1.3.1 空间直角坐标系 同步练习（含解析）

1.3.1 空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，关于对称( )
A. 原点 B. 轴 C. 轴 D. 轴
如图所示，正方体的棱长为，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
如图，在正方体中，棱长为，是上的点，且，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
在空间直角坐标系中，给出以下结论：
点关于轴的对称点的坐标为；
点关于平面对称的点的坐标是；
已知点与点，则的中点坐标是；
两点间的距离为其中正确的是( )
A. B. C. D.
如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为，，则点的空间直角坐标为( )
A. B. C. D.
如图，以棱长为的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在体对角线上运动，点为棱的中点，则当最小时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是( )
A. B. C. D.
如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，，则向量的坐标为( )
A. B.
C. D.
假设地球是半径为的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于平面上，轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线弧是度经线，位于平面上，且交轴于点，如图所示．已知赤道上一点位于东经度，则地球上位于东经度、北纬度的空间点的坐标为 ( )
A. B. C. D.
如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则( )
A. 点的坐标为
B. 点关于点对称的点为
C. 点关于直线对称的点为
D. 点关于平面对称的点为
在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影可能为( )
A. B. C. D.
在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为 ．
在空间直角坐标系中，点到轴的距离为，到平面的距离为，则 ．
如图，棱长为的正方体中，点在上，且为的中点，若以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点的坐标为 ．
如图所示，直角绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为 ．
已知空间点列如下：，，，，，，，，，，，，，则的坐标为 ．
如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以，，所在直线为轴轴、轴建立空间直角坐标系．
求点，，，，，，，的坐标；
求点的坐标．
如图，垂直于正方形所在的平面，，分别是，的中点，并且，试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，属于基础题．
先根据空间直角坐标系对称点的特征，点关于轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数，即可得对称点的坐标．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：，
点与点关于轴对称，
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系，考查推理能力，属于简单题．
根据空间直角坐标的表示方法解答即可．
【解答】
解：因为正方体的棱长为，
所以点的坐标是．
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间直角坐标系中的点的坐标的确定，属于基础题．
根据题意，设，求出，即可得解．
【解答】
解：由题意，可设，
因为，
所以，
所以，
故E
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点间的距离公式，中点坐标公式，属于中档题．
根据题意，逐项判断即可．
【解答】
解：点关于轴的对称点的坐标为，故错误；
点关于平面对称的点的坐标是，故正确；
已知点与点，则的中点坐标是，故正确；
两点、间的距离为：，故错误；
正确的是．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系，利用坐标的运算求解，属于中档题．
【解答】
解：由题意得，，
所以，所以，
所以的坐标为，
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中两点间距离公式，难度适中．
得出，，利用空间中两点间距离公式进行求解即可．
【解答】
解：连接，过点作于点，则垂直于平面．
设点的横坐标为，，
则由正方体体对角线的性质可得点的纵坐标也为，
由正方体的棱长为，得，
因为，
所以，所以，
又因为，
所以
，
所以当时，最小，此时点的坐标为
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的加减运算及坐标表示，属于中档题．
由已知可得，从而问题得解．
【解答】
解：依题意，知
，
向量在基底下的坐标是．
故选A．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，考查计算能力．
利用空间直角坐标系，求出的坐标，再利用空间向量的坐标表示即可求出．
【解答】
解：因为在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，
点在平面上，且，，
所以，，，
所以的坐标为：，
，
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查立体几何中的空间点的位置，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．
根据图形求出点在平面上的投影的坐标，进而求出点的坐标即可．
【解答】
解：设点投影到平面上的点，则
又与轴正向的夹角为，
由在轴与轴的投影可知
因此点的坐标为
故选A．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间点的对称性、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用空间点的对称性即可得出．
【解答】
解：由图形及其已知可得：点的坐标为，
点关于点对称的点为，
点关于直线对称的点为，
点关于平面对称的点为，
因此BC正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系，属于基础题．
直接进行求解即可．
【解答】
解：点在平面内的射影为，在平面内的射影为，
在平面内的射影为．
故选BCD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，属于基础题．
先根据空间直角坐标系对称点的特征，点关于轴的对称点的坐标为，即可得对称点的坐标．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，
点关于轴的对称点的坐标为，
点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系以及空间距离的求解，属于中档题．
由已知得，，由此能求出的值．
【解答】
解：到轴的距离为，到平面的距离为，
，，
．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中点的坐标，是一个中档题，解题时借助于点在正方体的一条棱上，写出横标，纵标和竖标，注意各个坐标的符号．
由图形可知，点在正方体的上底面上，点的纵标同的纵标相同，在面上，得到点的竖标为，根据点在棱上的位置，写出点的横标．
【解答】
解：由图形可知，点在正方体的上底面上，
点的纵标同的纵标相同，
在面上，得到点的竖标为，
，
点的横标是，
点的坐标是，
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥的体积，空间直角坐标系的应用，属于中档题．
由空间直角坐标系，得圆锥的底面半径和高，求体积．
【解答】
解：根据题意：为轴，则圆锥底面在平面上，
点在圆锥的母线上，圆锥底面圆半径为，
故点是底面圆周与轴正半轴的交点，
又点在圆锥的母线上，
所以这条母线在平面内，必过和两点，其与轴交于点；
即圆锥的高为，由圆锥的体积公式可得体积为．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题表面上是考查点的排列规律，解题时注意转化思想的运用，考查了学生的计算能力和观察能力，同学们在平常要多加练习，属于拔高题．
设，分别讨论当，，时各有几个点，便可知当时，第行有个点，便可得出当时，已经有个点，便可求得的坐标．
【解答】
解：设
，，第行，个点；
，，，第行，个点；
，，，，第行，个点；
个点个点个点个点个点
为第个点，，第行，第个点，，
，，，
，．
的坐标为，
答案为．

17.【答案】解：在长方体中，，，，为棱的中点，
分别以，，所在直线为轴轴、轴建立空间直角坐标系．
点，
在轴的正半轴上，且，
，
同理得：，，
在坐标平面内，且，，
，
同理得，，
与点的坐标相比，点的坐标只有竖坐标与点不同，
且，则点．
由知，，
的中点坐标为
【解析】本题考查点的坐标、中点坐标的求法，考查空间直角坐标系、中点坐标公式等，是基础题．
利用空间直角坐标系的性质能求出点，，，，，，，的坐标．
利用中点坐标公式能求出点的坐标．
18.【答案】解：因为，平面，，
所以，，是两两垂直的单位向量．
设，，，以为基底建立空间直角坐标系．
因为
，
所以．
【解析】本题考查空间直角坐标系以及向量的坐标、空间向量的线性运算，属于中档题．
首先根据题意建立空间直角坐标系，根据空间直角坐标系，得，即可解答此题．
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