1.4.1课时2：空间向量与平行关系 同步练习（含解析）

1.4.1课时2：空间向量与平行关系
已知向量，，分别是直线、 的方向向量，若，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定
设是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面( )
A. 垂直 B. 平行或在平面内 C. 平行 D. 在平面内
直线的方向向量，平面的法向量为，若直线平面，则的值为( )
A. B. C. D.
已知向量，分别是平面，的法向量，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
如图，正方形与矩形所在的平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
已知点，，，若存在点，使得，，则点的坐标为 ( )
A. B. 或
C. D. 或
已知直线，的方向向量分别为和，若，则 ．
已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量若，则 ．
已知直线在平面外，且是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系为
已知向量，分别是两个不同平面，的法向量，可得向量与的数量关系是 ，进而得到平面与的位置关系是 ．
如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点．
求证：；
求证：平面平面．
如图所示，已知四边形，都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，，分别是，的中点，
求证：．
如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．

求证：平面．
如图所示，平面，点在以为直径的圆上，点为线段的中点，点在上，且，．
证明：平面平面．
如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证：
平面；
平面平面．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间中直线平行的坐标表示，属于基础题．
由，可得存在实数使得，利用坐标运算得到方程组求解即可．
【解答】
解：，
存在实数使得
，解得，．
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量的坐标可以解决空间平行或垂直的位置关系，属于基础题．
根据直线方向向量坐标之间的关系，即可得到直线之间的位置关系．
【解答】
解：两条不重合直线和的方向向量分别为，，
，即与共线，
和的位置关系是直线，
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．
根据可知，从而得出结论．
【解答】
解：．
．
或．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量语言表述线面的垂直、平行关系，利用线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量是关键，属于基础题．
线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即可求出实数的值．
【解答】
解：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，
直线的方向向量，
平面的法向量为，
直线平面，
，
，
解得．
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用向量研究面面的平行，考查向量平行的充要条件，属于基础题．
根据，知，由两向量平行的充要条件直接求解即可．
【解答】
解：，
，
存在实数使得．
解得，．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行平面的性质、向量共线定理，属于基础题．
由于平面，可得这两个平面法向量共线．判断即可．
【解答】
解：平面，
这两个平面的法向量共线．
只有中的，满足条件．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面法向量的性质，两个平面法向量的关系，空间向量平行的坐标关系，属于基础题．
两个平面平行，其法向量也平行，即可判断各选项．
【解答】
解：平面的一个法向量是，，
设平面的法向量为，
则，
对比四个选项可知，只有符合要求，
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的性质，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
设、交于点，连结，由已知推导出，，由此能求出点的坐标．
【解答】
解：如图，
设点的坐标为，，连接，
则，又，，
，，
平面，平面，平面平面，
，，
解得，点的坐标为，
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系，利用空间向量判定线线的平行关系，属中档题．
设，由已知求出向量 ，， ，的坐标，利用平行向量即可求出点的坐标．
【解答】
解：由已知，，，
设，则，，
由 ， ，则 ， ，
则存在实数，，满足
则必有且成立，
解得，，，，，满足条件，
故点的坐标为时
即 ，
故选A．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量共线的向量表示，属于基础题．
【解答】
解：直线，的方向向量分别为和，且，
，解得：．
故答案为．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量解决线面平行问题和空间向量的数量积，属于基础题．
由题意，若，则，则，即可解出．
【解答】
解：由题意可得： ，
解得．
故答案为．

12.【答案】平行
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的向量表示，属于基础题．
由题意可得，又因为直线在平面外，所以．
【解答】
解：因为直线的方向向量为，
平面的法向量为，
则，
所以，
又因为直线在平面外，
所以，
故答案为平行．

13.【答案】
平行

【解析】
【分析】
本题考查两个平面的法向量的数量关系和判断，进而考查两个平面的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
根据两个向量的坐标能求出两个向量的数量关系，利用两个向量的倍数关系能判断两个平面的位置关系．
【解答】
解：向量，分别是两个不同平面，的法向量，
可得向量与的数量关系是，
进而得到平面与的位置关系是平行．
故答案为：，平行．

14.【答案】证明：把作为空间的一组基底．
因为，，
所以．
所以．
由知，又平面，平面，
所以平面．
因为，，
所以所以．
又平面，平面，
所以平面．
又，所以平面平面．

【解析】本题考查线线平行，面面平行的判定，属于基础题．
利用向量共线证明平行．
利用向量共线证明线线平行，再根据面面平行的判定定理证明即可．
15.【答案】证明 ，分别是，的中点，
又四边形，都是平行四边形，
，
又
，
，
，
，．
不在上，．

【解析】本题考查空间向量的线性运算和利用空间向量判断两线平行，属于中档题．
由空间向量的线性运算得，即可判断两线平行．
16.【答案】证明：因为四边形为矩形，
所以，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
则取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
．
设平面的一个法向量为，．
不妨设，则，．
又，，．
又平面，平面．
【解析】本题考查了法向量的性质、线面平行的判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用法向量的性质即可得出．证明，即可得出平面．
17.【答案】证明：在平面内，过点作的垂线．
平面，，平面， 所以，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，另设，所以，
又为圆的直径，且，，故
而，且，
四边形为平行四边形，故C与关于轴对称，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，．
，即平面的法向量与平面的法向量平行，
平面平面．
【解析】本题考查面面平行的证明，考查向量法的应用，属于中档题．
建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据法向量平行可知两平面平行．
18.【答案】证明：如图以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设，，，则，
因为，，分别是，，的中点，
所以，，，
所以．
因为平面的一个法向量为，且，即．
又不在平面内，
故平面．
，，
又不在平面内，
所以平面．
由平面，
又因为，
所以平面平面．
【解析】本题主要考查利用空间向量证明直线与平面平行，和平面与平面平行，属于中档题．
平面的一个法向量为，，由，即得；
由，，又不在平面内，得平面，又因为，即得平面平面．
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