的三角形法则，，结合平行六面体的性质分析解答．
【解答】
解：由题意，
．
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积，属于基础题．
可得，进而求出结果．
【解答】
解：，
，
，，
，



故选C

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用空间向量数量积运算求解空间向量的夹角，属于基础题．
利用空间向量的数量积建立等式解题．
【解答】
解：
，，，
，，，，
，，，．
故选D．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与直线所成角的向量求法，考查计算能力．属于中档题．
设，，，棱长均为，可得，，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可．
【解答】
解：如图，
设，，，棱长均为，
则，，，
，，
，
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题借助考查命题的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量积公式，属于拔高题．
当向量同向时判断即可；利用与任意向量共线，来判断是否正确；和垂直的向量有无数个即可判断是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可判断；代入向量数量积公式验证即可判断．
【解答】
解：对，向量同向时，，不满足必要性，错误；
对，当为零向量，不是零向量时，不存在使等式成立，错误；
对，和垂直的向量有无数个，其中任意两个不一定相等，故错误；
对，用反证法，若不构成空间的一个基底，
设，
则，即共面，
与为空间的一个基底矛盾，正确；
对，，错误．
故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量基本定理，空间向量的线性运算．
利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把用，和线性表示即可．
【解答】
解：如图所示，连接，
，，
，，，
．
故选C．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量基本定理，属于拔高题．
通过已知向量关系，求出，由此说明四点，，，共面．
【解答】
解：显然、不共线，否则，存在，使，
则，
，是不共线的非零向量，
与矛盾，
故、不共线．
设，
则
，
解得
，
、、、四点共面．
故选C．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量基本定理以及空间向量的线性运算，属于基础题．
利用向量加减法的三角形法则及数乘运算即可．
【解答】
解：
，A正确；
，B正确；
，C正确；
，不正确；
故选ABC．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间向量的基本定理及应用，考查运算求解能力，是基础题．
利用，，是空间一个基底的性质直接求解．
【解答】
解：由，，是空间一个基底，知：
在中，若，，则与不平行，但夹角不一定为，故A错误；
在中，，，两两共面，因为三个向量是基底，必须是不共面的向量，
所以，，不可能共面，故B正确；
在中，对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故C正确；
在中，假设共面，设，
化简得：，即：，所以共面与已知矛盾．
，，一定能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的应用，涉及了空间向量模的求解、空间向量的基底、空间向量的夹角等知识点，考查的知识面广，对学生基础知识掌握的情况有较高的要求，属于中档题．
利用向量的模的性质将的模转化为数量积求解，即可判断选项A，利用不共面的向量作为基底判断选项B，利用两个向量夹角的余弦公式进行求解，即可判断选项C，利用向量的夹角公式求出向量与的夹角，即可判断选项D．
【解答】
解：对于选项A，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，
所以，且，
则
，
所以向量的模是，
故选项A错误；
对于选项B，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，
所以不共面，而向量均与共面，
所以与不共面，
则可以构成空间的一个基底，
故选项B正确；
对于选项C，设与的夹角为，
则
，
所以向量和夹角的余弦值为，
故选项C正确；
对于选项D，因为，
同理可得，
则，
所以向量与的夹角为，
则向量与不共线，
故选项D错误．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量基本定理，属于基础题．
利用为的中点，为的中点，，，化简可得结果．
【解答】
解：在四面体中，，，，为的中点，为的中点，
，
故答案为．

14.【答案】，，
【解析】
【分析】
本题考查空间向量基本定理，属于基础题．
由题意，， ， 为三个不共面的向量，所以由空间向量基本定理得到有序实数对存在且唯一，比较系数即可求出，，的值．
【解答】
解：由题意，， ， 为三个不共面的向量，
所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对，使．
．
又，
．
故答案为，，．

15.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查空间向量基本定理，空间向量的模和数量积，属于基础题．
第一空运用了空间向量的运算法则和空间向量基本定理，即可计算答案；
第二空运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，即可计算答案；
【解答】
解：由图可得，
所以，则；
，
所以，
故答案为；．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
如图所示，，与，比较即可得出．
【解答】
解：如图所示，
．
，
．
故答案为：．

17.【答案】
【解析】
【分析】
结合图形将向量用基底表示，然后根据空间向量基本定理并结合条件比较后得到的值，进而可得所求结果．
本题考查空间向量基本定理的应用，根据同一向量在同一基底下的分解具有唯一性这一结论，得到相关系数的大小，从而达到求解的目的．
【解答】
解：由平行六面体如下图，
可得，
又，
所以
解得，
所以．
故答案为．

18.【答案】证明：平行六面体中，，，
，，，，且平面平面，
，
≌，
，
同理，
故AEC为平行四边形，
、、、四点共面．
解：由题，
，
即，，，
．
【解析】本题考查四点共面的证明，空间向量基本定理及其应用，属于基础题，解题时要认真审题，解题时要注意向量法的合理运用．
由，，，，且平面平面，，知≌，进而，同理，故AEC为平行四边形，由此能够证明、、、四点共面．
结合图形和向量的加法和减法运算进行求解．
19.【答案】解：是的中点，
．
由于，，，，
由于，，，，
由于，

，
．

【解析】本题在四棱锥中用表示出向量，并根据给出的数据求的长度．着重考查了向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．
20.【答案】解：，，
，，
；
，
，
．

【解析】本题考查空间向量的模长求解公式，解题的关键是掌握向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用
由已知条件可得，，再由空间向量加法与减法的三角形法则，表示出即可；
求的长，即求，利用求向量模的方法，求出，即可求得的长．
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