1.4.1课时1：空间直线和平面的向量表示 同步练习（含解析）

1.4.1课时1：空间直线和平面的向量表示
已知向量和都是直线的方向向量，则的值是( )
A. B. 或 C. D.
已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为( )
A. B. C. D.
平面经过三点，，，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
在平行六面体中，，，，是与的交点．以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为．( )
A. B.
C. D.
已知直线过点，且平行于向量；平面过直线和点，则平面的法向量不可能是( )
A. B. C. D.
如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，则下列向量中，能作为平面的法向量的是( )
A. B. C. D.
已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，下列结论正确的有( )
A. B.
C. 是平面的一个法向量 D.
如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是( )
A. B. C. D.
在四棱锥中，底面，底面为正方形，给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 为平面的法向量
B. 为平面的法向量
C. 为直线的方向向量
D. 直线的方向向量一定是平面的法向量
在平面中，，，，若，且为平面的法向量，则 ， ．
已知正四面体的棱长为，为的中心，为上一点且满足、、两两垂直过点作平面，其中、、位于平面的同一侧，是平面的单位法向量且指向另外一侧，、两点到平面的距离分别为和以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，则的坐标为 ．
如图，在正三棱锥中，点是的外心，点是棱的中点，则平面的一个法向量可以是 ，平面的一个法向量可以是 ．
如图，，原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，。求：
直线的一个方向向量；
平面的一个法向量。
如图所示，已知四边形是直角梯形，，，平面，，，试建立适当的坐标系．
求平面的一个法向量；
求平面的一个法向量；
求平面的一个法向量．
如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点若，，，设平面的法向量
用表示；
求及的长度；
如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形且，，分别是，的中点．
试以为起点作直线的一个方向向量；
试以为起点作平面的一个法向量．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的方向向量，考查分析与计算能力，属于基础题．
由题得，即可得，解出得的值即可．
【解答】
解：向量和都是直线的方向向量，
则，
即，解得，
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了立体几何中的直线的方向向量，属于基础题．
已知直线的一个方向向量为，而与共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量，由此即可得到答案．
【解答】
解：由题知，，
则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，
只有不符合，
故选A．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的法向量的求法，考查平面的法向量等基础知识，是基础题．
设平面的法向量，由，能求出平面的法向量．
【解答】
解：平面经过三点，，，
，，
设平面的法向量，
则
取，得，
平面的法向量可以是．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求直线的方向向量，考查空间向量的加减运算及数乘运算，属于中档题．
由题得四边形是平行四边形，是线段的中点，再计算求解得到答案．
【解答】
解：是平行六面体，
且，
四边形是平行四边形，
是线段的中点，
四边形是平行四边形，
，
即直线的一个方向向量为
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中平面的法向量，考查空间向量平行和垂直，属于中档题，考查推理能力和计算能力逐个判断即可求解．
【解答】
解：由题意可知，平面的法向量垂直于向量 和向量，
而，
选项A，，但，故错误；
选项B，，满足垂直，故正确；
选项C，，满足垂直，故正确；
选项D，，满足垂直，故正确；
故选A ．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的法向量的求法，考查空间向量的坐标运算等基础知识，属于中档题．
设正方体的棱长为，利用向量法能求出平面的法向量．
【解答】
解：设正方体的棱长为，平面的法向量为．
则，，，
所以，，
则，
不妨取，则，，故．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量平行共线和垂直的坐标表示 、平面的法向量，属于基础题．
利用空间向量的数量积的坐标运算判定，再由空间向量共线定理判定．
【解答】
解：因为，
所以，故A正确，
同理，可得，故B正确，
由选项A，可知，是平面的一个法向量，故C正确，
因为，所以，故D错误．
故答案为．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面的法向量，属于基础题．
设正方体的棱长为，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．
【解答】
解：设正方体的棱长为，则，，
，
设向量是平面的法向量，
则
取，得，
则是平面的一个法向量，
结合其他选项，检验可知只有选项是平面的法向量，
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的平面法向量的求解，考查线面垂直的判定定理，首先建立空间坐标系，然后根据法向量的特征以及直线的方向向量逐个判断即可，属于中档题．
【解答】
解：由题意，以坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
令正方形的边长为，，，，，，，
因为，平面，平面，
所以平面，
所以不是平面的法向量，故A错误；
因为，
所以，
所以，，，，平面，
所以平面，
所以是平面的一个法向量，故B正确；
因为，所以为直线的方向向量，故C正确；
因为，
所以，
所以，，
，平面，，
所以平面，
所以直线的方向向量是平面的一个法向量，故D正确．
故选BCD．

10.【答案】


【解析】
【分析】
本题考查平面的法向量，属于基础题．
根据平面的法向量垂直于平面内的任意向量，表示出平面内的两个不共线的向量，再结合向量垂直的数量积公式即可求解．
【解答】
解：，，
为平面的法向量，
则，即，
即，解得．
故答案为：；

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是求平面的法向量的方法以及单位向量的概念，属于中档题．
建立空间直角坐标系后，根据、两点到平面的距离分别为和写出平面上两点，的坐标，即可求出平面法向量的单位向量．
【解答】
解：、、两两垂直，棱长为，
，
而、两点到平面的距离分别为和，
所以点在平面上，
设，
则，即
解得或
由题意知指向轴负方向，
则
故答案为：

12.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了平面的法向量，涉及三棱锥的结构特征，线面垂直的判定，属于中档题．
根据题意得到平面，即可得到平面的一个法向量；然后证明平面，即可得到平面的一个法向量．
【解答】
解：由题意，因为三棱锥为正三棱锥，且点是的外心，
所以点为的中心，
所以平面，
所以平面的一个法向量可以是；
因为点是棱的中点，
所以，，
又，，平面，
所以平面，
故平面的一个法向量可以是．
故答案为；．

13.【答案】解：
所以，即，
直线的一个方向向量为；
设平面的一个法向量为，
，，
则，解得
不妨取，则，
平面的一个法向量为．
【解析】本题考查空间直角坐标系，直线的方向向量、平面的法向量的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
求出，的坐标，从而可得的坐标；
设平面的一个法向量为，求出的坐标，利用它们与法向量垂直，数量积等于，即可求出，，的关系得到法向量．
14.【答案】解：以点为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，．
平面，
是平面的一个法向量．
，，，，平面，
平面，
是平面的一个法向量．
在平面中，，．
设平面的法向量是，
则，，
得方程组
令，则，，
．
所以是平面的一个法向量．

【解析】本题考查了平面的法向量的求法，属于较难题．
以点为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系：
由法向量的定义可知，是平面的一个法向量；
可证平面，所以是平面的一个法向量；
设平面的法向量是，根据，，计算可得结果．
15.【答案】解：连接，，，如图：
，，，
在，根据向量减法法则可得：
底面是平行四边形，
且，

又为与的交点，
为线段中点，

在中，．
顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是
，，，
由是平面的法向量，得
即，解得
，
．

【解析】本题考查空间向量的线性运算以及向量的模、向量的数量积，属于较难题．
根据向量的线性运算求解；
由向量的数量积结合向量垂直关系求得向量及其模长；
16.【答案】解：取的中点，连接，．
，分别是，的中点，
且．
又且，
且．
则由且知四边形是平行四边形．
就是直线的一个方向向量．
平面，．
又，，
平面．
平面，．
又，为中点，
，又，从而平面．
是平面的一个法向量．
由可知，
就是平面的一个法向量．

【解析】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定，以及共面向量的定义、法向量的定义，属于较难题．
取的中点，连接，，根据中位线定理以及平行四边形的定义，可得四边形是平行四边形，从而得，进而可得结果；
由平面，可得，结合，可得平面，，从而得到平面，从而可得结果．
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