1.3.2 空间向量运算的坐标表示 同步练习（含解析）

1.3.2 空间向量运算的坐标表示
在空间直角坐标系中，，，则，两点的距离是( )
A. B. C. D.
已知，，，，，则( )
A. B. C. D.
已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
已知为坐标原点，向量，点，若点在直线上，且，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
在正四棱柱中，，，动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是( )
A. B. C. D.
设向量，其中，则下列判断错误的是( )
A. 向量与轴正方向的夹角为定值与，之值无关
B. 的最大值为
C. 与的夹角的最大值为
D. 的最大值为．
以下说法中正确的是( )
A. 已知空间向量，，；：向量与的夹角是，那么是充分不必要条件，
B. 已知，满足，则等于
C. 设点在点、、确定的平面上，则
D. 已知，，则的最小值为．
已知向量，，，若，则 ．
已知，，，则
在空间直角坐标系中，点在平面上的射影为点，在平面上的射影为点，则 ．
已知空间向量若则 ；若则的最小值为 ．
已知 ，且 ，则 ，选取一个与向量共线的单位向量是
已知向量，，点，则 ；在直线上，存在一点，使得，则点的坐标为 ．
已知，，求，，线段的中点坐标及线段的长．
已知，，，
求实数的值；
若，求实数的值．
已知空间四点，，，．
若、、、四点共面，求的值；
求以，为边的平行四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用两点间距离公式直接求解．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，，，
则，两点的距离是：
．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量运算的坐标表示，
求出，的坐标，然后进行数量积运算．
【解答】
解：因为，．
所以．
故选A．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量共线定理的应用，涉及了空间向量的坐标表示以及空间向量相等的充要条件的应用，属于基础题．
直接利用向量共线定理得到存在实数，使得，再利用向量相等的坐标表示求出和，即可得到答案．
【解答】
解：因为向量，，且，
所以存在实数，使得，
则有，解得，，
所以．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的基本定理的应用以及利用空间向量解决垂直问题，属于中档题．
利用点在直线上，可得的坐标为，然后利用，即可求解的坐标．
【解答】
解：点在直线上，
，
且，
，
，
故点的坐标为，
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量求两点之间的距离．
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，得出各点坐标，根据两点间的距离公式即可求出线段的最小值．
【解答】
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则可设，，，，
，
当且仅当时，取得最小值，
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
在中，取轴的正方向向量，求出与的夹角即可判断命题正确；在中，计算，利用基本不等式求出最大值即可判断命题错误；在中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在中，利用基本不等式求出最大值即可判断命题正确．
本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是较难题．
【解答】
解：由向量，其中，知：
在中，设轴正方向的方向向量，
设向量与轴正方向的夹角为，则
，，
向量与轴正方向的夹角为定值与，之值无关，故A正确；
在中，，
当且仅当，时取等号，因此的最大值为，故B错误；
在中，由可得：，，
，
与的夹角的最大值为，故C正确；
在中，，
当且仅当，时取等号，
的最大值为故D正确．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的坐标运算以及向量平行和共面的性质，属于难题；根据向量夹角计算公式结合充分不必要条件判断；根据向量平行判定；根据共面向量定理判断；根据向量模的运算判断．
【解答】
解：若，则，，此时向量与的夹角是；
若向量与的夹角是，则，解得，
所以是的充分不必要条件，A正确．
对于，因为，所以，解得，故B正确；
对于，，，根据共面向量定理，设、，
则，
解得，，，故C正确；
对于，，
，
当时有最小值，
的最小值是，故D错误．
故选ABC．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题．
由，得，由此能求出．
【解答】
解：向量，，，，
，
解得．
故答案为：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量加减法的坐标运算和模的坐标表示，属于基础题．
由，再由模长公式即可求解；
【解答】
解：因为，
所以．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中点坐标的求法，属于基础题．
根据射影的定义求出，的坐标即可求解．
【解答】
解：因为点在平面上的射影为点，
在平面上的射影为点，
则．

11.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了空间向量平行和垂直的坐标表示，考查了空间向量的数量积及运算律，由共线可得，进而求出；由则，即，代入，结合由二次函数性质可得答案
【解答】
解：
，
，
存在实数使得，
解得，．
，
因为则，即，
故
故的最小值为，当时取最小值．
故答案为：

12.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积运算、与已知向量共线的单位向量求法，属于中档题．
根据已知可列方程组，可解出，再根据即可求出与向量 共线的单位向量．
【解答】
解：设，因为 ，
所以 ，解得，不妨令，则，，
所以一个 ，
与向量 共线的单位向量，
即．
故答案为 ；．

13.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查空间向量的模长和垂直的判断，属中档题．
第一个空：由题意可得的坐标，代入模长公式可得答案；
第二个空：设存在点满足条件，由，和可得、、的方程组，解方程组可得．
【解答】
解：第一个空：，；
第二个空：设点满足条件，
则，且得，又，，
，解得
在直线上的点，使得．
故答案为；．

14.【答案】解：，，
线段的中点坐标为 ，即 ．
线段的长度，即向量的模，
．
【解析】本题考查了向量的坐标运算、中点坐标公式、模的计算公式，属于基础题．
分别利用向量的坐标运算、中点坐标公式、模的计算公式代入数值即可得出答案．
15.【答案】解：．
，
设，
，
即
的值为．
，
．
，
所以．
，
．
【解析】本题考查空间向量的坐标运算以及向量平行和垂直，属于中档题．
利用空间向量平行可得，列方程即可求出结果；
利用向量垂直可得即可求出结果．
16.【答案】解：则，
由四点共面，得，即
解得，
所以的值为．
，
，
，
所以，，
因为，
故以，为边的平行四边形的面积为．
【解析】本题考查共面向量定理以及向量的模、夹角公式和三角形面积公式的应用，属于拔高题．
由四点共面，得，即可求出的值；
利用求模公式求出向量的模，利用向量数量积的坐标运算求出的数量积，由向量的夹角公式求出的值，就求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积，就得到平行四边形的面积．
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